【变式1】计算:(1)$\sin 600° + \tan 240°$；(2)$\cos \frac{17π}{6} + \sin(-\frac{16π}{3}) - \tan(-\frac{5π}{4})$。

解:(1)$\sin 600° + \tan 240° = \sin(720° - 120°) + \tan(180°+60°) = -\sin 120° + \tan 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)原式$=\cos(3π-\frac{π}{6})-\sin\frac{16π}{3}+\tan\frac{5π}{4}=-\cos\frac{π}{6}-\sin(5π+\frac{π}{3})+\tan(π+\frac{π}{4})=-\cos\frac{π}{6}+\sin\frac{π}{3}+\tan\frac{π}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1=1$。

【典例2】(1)已知$\sin(\frac{π}{2}+α)=\frac{3}{5}$，$α\in(\frac{3π}{2},2π)$，则$\sin(π+α)=$（）

A.$\frac{3}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$-\frac{4}{5}$

C

由诱导公式$\sin(\frac{π}{2}+α)=\cosα$，可得$\cosα=\frac{3}{5}$。
已知$α\in(\frac{3π}{2},2π)$，即$α$为第四象限角，因此$\sinα＜0$。
由同角三角函数的平方关系得：
$\sinα=-\sqrt{1-\cos^2α}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。
再由诱导公式$\sin(π+α)=-\sinα$，代入得：
$\sin(π+α)=-(-\frac{4}{5})=\frac{4}{5}$。

(2)已知 $\sin(\frac{π}{3}+x)=\frac{\sqrt{6}}{3}$，且 $\frac{π}{3}＜x＜π$，则 $\sin(\frac{π}{6}-x)-\cos(\frac{2π}{3}-x)$ 的值为 （）
A.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.0
D.$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解题指导 (1)先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系以及所给角的范围求解即可。
(2)根据诱导公式及同角三角函数的基本关系，先由 $\frac{π}{3}+x=\frac{π}{2}-(\frac{π}{6}-x)$，得出 $\cos(\frac{π}{6}-x)$ 和 $\sin(\frac{π}{6}-x)$ 的值，再由 $\frac{2π}{3}-x=\frac{π}{2}+(\frac{π}{6}-x)$，求出 $\cos(\frac{2π}{3}-x)$ 的值即可。
解析 (1)因为 $\sin(\frac{π}{2}+α)=\frac{3}{5}$，
所以 $\sin(\frac{π}{2}+α)=\cosα=\frac{3}{5}$。
又 $α\in(\frac{3π}{2},2π)$，所以 $\sinα＜0$，
所以 $\sinα=-\sqrt{1-\cos^2α}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$，
所以 $\sin(π+α)=-\sinα=-(-\frac{4}{5})=\frac{4}{5}$。
(2)因为 $\sin(\frac{π}{3}+x)=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以 $\sin(\frac{π}{3}+x)=\sin[\frac{π}{2}-(\frac{π}{6}-x)]=\cos(\frac{π}{6}-x)=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
又 $\frac{π}{3}＜x＜π$，所以 $-\frac{5π}{6}＜\frac{π}{6}-x＜-\frac{π}{6}$，
所以 $\sin(\frac{π}{6}-x)＜0$。
由同角三角函数的基本关系，知 $\sin(\frac{π}{6}-x)=-\sqrt{1-\frac{6}{9}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以 $\sin(\frac{π}{6}-x)-\cos(\frac{2π}{3}-x)=\sin(\frac{π}{6}-x)-\cos[\frac{π}{2}+(\frac{π}{6}-x)]=\sin(\frac{π}{6}-x)+\sin(\frac{π}{6}-x)=2×(-\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。(将角 $\frac{π}{3}+x$ 化为 $\frac{π}{2}-(\frac{π}{6}-x)$，角 $\frac{2π}{3}-x$ 化为 $\frac{π}{2}+(\frac{π}{6}-x)$ 是解决本题的关键)
答案 (1)C (2)D

D

解：
因为$\sin(\frac{π}{3}+x)=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由诱导公式$\sin(\frac{π}{2}-α)=\cosα$，得：
$\sin(\frac{π}{3}+x)=\sin[\frac{π}{2}-(\frac{π}{6}-x)]=\cos(\frac{π}{6}-x)=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
由$\frac{π}{3}＜x＜π$，可得$-\frac{5π}{6}＜\frac{π}{6}-x＜-\frac{π}{6}$，
因此$\sin(\frac{π}{6}-x)＜0$。
由同角三角函数的平方关系：
$\sin(\frac{π}{6}-x)=-\sqrt{1-\cos^2(\frac{π}{6}-x)}=-\sqrt{1-\frac{6}{9}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
由诱导公式$\cos(\frac{π}{2}+α)=-\sinα$，得：
$\cos(\frac{2π}{3}-x)=\cos[\frac{π}{2}+(\frac{π}{6}-x)]=-\sin(\frac{π}{6}-x)$。
代入所求式子：
$\sin(\frac{π}{6}-x)-\cos(\frac{2π}{3}-x)$
$=\sin(\frac{π}{6}-x)+\sin(\frac{π}{6}-x)$
$=2×(-\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。