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1. 方程 $4(2x-1)^2-25(x+1)^2=0$ 的解为（
A.$x_1=x_2=-7$
B.$x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
C.$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=7$
D.$x_1=-7,x_2=\dfrac{1}{3}$
B
）A.$x_1=x_2=-7$
B.$x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
C.$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=7$
D.$x_1=-7,x_2=\dfrac{1}{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题是一元二次方程，观察方程结构符合平方差公式的形式，可利用平方差公式对左边进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别求解一次方程即可得到方程的解，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
解：原方程可变形为：
$[2(2x - 1)]^2 - [5(x + 1)]^2 = 0$
根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，因式分解得：
$[2(2x - 1) - 5(x + 1)][2(2x - 1) + 5(x + 1)] = 0$
分别化简两个因式：
第一个因式：$2(2x -1) -5(x +1) = 4x -2 -5x -5 = -x -7$
第二个因式：$2(2x -1) +5(x +1) = 4x -2 +5x +5 = 9x +3$
则方程转化为：
$(-x -7)(9x +3) = 0$
令每个因式为0，解得：
$-x -7 =0 \implies x=-7$
$9x +3=0 \implies x=-\frac{1}{3}$
所以方程的解为 $x_1=-7, x_2=-\frac{1}{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、平方差公式
【点评】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，利用平方差公式简化计算，避免了复杂的展开运算，解题思路清晰，计算简便，是一元二次方程解法中的基础题型。
【难度系数】
0.6
这道题是一元二次方程，观察方程结构符合平方差公式的形式，可利用平方差公式对左边进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别求解一次方程即可得到方程的解，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
解：原方程可变形为：
$[2(2x - 1)]^2 - [5(x + 1)]^2 = 0$
根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，因式分解得：
$[2(2x - 1) - 5(x + 1)][2(2x - 1) + 5(x + 1)] = 0$
分别化简两个因式：
第一个因式：$2(2x -1) -5(x +1) = 4x -2 -5x -5 = -x -7$
第二个因式：$2(2x -1) +5(x +1) = 4x -2 +5x +5 = 9x +3$
则方程转化为：
$(-x -7)(9x +3) = 0$
令每个因式为0，解得：
$-x -7 =0 \implies x=-7$
$9x +3=0 \implies x=-\frac{1}{3}$
所以方程的解为 $x_1=-7, x_2=-\frac{1}{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、平方差公式
【点评】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，利用平方差公式简化计算，避免了复杂的展开运算，解题思路清晰，计算简便，是一元二次方程解法中的基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 已知三角形的两边长分别为4和6,第三边的长是方程$(x-3)^2=4$的根,则此三角形的周长为（
A.17
B.11
C.15
D.11或15
C
）A.17
B.11
C.15
D.11或15
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：1. 先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能长度；2. 根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），筛选出符合条件的第三边长度；3. 利用三角形周长公式计算周长，选出正确选项。需注意不能直接将方程的所有根都作为第三边，必须验证是否满足三角形的构成条件。
