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9. 如图，直线$AB$，$CD$相交于$O$，$∠ 1 + ∠ 2 = 110^{\circ}$，$∠ 3 = 140^{\circ}$。
（1）求$∠ 2$的度数。
（2）$OM$平分$∠ AOD$吗？为什么？
（1）求$∠ 2$的度数。
（2）$OM$平分$∠ AOD$吗？为什么？
答案
9. 解：（1）因为$∠3 = 140^{\circ}$，
所以$∠1 = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。
因为$∠1 + ∠2 = 110^{\circ}$，
所以$∠2 = 110^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ}$。
（2）OM平分$∠AOD$。理由：
因为$∠1 + ∠2 = 110^{\circ}$，
所以$∠MOD = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$。
由（1）知$∠2 = 70^{\circ}$，所以$∠2 = ∠MOD$，
所以OM平分$∠AOD$。
所以$∠1 = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。
因为$∠1 + ∠2 = 110^{\circ}$，
所以$∠2 = 110^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ}$。
（2）OM平分$∠AOD$。理由：
因为$∠1 + ∠2 = 110^{\circ}$，
所以$∠MOD = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$。
由（1）知$∠2 = 70^{\circ}$，所以$∠2 = ∠MOD$，
所以OM平分$∠AOD$。
解析
【分析】
这道题是相交线的角度计算与角平分线判定问题，解题思路如下：
1. 第一问求∠2的度数：首先观察到直线CD构成平角，∠1和∠3互为邻补角，二者之和为180°，已知∠3=140°，可以先算出∠1的度数；再结合题目给出的∠1+∠2=110°，做减法即可直接求出∠2的数值。
2. 第二问判断OM是否平分∠AOD：根据角平分线的定义，只要证明OM分出的两个角∠2和∠MOD度数相等即可。利用直线AB为平角，∠2、∠MOD、∠1三个角的和为180°，代入已知的∠1+∠2=110°，就能算出∠MOD的度数，对比∠2的度数如果相等，就可以判定OM平分∠AOD。
【解析】
（1）
∵ ∠3与∠1互为邻补角，二者和为180°，且∠3 = 140°，
∴ ∠1 = 180° - 140° = 40°，
又
∵ ∠1 + ∠2 = 110°，
∴ ∠2 = 110° - 40° = 70°。
（2）OM平分∠AOD，理由如下：
∵ 直线AB为平角，∠2 + ∠MOD + ∠1 = 180°，且∠1 + ∠2 = 110°，
∴ ∠MOD = 180° - 110° = 70°，
由（1）知∠2 = 70°，因此∠2 = ∠MOD，
根据角平分线的定义，可得OM平分∠AOD。
【答案】
（1）∠2的度数为70°；（2）OM平分∠AOD，理由如上。
【知识点】
邻补角互补，角平分线判定，平角性质
【点评】
本题属于相交线章节的基础题型，解题逻辑链条清晰，先利用邻补角的性质求出基础角的度数，再通过角度和的关系推导剩余角的数值，最终结合角平分线的定义完成判定，能够帮助学生巩固相交线相关的基础概念，理清角度计算的基本思路。
【难度系数】
0.8
这道题是相交线的角度计算与角平分线判定问题，解题思路如下：
1. 第一问求∠2的度数：首先观察到直线CD构成平角，∠1和∠3互为邻补角，二者之和为180°，已知∠3=140°，可以先算出∠1的度数；再结合题目给出的∠1+∠2=110°，做减法即可直接求出∠2的数值。
2. 第二问判断OM是否平分∠AOD：根据角平分线的定义，只要证明OM分出的两个角∠2和∠MOD度数相等即可。利用直线AB为平角，∠2、∠MOD、∠1三个角的和为180°，代入已知的∠1+∠2=110°，就能算出∠MOD的度数，对比∠2的度数如果相等，就可以判定OM平分∠AOD。
【解析】
（1）
∵ ∠3与∠1互为邻补角，二者和为180°，且∠3 = 140°，
∴ ∠1 = 180° - 140° = 40°，
又
∵ ∠1 + ∠2 = 110°，
∴ ∠2 = 110° - 40° = 70°。
（2）OM平分∠AOD，理由如下：
∵ 直线AB为平角，∠2 + ∠MOD + ∠1 = 180°，且∠1 + ∠2 = 110°，
∴ ∠MOD = 180° - 110° = 70°，
由（1）知∠2 = 70°，因此∠2 = ∠MOD，
根据角平分线的定义，可得OM平分∠AOD。
【答案】
（1）∠2的度数为70°；（2）OM平分∠AOD，理由如上。
【知识点】
邻补角互补，角平分线判定，平角性质
【点评】
本题属于相交线章节的基础题型，解题逻辑链条清晰，先利用邻补角的性质求出基础角的度数，再通过角度和的关系推导剩余角的数值，最终结合角平分线的定义完成判定，能够帮助学生巩固相交线相关的基础概念，理清角度计算的基本思路。
【难度系数】
0.8
10. 如图，已知直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$∠ BOD$和$∠ COM$互余，$∠ AON = ∠ COM$。
（1）求$∠ NOD$的度数；
（2）若$∠ BOC = 5∠ COM$，求$∠ BOD$的度数。
（1）求$∠ NOD$的度数；
（2）若$∠ BOC = 5∠ COM$，求$∠ BOD$的度数。
答案
10. 解：（1）因为$∠BOD$和$∠COM$互余，
所以$∠BOD + ∠COM = 90^{\circ}$。
因为$∠AON = ∠COM$，
