知识点2 诱导公式五、六 ★★★
1.公式五
|诱导公式|图形表示|终边关系|
| ---- | ---- | ---- |
|$\sin(\frac{π}{2}-α)=\cosα$|图1（坐标系，直线$y=x$，角$α$、$\frac{π}{2}-α$）|角$\frac{π}{2}-α$的终边与角$α$的终边关于直线$y=x$对称|
|$\cos(\frac{π}{2}-α)=\sinα$| | |
2.公式六
|诱导公式|图形表示|终边关系|
| ---- | ---- | ---- |
|$\sin(\frac{π}{2}+α)=\cosα$|图2（坐标系，角$\frac{π}{2}+α$、$α$）|角$\frac{π}{2}+α$的终边与角$\frac{π}{2}-α$的终边关于$y$轴对称|
|$\cos(\frac{π}{2}+α)=-\sinα$| | |
▶名师点拨
(1)公式五、六中的$α$是任意角。
(2)公式一~六中的角可归纳为$k·\frac{π}{2}\pmα$的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的。
②“奇”“偶”是对$k·\frac{π}{2}\pmα$中的整数$k$来讲的。
③“象限”指$k·\frac{π}{2}\pmα$中，将$α$看成锐角时，$k·\frac{π}{2}\pmα$所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号。
(3)利用公式五、六，结合公式二，还可以推出如下公式：
$\sin(\frac{3π}{2}-α)=-\cosα,\cos(\frac{3π}{2}-α)=-\sinα,$
$\sin(\frac{3π}{2}+α)=-\cosα,\cos(\frac{3π}{2}+α)=\sinα.$
【学以致用3】(1)已知$\sin(α+\frac{π}{6})=\frac{3}{5}$，则
$\cos(α+\frac{2π}{3})=α+\frac{2π}{3}=\frac{π}{2}+(α+\frac{π}{6}).(\quad)$
A.$-\frac{3}{5}$ B.$\frac{3}{5}$
C.$-\frac{4}{5}$ D.$\frac{4}{5}$
(2)已知角$α$满足$\tanα=-\frac{4}{3}$，则
$\frac{2\sin(π-α)+\sin(\frac{3π}{2}-α)}{\cos(\frac{π}{2}+α)-\cos(2π-α)}=(\quad)$
A.$-11$ B.$-\frac{11}{7}$
C.$\frac{11}{7}$ D.$11$
第二步 过典例
过典型例题，学习解题方法

(1)$\cos(α+\frac{2π}{3})=\cos[\frac{π}{2}+(α+\frac{π}{6})]=-\sin(α+\frac{π}{6})=-\frac{3}{5}$。
(2)因为$\tan α=-\frac{4}{3}$，
所以$\frac{2\sin(π-α)+\sin(\frac{3π}{2}-α)}{\cos(\frac{π}{2}+α)-\cos(2π-α)}=\frac{2\sin α-\cos α}{-\sin α-\cos α}=\frac{2\tan α-1}{-\tan α-1}=\frac{2×(-\frac{4}{3})-1}{-(-\frac{4}{3})-1}=-11$。

【典例1】(1)$\sin(-1950°)=$ ()
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2)$\sin(-\frac{13π}{6})\cos\frac{23π}{3}\tan\frac{13π}{4}=$.
解题指导 (1)根据诱导公式,将其转化为锐角的三角函数值问题.
(2)先利用诱导公式化简,再利用特殊角的三角函数值计算即可.
解析 (1)$\sin(-1950°)=\sin(210°-6×360°)=\sin210°=\sin(180°+30°)=-\sin30°=-\frac{1}{2}$.
(2)原式$=-\sin\frac{13π}{6}\cos(8π-\frac{π}{3})\tan(3π+\frac{π}{4})$
$=-\sin(2π+\frac{π}{6})\cos(-\frac{π}{3})\tan\frac{π}{4}$
$=-\sin\frac{π}{6}\cos\frac{π}{3}\tan\frac{π}{4}$
$=-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{4}$.
答案 (1)B (2)$-\frac{1}{4}$

解：
(1) $\sin(-1950°)=\sin(210° - 6×360°)$
$=\sin210°$
$=\sin(180°+30°)$
$=-\sin30°$
$=-\frac{1}{2}$
故选B。
(2) 原式$=-\sin\frac{13π}{6}\cos(8π-\frac{π}{3})\tan(3π+\frac{π}{4})$
$=-\sin(2π+\frac{π}{6})\cos(-\frac{π}{3})\tan\frac{π}{4}$
$=-\sin\frac{π}{6}\cos\frac{π}{3}\tan\frac{π}{4}$
$=-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$
$=-\frac{1}{4}$