【解析】
解：1. 解方程$(x-3)^2=4$：
开平方得：$x-3=±2$，
解得：$x_1=5$，$x_2=1$。
2. 验证第三边是否符合三角形三边关系：
已知三角形两边长为4和6，根据三边关系，第三边需满足：$6-4 ＜ 第三边 ＜ 6+4$，即$2 ＜ 第三边 ＜ 10$。
当第三边为1时，$1 ＜ 2$，不满足三边关系，舍去；
当第三边为5时，$2 ＜5 ＜10$，符合条件。
3. 计算三角形周长：
周长 = $4 +6 +5 =15$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程求解与三角形三边关系，易错点是直接将方程的两个根都作为第三边，忽略三角形三边的构成条件，需牢记三角形任意两边之和大于第三边，以此筛选正确的第三边长度。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分三步思考：1. 先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能长度；2. 根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），筛选出符合条件的第三边长度；3. 利用三角形周长公式计算周长，选出正确选项。需注意不能直接将方程的所有根都作为第三边，必须验证是否满足三角形的构成条件。
【解析】
解：1. 解方程$(x-3)^2=4$：
开平方得：$x-3=±2$，
解得：$x_1=5$，$x_2=1$。
2. 验证第三边是否符合三角形三边关系：
已知三角形两边长为4和6，根据三边关系，第三边需满足：$6-4 ＜ 第三边 ＜ 6+4$，即$2 ＜ 第三边 ＜ 10$。
当第三边为1时，$1 ＜ 2$，不满足三边关系，舍去；
当第三边为5时，$2 ＜5 ＜10$，符合条件。
3. 计算三角形周长：
周长 = $4 +6 +5 =15$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程求解与三角形三边关系，易错点是直接将方程的两个根都作为第三边，忽略三角形三边的构成条件，需牢记三角形任意两边之和大于第三边，以此筛选正确的第三边长度。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于 $x$ 的方程 $a(x+m)^2+b=0(a,b,$ $m$ 为常数, $a ≠ 0)$ 的解是 $x_1=2,x_2=-1,$那么方程 $a(x+m+2)^2+b=0$ 的解是
$x_1=0,x_2=-3$
.答案
3. $x_1=0,x_2=-3$
解析
【分析】这道题需运用整体换元的思想，核心是将目标方程的整体部分与已知方程的解对应。已知方程$a(x+m)^2 +b=0$的解是$x_1=2,x_2=-1$，说明当括号内的$(x+m)$取2或-1时方程成立；目标方程的括号内是$(x+m+2)$，相当于原方程中$(x+m)$的值增加了2，因此令$(x+m+2)$等于原方程的解，即可求出目标方程的解。
【解析】已知方程$a(x+m)^2 +b=0(a≠0)$的解为$x_1=2,x_2=-1$，即当$(x+m)=2$或$(x+m)=-1$时方程成立。对于方程$a(x+m+2)^2 +b=0$，设$t=x+m+2$，则方程化为$at^2 +b=0$，与原方程形式一致，故$t$的解为$t=2$或$t=-1$。
分别代入$t=x+m+2$：
1. 当$t=2$时，$x+m+2=2$，解得$x=0$；
2. 当$t=-1$时，$x+m+2=-1$，解得$x=-3$。
【答案】$x_1=0,x_2=-3$
【知识点】一元二次方程的解，整体换元思想
【点评】本题通过整体换元避免求解参数$a,b,m$，简化了解题过程，考查对一元二次方程解的理解和整体思想的应用，是一元二次方程解的典型基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】已知方程$a(x+m)^2 +b=0(a≠0)$的解为$x_1=2,x_2=-1$，即当$(x+m)=2$或$(x+m)=-1$时方程成立。对于方程$a(x+m+2)^2 +b=0$，设$t=x+m+2$，则方程化为$at^2 +b=0$，与原方程形式一致，故$t$的解为$t=2$或$t=-1$。
分别代入$t=x+m+2$：
1. 当$t=2$时，$x+m+2=2$，解得$x=0$；
2. 当$t=-1$时，$x+m+2=-1$，解得$x=-3$。
【答案】$x_1=0,x_2=-3$
【知识点】一元二次方程的解，整体换元思想
【点评】本题通过整体换元避免求解参数$a,b,m$，简化了解题过程，考查对一元二次方程解的理解和整体思想的应用，是一元二次方程解的典型基础题型。
【难度系数】0.6
4. (2024 广州市中考)定义新运算:$a\bigotimes b=$$\begin{cases}a^{2}-b(a≤ 0),\\ -a+b(a＞0).\end{cases}$例如:$(-2)\bigotimes 4=(-2)^{2}-$$4=0,2\bigotimes 3=-2+3=1$.若$x\bigotimes 1=-\dfrac{3}{4}$,则$x$的值为 ______ .
