登录
1. 先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题：
(1) 说明代数式$-a^{2}+6a-12$的值一定是负数；
(2) 设正方形的面积为$S_{1}\ \mathrm{cm^{2}}$,长方形的面积为$S_{2}\ \mathrm{cm^{2}}$,正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$,如果长方形的一边长比正方形的边长少$3\ \mathrm{cm}$,另一边长为$4\ \mathrm{cm}$,请你比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小关系,并说明理由.
(1) 说明代数式$-a^{2}+6a-12$的值一定是负数；
(2) 设正方形的面积为$S_{1}\ \mathrm{cm^{2}}$,长方形的面积为$S_{2}\ \mathrm{cm^{2}}$,正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$,如果长方形的一边长比正方形的边长少$3\ \mathrm{cm}$,另一边长为$4\ \mathrm{cm}$,请你比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小关系,并说明理由.
答案
(1)$-a^2+6a-12=-(a^2-6a+9)-3=-(a-3)^2-3$,$\because (a-3)^2≥0$,$\therefore -(a-3)^2≤0$,$\therefore -(a-3)^2-3≤-3＜0$,$\therefore$代数式$-a^2+6a-12$的值一定是负数.
(2)$S_1＞S_2$.理由:根据题意,得$S_1=a^2$,$S_2=4(a-3)=4a-12$,$\therefore S_1-S_2=a^2-(4a-12)=a^2-4a+12=a^2-4a+4+8=(a-2)^2+8$.$\because (a-2)^2≥0$,$\therefore (a-2)^2+8≥8＞0$,$\therefore S_1＞S_2$.
(2)$S_1＞S_2$.理由:根据题意,得$S_1=a^2$,$S_2=4(a-3)=4a-12$,$\therefore S_1-S_2=a^2-(4a-12)=a^2-4a+12=a^2-4a+4+8=(a-2)^2+8$.$\because (a-2)^2≥0$,$\therefore (a-2)^2+8≥8＞0$,$\therefore S_1＞S_2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需通过配方法将代数式变形，结合平方数的非负性判断代数式的符号；第(2)问采用作差法比较两个面积的大小，对差式配方后利用平方数的非负性确定差的正负，从而得出面积关系。
【解析】
(1) 对代数式$-a^2 +6a -12$配方：
$-a^2 +6a -12 = -(a^2 -6a) -12 = -[(a-3)^2 -9] -12 = -(a-3)^2 -3$。
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$\therefore -(a-3)^2 ≤ 0$，$\therefore -(a-3)^2 -3 ≤ -3 ＜0$，
$\therefore$代数式$-a^2 +6a -12$的值一定是负数。
(2) 根据题意，$S_1 = a^2$，$S_2 =4(a-3)=4a -12$。
计算$S_1 - S_2$：
$S_1 - S_2 = a^2 - (4a -12) = a^2 -4a +12 = (a-2)^2 +8$。
$\because (a-2)^2 ≥0$，$\therefore (a-2)^2 +8 ≥8 ＞0$，即$S_1 - S_2 ＞0$，
$\therefore S_1 ＞ S_2$。
【答案】
(1) 代数式$-a^2+6a-12$的值一定是负数；
(2) $S_1 ＞ S_2$。
【知识点】
配方法的应用、平方的非负性、代数式大小比较
【点评】
本题是配方法在代数中的基础应用，核心是利用平方数的非负性分析代数式的取值，解题关键在于掌握配方法的步骤，通过变形将式子转化为平方项加常数的形式，进而判断符号或大小，属于常规题型。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需通过配方法将代数式变形，结合平方数的非负性判断代数式的符号；第(2)问采用作差法比较两个面积的大小，对差式配方后利用平方数的非负性确定差的正负，从而得出面积关系。
【解析】
(1) 对代数式$-a^2 +6a -12$配方：
$-a^2 +6a -12 = -(a^2 -6a) -12 = -[(a-3)^2 -9] -12 = -(a-3)^2 -3$。