所以$∠BOD + ∠AON = 90^{\circ}$。
所以$∠NOD = 180^{\circ} - (∠BOD + ∠AON) = 90^{\circ}$。
（2）设$∠COM = x$，则$∠BOC = 5x$，
所以$∠BOM = 4x$。
因为$∠BOD + ∠COM = 90^{\circ}$，
所以$∠BOM = 180^{\circ} - (∠BOD + ∠COM) = 90^{\circ}$，
即$4x = 90^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$，
即$∠COM = 22.5^{\circ}$，
所以$∠BOD = 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
所以$∠BOD + ∠COM = 90^{\circ}$。
因为$∠AON = ∠COM$，
所以$∠BOD + ∠AON = 90^{\circ}$。
所以$∠NOD = 180^{\circ} - (∠BOD + ∠AON) = 90^{\circ}$。
（2）设$∠COM = x$，则$∠BOC = 5x$，
所以$∠BOM = 4x$。
因为$∠BOD + ∠COM = 90^{\circ}$，
所以$∠BOM = 180^{\circ} - (∠BOD + ∠COM) = 90^{\circ}$，
即$4x = 90^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$，
即$∠COM = 22.5^{\circ}$，
所以$∠BOD = 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
解析
【分析】
第（1）问首先根据互余的定义，得到∠BOD与∠COM的和为90°，再结合已知条件∠AON=∠COM，通过等量代换得到∠AON+∠BOD=90°；由于AB是直线，∠AOB是180°的平角，因此用180°减去∠AON和∠BOD的和，就能直接算出∠NOD的度数。
第（2）问适合用方程思想简化计算，设∠COM的度数为x，将∠BOC用5x表示，结合平角和互余的性质推导出∠BOM的度数为90°，建立关于x的一元一次方程求解出∠COM的度数，再利用∠BOD和∠COM互余的关系，即可算出∠BOD的度数。
【解析】
（1）已知∠BOD和∠COM互余，根据互余的定义可得：
$∠ BOD + ∠ COM = 90°$
又因为$∠ AON = ∠ COM$，代入上式等量代换可得：
$∠ BOD + ∠ AON = 90°$
由于点O在直线AB上，平角$∠ AOB=180°$，即$∠ AON + ∠ NOD + ∠ BOD = 180°$
因此$∠ NOD = 180° - (∠ AON + ∠ BOD) = 180° - 90° = 90°$
（2）设$∠ COM = x$，由题意$∠ BOC = 5∠ COM$，因此$∠ BOC = 5x$
可得$∠ BOM = ∠ BOC - ∠ COM = 5x - x = 4x$
又因为$∠ BOD + ∠ COM = 90°$，且平角$∠ COD=180°$，即$∠ BOD + ∠ BOC = 180°$，代入得：
$∠ BOD + 5x = 180°$，结合$∠ BOD + x = 90°$，两式相减得$4x=90°$
解得$x=22.5°$，即$∠ COM=22.5°$
因此$∠ BOD = 90° - ∠ COM = 90° - 22.5° = 67.5°$
【答案】
（1）$∠ NOD=90°$；（2）$∠ BOD=67.5°$
【知识点】
互余定义，平角性质，角度计算
【点评】
本题是相交线基础角度计算题，第一问侧重等量代换的逻辑推导，第二问引入方程思想降低计算难度，只要熟练掌握互余、平角的基础性质，理清图中各角的和差关系，就可以顺利完成求解。
【难度系数】
0.7
第（1）问首先根据互余的定义，得到∠BOD与∠COM的和为90°，再结合已知条件∠AON=∠COM，通过等量代换得到∠AON+∠BOD=90°；由于AB是直线，∠AOB是180°的平角，因此用180°减去∠AON和∠BOD的和，就能直接算出∠NOD的度数。
第（2）问适合用方程思想简化计算，设∠COM的度数为x，将∠BOC用5x表示，结合平角和互余的性质推导出∠BOM的度数为90°，建立关于x的一元一次方程求解出∠COM的度数，再利用∠BOD和∠COM互余的关系，即可算出∠BOD的度数。
【解析】
（1）已知∠BOD和∠COM互余，根据互余的定义可得：
$∠ BOD + ∠ COM = 90°$
又因为$∠ AON = ∠ COM$，代入上式等量代换可得：
$∠ BOD + ∠ AON = 90°$
由于点O在直线AB上，平角$∠ AOB=180°$，即$∠ AON + ∠ NOD + ∠ BOD = 180°$
因此$∠ NOD = 180° - (∠ AON + ∠ BOD) = 180° - 90° = 90°$
（2）设$∠ COM = x$，由题意$∠ BOC = 5∠ COM$，因此$∠ BOC = 5x$
可得$∠ BOM = ∠ BOC - ∠ COM = 5x - x = 4x$
又因为$∠ BOD + ∠ COM = 90°$，且平角$∠ COD=180°$，即$∠ BOD + ∠ BOC = 180°$，代入得：
$∠ BOD + 5x = 180°$，结合$∠ BOD + x = 90°$，两式相减得$4x=90°$
解得$x=22.5°$，即$∠ COM=22.5°$
因此$∠ BOD = 90° - ∠ COM = 90° - 22.5° = 67.5°$
【答案】
（1）$∠ NOD=90°$；（2）$∠ BOD=67.5°$
【知识点】
互余定义，平角性质，角度计算
【点评】
本题是相交线基础角度计算题，第一问侧重等量代换的逻辑推导，第二问引入方程思想降低计算难度，只要熟练掌握互余、平角的基础性质，理清图中各角的和差关系，就可以顺利完成求解。
【难度系数】
0.7