答案
4. $-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
解析
【分析】
本题为定义新运算问题，需依据新运算的分段规则分情况讨论：根据x的取值范围（x≤0或x＞0），代入对应运算公式列方程求解，最终验证解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
1. 当$ x ≤ 0 $时，$ x\bigotimes 1 = x^2 - 1 $，由题意得：
$ x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4} $
移项得：$ x^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} $
解得：$ x = \pm \dfrac{1}{2} $
因前提为$ x ≤ 0 $，故$ x = \dfrac{1}{2} $不符合条件，舍去，保留$ x = -\dfrac{1}{2} $；
2. 当$ x ＞ 0 $时，$ x\bigotimes 1 = -x + 1 $，由题意得：
$ -x + 1 = -\dfrac{3}{4} $
移项得：$ -x = -\dfrac{3}{4} - 1 = -\dfrac{7}{4} $
解得：$ x = \dfrac{7}{4} $
因$ x = \dfrac{7}{4} ＞ 0 $，符合条件，保留；
综上，$ x $的值为$ -\dfrac{1}{2} $或$ \dfrac{7}{4} $。
【答案】
$ -\dfrac{1}{2} $或$ \dfrac{7}{4} $
【知识点】
定义新运算，一元二次方程，一元一次方程
【点评】
本题考查定义新运算的应用，核心是运用分类讨论思想，严格遵循新运算的分段规则分情况列方程，需注意验证解的合理性，避免出现不符合取值范围的解，是中考常见的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题为定义新运算问题，需依据新运算的分段规则分情况讨论：根据x的取值范围（x≤0或x＞0），代入对应运算公式列方程求解，最终验证解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
1. 当$ x ≤ 0 $时，$ x\bigotimes 1 = x^2 - 1 $，由题意得：
$ x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4} $
移项得：$ x^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} $
解得：$ x = \pm \dfrac{1}{2} $
因前提为$ x ≤ 0 $，故$ x = \dfrac{1}{2} $不符合条件，舍去，保留$ x = -\dfrac{1}{2} $；
2. 当$ x ＞ 0 $时，$ x\bigotimes 1 = -x + 1 $，由题意得：
$ -x + 1 = -\dfrac{3}{4} $
移项得：$ -x = -\dfrac{3}{4} - 1 = -\dfrac{7}{4} $
解得：$ x = \dfrac{7}{4} $
因$ x = \dfrac{7}{4} ＞ 0 $，符合条件，保留；
综上，$ x $的值为$ -\dfrac{1}{2} $或$ \dfrac{7}{4} $。
【答案】
$ -\dfrac{1}{2} $或$ \dfrac{7}{4} $
【知识点】
定义新运算，一元二次方程，一元一次方程
【点评】
本题考查定义新运算的应用，核心是运用分类讨论思想，严格遵循新运算的分段规则分情况列方程，需注意验证解的合理性，避免出现不符合取值范围的解，是中考常见的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
5. 对于实数 $m,n$，我们用符号 $\min\{m,n\}$ 表示
$m,n$ 两数中较小的数. 例如：$\min\{1,2\}=1$.
若 $\min\{x^2-1,2x^2\}=2$，则 $x=$
$m,n$ 两数中较小的数. 例如：$\min\{1,2\}=1$.