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$\therefore -(a-3)^2 ≤ 0$，$\therefore -(a-3)^2 -3 ≤ -3 ＜0$，
$\therefore$代数式$-a^2 +6a -12$的值一定是负数。
(2) 根据题意，$S_1 = a^2$，$S_2 =4(a-3)=4a -12$。
计算$S_1 - S_2$：
$S_1 - S_2 = a^2 - (4a -12) = a^2 -4a +12 = (a-2)^2 +8$。
$\because (a-2)^2 ≥0$，$\therefore (a-2)^2 +8 ≥8 ＞0$，即$S_1 - S_2 ＞0$，
$\therefore S_1 ＞ S_2$。
【答案】
(1) 代数式$-a^2+6a-12$的值一定是负数；
(2) $S_1 ＞ S_2$。
【知识点】
配方法的应用、平方的非负性、代数式大小比较
【点评】
本题是配方法在代数中的基础应用，核心是利用平方数的非负性分析代数式的取值，解题关键在于掌握配方法的步骤，通过变形将式子转化为平方项加常数的形式，进而判断符号或大小，属于常规题型。
【难度系数】
0.5
2. 已知 $a,b,c$ 为 $△ ABC$ 的三边长, 若 $a^2+b^2+c^2=$$ab+bc+ca$, 试判断 $△ ABC$ 的形状, 并证明.
答案
$△ ABC$为等边三角形.证明:$\because a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$,$\therefore a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=(\frac{1}{2}a^2-ab+\frac{1}{2}b^2)+(\frac{1}{2}a^2-ac+\frac{1}{2}c^2)+(\frac{1}{2}b^2-bc+\frac{1}{2}c^2)=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2)+\frac{1}{2}(a^2-2ac+c^2)+\frac{1}{2}(b^2-2bc+c^2)=\frac{1}{2}(a-b)^2+\frac{1}{2}(a-c)^2+\frac{1}{2}(b-c)^2=0$.
$\because (a-b)^2≥0,(a-c)^2≥0,(b-c)^2≥0$,$\therefore a=b=c$,即$△ ABC$为等边三角形.
$\because (a-b)^2≥0,(a-c)^2≥0,(b-c)^2≥0$,$\therefore a=b=c$,即$△ ABC$为等边三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，已知条件是三边长的平方和等式，这类问题通常通过代数变形（配方）结合平方的非负性推导边长关系。首先将等式移项，把所有项移到左侧，再拆项分组配成完全平方形式，根据平方的非负性，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，从而得到三边长相等，即可判定三角形为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$，
∴ $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$，
将等式左边拆项分组配成完全平方：
$=\frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2) + \frac{1}{2}(a^2 - 2ac + c^2) + \frac{1}{2}(b^2 - 2bc + c^2)$
$=\frac{1}{2}(a - b)^2 + \frac{1}{2}(a - c)^2 + \frac{1}{2}(b - c)^2 = 0$，
∵ 任何数的平方均为非负数，即 $(a - b)^2 ≥ 0$，$(a - c)^2 ≥ 0$，$(b - c)^2 ≥ 0$，
∴ $\frac{1}{2}(a - b)^2 ≥ 0$，$\frac{1}{2}(a - c)^2 ≥ 0$，$\frac{1}{2}(b - c)^2 ≥ 0$，
要使它们的和为0，只能每个项都为0，即 $a - b = 0$，$a - c = 0$，$b - c = 0$，
∴ $a = b = c$，故△ABC为等边三角形。
【答案】
△ABC为等边三角形。