若 $\min\{x^2-1,2x^2\}=2$，则 $x=$
$\pm\sqrt{3}$
.答案
5. $\pm\sqrt{3}$ 提示:因为 $x^2-1-2x^2=-x^2-1＜0$,所以$\min\{x^2-1,2x^2\}=x^2-1=2$,所以$x^2=3$.直接开平方,得$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先明确符号$\min\{m,n\}$的含义是取两数中较小的数，解题时需先比较$x^2-1$与$2x^2$的大小，确定较小的代数式，再根据已知条件“$\min\{x^2-1,2x^2\}=2$”列方程求解。具体思路：计算两式的差判断大小关系，再代入等式解方程。
【解析】
解：先比较$x^2-1$与$2x^2$的大小，计算它们的差：
$(x^2-1)-2x^2=-x^2-1$
因为对任意实数$x$，$x^2≥0$，所以$-x^2-1≤-1＜0$，即$x^2-1＜2x^2$。
根据$\min$函数的定义，$\min\{x^2-1,2x^2\}=x^2-1$。
已知$\min\{x^2-1,2x^2\}=2$，因此可得方程：
$x^2-1=2$
移项得$x^2=3$，对$x^2=3$开平方，解得$x=\pm\sqrt{3}$。
【答案】$\pm\sqrt{3}$
【知识点】新定义运算；一元二次方程求解
【点评】本题是新定义运算类题目，核心是理解$\min$函数的含义，关键在于先判断两个代数式的大小关系，再转化为常规方程求解，注重对新定义的应用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
首先明确符号$\min\{m,n\}$的含义是取两数中较小的数，解题时需先比较$x^2-1$与$2x^2$的大小，确定较小的代数式，再根据已知条件“$\min\{x^2-1,2x^2\}=2$”列方程求解。具体思路：计算两式的差判断大小关系，再代入等式解方程。
【解析】
解：先比较$x^2-1$与$2x^2$的大小，计算它们的差：
$(x^2-1)-2x^2=-x^2-1$
因为对任意实数$x$，$x^2≥0$，所以$-x^2-1≤-1＜0$，即$x^2-1＜2x^2$。
根据$\min$函数的定义，$\min\{x^2-1,2x^2\}=x^2-1$。
已知$\min\{x^2-1,2x^2\}=2$，因此可得方程：
$x^2-1=2$
移项得$x^2=3$，对$x^2=3$开平方，解得$x=\pm\sqrt{3}$。
【答案】$\pm\sqrt{3}$
【知识点】新定义运算；一元二次方程求解
【点评】本题是新定义运算类题目，核心是理解$\min$函数的含义，关键在于先判断两个代数式的大小关系，再转化为常规方程求解，注重对新定义的应用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
6. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $x^{2}+4x+4=1$；
(2) $(2x-1)^{2}=(x-2)^{2}.$
(1) $x^{2}+4x+4=1$；
(2) $(2x-1)^{2}=(x-2)^{2}.$
答案
6. 解:(1) 原方程可化为$(x+2)^2=1$.直接开平方,得$x+2=\pm1$,即$x+2=1$或$x+2=-1$,所以$x_1=-1,x_2=-3$.
(2) 直接开平方,得$2x-1=\pm(x-2)$,所以$2x-1=x-2$或$2x-1=-x+2$,所以$x_1=-1,x_2=1$.
(2) 直接开平方,得$2x-1=\pm(x-2)$,所以$2x-1=x-2$或$2x-1=-x+2$,所以$x_1=-1,x_2=1$.
解析
【分析】
解本题的核心是掌握直接开平方法的解题逻辑：将方程转化为“平方项等于非负数”的形式，对两边开平方后得到两个一元一次方程，再分别求解。第(1)题需先利用完全平方公式将左边整理为完全平方式，再开平方；第(2)题两边均为平方形式，可直接开平方，注意开平方后存在正负两种情况，需分别处理对应的一元一次方程。
【解析】
(1) 原方程左边符合完全平方公式，可化为$(x+2)^2=1$。根据直接开平方法，对等式两边开平方得：$x+2=\pm1$，即$x+2=1$或$x+2=-1$。分别解这两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(2) 方程两边均为平方形式，直接开平方得：$2x-1=\pm(x-2)$，即$2x-1=x-2$或$2x-1=-x+2$。分别解这两个一元一次方程：解$2x-1=x-2$得$x=-1$；解$2x-1=-x+2$得$3x=3$，即$x=1$。所以方程的解为$x_1=-1$，$x_2=1$。
【答案】
6. 解:(1) 原方程可化为$(x+2)^2=1$.直接开平方,得$x+2=\pm1$,即$x+2=1$或$x+2=-1$,所以$x_1=-1,x_2=-3$.(2) 直接开平方,得$2x-1=\pm(x-2)$,所以$2x-1=x-2$或$2x-1=-x+2$,所以$x_1=-1,x_2=1$.
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，属于基础题型，需掌握完全平方公式的应用及开平方后正负情况的处理，步骤清晰，是对基础方法的直接考察。
【难度系数】
0.7
解本题的核心是掌握直接开平方法的解题逻辑：将方程转化为“平方项等于非负数”的形式，对两边开平方后得到两个一元一次方程，再分别求解。第(1)题需先利用完全平方公式将左边整理为完全平方式，再开平方；第(2)题两边均为平方形式，可直接开平方，注意开平方后存在正负两种情况，需分别处理对应的一元一次方程。
【解析】
(1) 原方程左边符合完全平方公式，可化为$(x+2)^2=1$。根据直接开平方法，对等式两边开平方得：$x+2=\pm1$，即$x+2=1$或$x+2=-1$。分别解这两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(2) 方程两边均为平方形式，直接开平方得：$2x-1=\pm(x-2)$，即$2x-1=x-2$或$2x-1=-x+2$。分别解这两个一元一次方程：解$2x-1=x-2$得$x=-1$；解$2x-1=-x+2$得$3x=3$，即$x=1$。所以方程的解为$x_1=-1$，$x_2=1$。
【答案】
6. 解:(1) 原方程可化为$(x+2)^2=1$.直接开平方,得$x+2=\pm1$,即$x+2=1$或$x+2=-1$,所以$x_1=-1,x_2=-3$.(2) 直接开平方,得$2x-1=\pm(x-2)$,所以$2x-1=x-2$或$2x-1=-x+2$,所以$x_1=-1,x_2=1$.
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，属于基础题型，需掌握完全平方公式的应用及开平方后正负情况的处理，步骤清晰，是对基础方法的直接考察。
【难度系数】
0.7
7. 解方程:$mx^{2}-3=x^{2}+2(m≠ 1).$
答案
7. 解:移项,得$mx^2-x^2=2+3$.整理,得$(m-1)x^2=5$.因为$m≠1$,所以$x^2=\dfrac{5}{m-1}$.
当$m-1＜0$时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＜0$,所以原方程无实数解;当$m-1＞0$时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＞0$,所以$x_1=\sqrt{\dfrac{5}{m-1}}=\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$,$x_2=-\sqrt{\dfrac{5}{m-1}}=-\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$.所以当$m＞1$时,原方程的解是$x=\pm\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$;当$m＜1$时,原方程无实数解.
当$m-1＜0$时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＜0$,所以原方程无实数解;当$m-1＞0$时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＞0$,所以$x_1=\sqrt{\dfrac{5}{m-1}}=\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$,$x_2=-\sqrt{\dfrac{5}{m-1}}=-\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$.所以当$m＞1$时,原方程的解是$x=\pm\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$;当$m＜1$时,原方程无实数解.
解析
【分析】
解该方程的思路为：先通过移项将含未知数的项与常数项分离，合并同类项后整理成关于$x^2$的等式；由于$m$是参数且$m≠1$，可将$x^2$的系数化为1，再依据平方数的非负性，分情况讨论系数的正负，判断方程是否有实数解，若有解则求出对应的平方根。
【解析】
移项，得 $ mx^2 - x^2 = 2 + 3 $，
合并同类项，得 $ (m - 1)x^2 = 5 $。
因为 $ m≠1 $，所以 $ m - 1≠0 $，两边同时除以$m - 1$，得 $ x^2 = \dfrac{5}{m - 1} $。
根据平方数的非负性：
当 $ m - 1 ＜ 0 $，即 $ m ＜ 1 $ 时，$ x^2 = \dfrac{5}{m - 1} ＜ 0 $，此时方程无实数解；