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，核心是通过拆项配方将已知等式转化为非负数和为0的形式，利用非负数的性质推导三边相等，进而判定三角形形状，解题关键是掌握配方技巧，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC的形状，已知条件是三边长的平方和等式，这类问题通常通过代数变形（配方）结合平方的非负性推导边长关系。首先将等式移项，把所有项移到左侧，再拆项分组配成完全平方形式，根据平方的非负性，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，从而得到三边长相等，即可判定三角形为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$，
∴ $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$，
将等式左边拆项分组配成完全平方：
$=\frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2) + \frac{1}{2}(a^2 - 2ac + c^2) + \frac{1}{2}(b^2 - 2bc + c^2)$
$=\frac{1}{2}(a - b)^2 + \frac{1}{2}(a - c)^2 + \frac{1}{2}(b - c)^2 = 0$，
∵ 任何数的平方均为非负数，即 $(a - b)^2 ≥ 0$，$(a - c)^2 ≥ 0$，$(b - c)^2 ≥ 0$，
∴ $\frac{1}{2}(a - b)^2 ≥ 0$，$\frac{1}{2}(a - c)^2 ≥ 0$，$\frac{1}{2}(b - c)^2 ≥ 0$，
要使它们的和为0，只能每个项都为0，即 $a - b = 0$，$a - c = 0$，$b - c = 0$，
∴ $a = b = c$，故△ABC为等边三角形。
【答案】
△ABC为等边三角形。
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，核心是通过拆项配方将已知等式转化为非负数和为0的形式，利用非负数的性质推导三边相等，进而判定三角形形状，解题关键是掌握配方技巧，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. (2025·泰州期中)已知$m+n=4,mn-p^{2}+8p ≥ 20$,求$mnp$的值.
答案
$\because m+n=4$,$\therefore m=4-n$,将$m=4-n$代入$mn-p^2+8p≥20$得$(4-n)n-p^2+8p≥20$,整理后配方可得$(n-2)^2+(p-4)^2≤0$,$\therefore n-2=0,p-4=0$,$\therefore n=2,p=4$,$\therefore m=4-2=2$,$\therefore mnp=2×2×4=16$.
解析
【分析】首先利用已知条件$m+n=4$，用含$n$的式子表示$m$，将其代入给定不等式；接着对式子整理后配方，结合平方数的非负性，求出$n$和$p$的值；再求出$m$的值，最终计算$mnp$的值。
【解析】
∵ $m+n=4$，
∴ $m=4-n$，将$m=4-n$代入$mn-p^2+8p≥20$，得：
$(4-n)n - p^2 +8p ≥20$，
展开并整理：$4n -n^2 -p^2 +8p ≥20$，
移项得：$n^2 -4n + p^2 -8p +20 ≤0$，
配方：$(n-2)^2 + (p-4)^2 ≤0$，
∵ $(n-2)^2≥0$，$(p-4)^2≥0$，
∴ $(n-2)^2=0$，$(p-4)^2=0$，
解得$n=2$，$p=4$，
则$m=4-n=4-2=2$，
∴ $mnp=2×2×4=16$。
【答案】16
【知识点】完全平方公式，非负数的性质，代数式求值
【点评】本题通过代入消元将二元问题转化为可配方的形式，核心是利用平方数的非负性求解，考查代数变形的基本技巧，属于中等难度的代数综合题。
【难度系数】0.5
【解析】
∵ $m+n=4$，
∴ $m=4-n$，将$m=4-n$代入$mn-p^2+8p≥20$，得：
$(4-n)n - p^2 +8p ≥20$，
展开并整理：$4n -n^2 -p^2 +8p ≥20$，
移项得：$n^2 -4n + p^2 -8p +20 ≤0$，
配方：$(n-2)^2 + (p-4)^2 ≤0$，
∵ $(n-2)^2≥0$，$(p-4)^2≥0$，
∴ $(n-2)^2=0$，$(p-4)^2=0$，
解得$n=2$，$p=4$，
则$m=4-n=4-2=2$，
∴ $mnp=2×2×4=16$。
【答案】16
【知识点】完全平方公式，非负数的性质，代数式求值
【点评】本题通过代入消元将二元问题转化为可配方的形式，核心是利用平方数的非负性求解，考查代数变形的基本技巧，属于中等难度的代数综合题。
【难度系数】0.5