当 $ m - 1 ＞ 0 $，即 $ m ＞ 1 $ 时，$ x^2 = \dfrac{5}{m - 1} ＞ 0 $，两边开平方得 $ x = ±\sqrt{\dfrac{5}{m - 1}} $，化简得 $ x = ±\dfrac{\sqrt{5(m - 1)}}{m - 1} $。
综上，当 $ m ＞ 1 $ 时，原方程的解为 $ x = ±\dfrac{\sqrt{5(m - 1)}}{m - 1} $；当 $ m ＜ 1 $ 时，原方程无实数解。
【答案】
当$m＞1$时，方程的解为$x=±\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$；当$m＜1$时，方程无实数解。
【知识点】
一元二次方程解法，分类讨论思想
【点评】
本题为含参数的一元二次方程求解问题，核心是移项、合并同类项整理方程，关键在于根据平方数的非负性对参数$m$分类讨论，避免直接开平方的错误，考查学生的分类思维与运算能力。
【难度系数】
0.5
解该方程的思路为：先通过移项将含未知数的项与常数项分离，合并同类项后整理成关于$x^2$的等式；由于$m$是参数且$m≠1$，可将$x^2$的系数化为1，再依据平方数的非负性，分情况讨论系数的正负，判断方程是否有实数解，若有解则求出对应的平方根。
【解析】
移项，得 $ mx^2 - x^2 = 2 + 3 $，
合并同类项，得 $ (m - 1)x^2 = 5 $。
因为 $ m≠1 $，所以 $ m - 1≠0 $，两边同时除以$m - 1$，得 $ x^2 = \dfrac{5}{m - 1} $。
根据平方数的非负性：
当 $ m - 1 ＜ 0 $，即 $ m ＜ 1 $ 时，$ x^2 = \dfrac{5}{m - 1} ＜ 0 $，此时方程无实数解；
当 $ m - 1 ＞ 0 $，即 $ m ＞ 1 $ 时，$ x^2 = \dfrac{5}{m - 1} ＞ 0 $，两边开平方得 $ x = ±\sqrt{\dfrac{5}{m - 1}} $，化简得 $ x = ±\dfrac{\sqrt{5(m - 1)}}{m - 1} $。
综上，当 $ m ＞ 1 $ 时，原方程的解为 $ x = ±\dfrac{\sqrt{5(m - 1)}}{m - 1} $；当 $ m ＜ 1 $ 时，原方程无实数解。
【答案】
当$m＞1$时，方程的解为$x=±\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$；当$m＜1$时，方程无实数解。
【知识点】
一元二次方程解法，分类讨论思想
【点评】
本题为含参数的一元二次方程求解问题，核心是移项、合并同类项整理方程，关键在于根据平方数的非负性对参数$m$分类讨论，避免直接开平方的错误，考查学生的分类思维与运算能力。
【难度系数】
0.5
8. 小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
例如:解方程 $x(x+4)=6$.
解:原方程可变形,得 $[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$.
$(x+2)^2-2^2=6,$
$(x+2)^2=6+2^2,$
$(x+2)^2=10.$
直接开平方并整理,得 $x_1=-2+\sqrt{10}$, $x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
(1) 下面是小明用“平均数法”解方程 $(x+3)(x+7)=5$ 时写的解题过程.
解:原方程可变形,得 $[(x+a)-b]·[(x+a)+b]=5$.
$(x+a)^2-b^2=5,$
$(x+a)^2=5+b^2.$
直接开平方并整理,得 $x_1=c$,$x_2=d$.
上述过程中的 $a,b,c,d$ 表示的数分别为
(2) 请用“平均数法”解方程: $(x-5)(x+3)=6$.
例如:解方程 $x(x+4)=6$.
解:原方程可变形,得 $[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$.
$(x+2)^2-2^2=6,$
$(x+2)^2=6+2^2,$
$(x+2)^2=10.$
直接开平方并整理,得 $x_1=-2+\sqrt{10}$, $x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
(1) 下面是小明用“平均数法”解方程 $(x+3)(x+7)=5$ 时写的解题过程.
解:原方程可变形,得 $[(x+a)-b]·[(x+a)+b]=5$.
$(x+a)^2-b^2=5,$
$(x+a)^2=5+b^2.$
直接开平方并整理,得 $x_1=c$,$x_2=d$.
上述过程中的 $a,b,c,d$ 表示的数分别为
5
,2
,-2
,-8
.(2) 请用“平均数法”解方程: $(x-5)(x+3)=6$.
答案
8. (1) 5 2 -2 -8
(2) 解:原方程可变形,得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$.$(x-1)^2-4^2=6$,$(x-1)^2=22$.所以$x_1=1+\sqrt{22}$,$x_2=1-\sqrt{22}$.
(2) 解:原方程可变形,得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$.$(x-1)^2-4^2=6$,$(x-1)^2=22$.所以$x_1=1+\sqrt{22}$,$x_2=1-\sqrt{22}$.
解析
【分析】
本题是新定义题型，考查对“平均数法”解一元二次方程的理解与应用，核心是利用平方差公式将两个一次式转化为“平均数±b”的形式，简化方程求解。对于第(1)问，需先确定两个因式的平均数（即a），再确定两因式与平均数的差（即b），最后通过开平方整理得到c、d；第(2)问直接套用平均数法的步骤，先找平均数，再用平方差公式变形，进而求解。
【解析】
(1) 对于方程$(x+3)(x+7)=5$，两个因式为$x+3$和$x+7$，它们的平均数为$\frac{(x+3)+(x+7)}{2}=x+5$，故$a=5$；两因式与平均数的差为$(x+7)-(x+5)=2$，故$b=2$。代入变形后的方程得$(x+5)^2 - 2^2=5$，即$(x+5)^2=9$，开平方得$x+5=\pm3$，整理得$x_1=-2$，$x_2=-8$，故$c=-2$，$d=-8$。
(2) 用“平均数法”解方程$(x-5)(x+3)=6$：
原方程中两个因式为$x-5$和$x+3$，它们的平均数为$\frac{(x-5)+(x+3)}{2}=x-1$，两因式与平均数的差为$(x-1)-(x-5)=4$，故原方程可变形为$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$；
利用平方差公式展开得$(x-1)^2 - 4^2=6$；
整理得$(x-1)^2=6+16=22$；
直接开平方得$x-1=\pm\sqrt{22}$，整理得$x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$。
【答案】
(1) $5$，$2$，$-2$，$-8$；
(2) $x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$
【知识点】
一元二次方程的解法、平方差公式
【点评】
本题属于新定义题型，要求学生快速理解并迁移应用新的解方程方法，核心是利用平方差公式简化一元二次方程，考查学生的知识迁移能力和对公式的灵活运用，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是新定义题型，考查对“平均数法”解一元二次方程的理解与应用，核心是利用平方差公式将两个一次式转化为“平均数±b”的形式，简化方程求解。对于第(1)问，需先确定两个因式的平均数（即a），再确定两因式与平均数的差（即b），最后通过开平方整理得到c、d；第(2)问直接套用平均数法的步骤，先找平均数，再用平方差公式变形，进而求解。
【解析】
(1) 对于方程$(x+3)(x+7)=5$，两个因式为$x+3$和$x+7$，它们的平均数为$\frac{(x+3)+(x+7)}{2}=x+5$，故$a=5$；两因式与平均数的差为$(x+7)-(x+5)=2$，故$b=2$。代入变形后的方程得$(x+5)^2 - 2^2=5$，即$(x+5)^2=9$，开平方得$x+5=\pm3$，整理得$x_1=-2$，$x_2=-8$，故$c=-2$，$d=-8$。
(2) 用“平均数法”解方程$(x-5)(x+3)=6$：
原方程中两个因式为$x-5$和$x+3$，它们的平均数为$\frac{(x-5)+(x+3)}{2}=x-1$，两因式与平均数的差为$(x-1)-(x-5)=4$，故原方程可变形为$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$；
利用平方差公式展开得$(x-1)^2 - 4^2=6$；
整理得$(x-1)^2=6+16=22$；
直接开平方得$x-1=\pm\sqrt{22}$，整理得$x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$。
【答案】
(1) $5$，$2$，$-2$，$-8$；
(2) $x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$
【知识点】
一元二次方程的解法、平方差公式
【点评】
本题属于新定义题型，要求学生快速理解并迁移应用新的解方程方法，核心是利用平方差公式简化一元二次方程，考查学生的知识迁移能力和对公式的灵活运用，难度适中。
【难度系数】
0.5
