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1. 下列式子一定是二次根式的是()
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x+2}$
C.$\sqrt{x^2 - 2}$
D.$\sqrt{x^2}$
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x+2}$
C.$\sqrt{x^2 - 2}$
D.$\sqrt{x^2}$
答案
D
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子为二次根式，需保证被开方数恒为非负数：
1. 选项A：当$x＜0$时，被开方数为负，不满足二次根式要求；
2. 选项B：当$x＜-2$时，$x+2＜0$，被开方数为负，不满足二次根式要求；
3. 选项C：当$x^2＜2$时，$x^2-2＜0$，被开方数为负，不满足二次根式要求；
4. 选项D：对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，被开方数恒为非负数，一定是二次根式。
1. 选项A：当$x＜0$时，被开方数为负，不满足二次根式要求；
2. 选项B：当$x＜-2$时，$x+2＜0$，被开方数为负，不满足二次根式要求；
3. 选项C：当$x^2＜2$时，$x^2-2＜0$，被开方数为负，不满足二次根式要求；
4. 选项D：对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，被开方数恒为非负数，一定是二次根式。
2. 如果二次根式$\sqrt{\dfrac{1}{x+3}}$有意义，那么$x$的取值范围是（）
A.$x＞-3$
B.$x≥ -3$
C.$x＜-3$
D.$x≤ -3$
A.$x＞-3$
B.$x≥ -3$
C.$x＜-3$
D.$x≤ -3$
答案
A
解析
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{1}{x+3}}$有意义，需满足被开方数为非负数且分式分母不为0。由于分子1是正数，因此需$x+3＞0$，解得$x＞-3$。
3. 如果$\sqrt{12x}$是一个正整数,那么$x$可以取的最小正整数为()
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
先化简二次根式：$\sqrt{12x}=\sqrt{4×3x}=2\sqrt{3x}$，由题意可知$\sqrt{12x}$是正整数，因此$2\sqrt{3x}$为正整数，即$\sqrt{3x}$必须是正整数，说明$3x$是完全平方数。因为3是质数，要满足$3x$是完全平方数，x可取的最小正整数为3。
4.若$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+4$，则$2xy$的平方根为________.
答案
$\pm4$
解析
要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，因此可得不等式组：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解得$x=2$。
把$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+4$，得$y=0+0+4=4$。
计算$2xy=2×2×4=16$，根据平方根的定义，16的平方根为$\pm4$。
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解得$x=2$。
把$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+4$，得$y=0+0+4=4$。
计算$2xy=2×2×4=16$，根据平方根的定义，16的平方根为$\pm4$。
5. 若式子$\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$有意义，则实数$x$的取值范围是________.
答案
$x≥1$且$x≠2$
解析
要使代数式$\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$有意义，需要同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数为非负数，即$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 分式的分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$；
综合以上两个条件，即可得到实数$x$的取值范围。
1. 二次根式的被开方数为非负数，即$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 分式的分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$；
综合以上两个条件，即可得到实数$x$的取值范围。
6.若$x$取任意实数时，代数式$\sqrt{x^2 - 8x + m}$都有意义，则实数$m$的取值范围是________.
答案
$m≥16$
解析
要使二次根式$\sqrt{x^2 - 8x + m}$对任意实数$x$都有意义，需满足被开方数恒为非负数，即对任意实数$x$，$x^2 - 8x + m ≥ 0$恒成立。
对二次式配方可得：
$x^2 - 8x + m = (x-4)^2 + m - 16$
因为对任意实数$x$，都有$(x-4)^2 ≥ 0$，因此要让$(x-4)^2 + m -16 ≥ 0$恒成立，只需常数项满足：
$m - 16 ≥ 0$
解得$m ≥ 16$。
对二次式配方可得：
$x^2 - 8x + m = (x-4)^2 + m - 16$
因为对任意实数$x$，都有$(x-4)^2 ≥ 0$，因此要让$(x-4)^2 + m -16 ≥ 0$恒成立，只需常数项满足：
$m - 16 ≥ 0$
解得$m ≥ 16$。
7.(1)若$x,y$都是实数，且$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+8$，求$5x+13y+6$的立方根；
(2)已知$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数，求$\frac{x}{y}$的值.
(2)已知$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数，求$\frac{x}{y}$的值.
答案
(1) 5；(2) $\frac{3}{2}$
解析
(1) 由二次根式有意义的条件可知，被开方数均为非负数，因此可得不等式组$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0 \end{cases}$，解得$x=3$。将$x=3$代入$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+8$，得$y=8$。把$x=3$、$y=8$代入$5x+13y+6$，计算得$5×3+13×8+6=125$，125的立方根是5，因此所求的立方根为5。
(2) 根据立方根的性质：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，可得$3y-1 + 1-2x=0$，化简后得到$3y=2x$，等式两边同时除以$2y$（$y≠0$，否则原式无意义），即可得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$。
(2) 根据立方根的性质：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，可得$3y-1 + 1-2x=0$，化简后得到$3y=2x$，等式两边同时除以$2y$（$y≠0$，否则原式无意义），即可得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$。
8.定义:若两个二次根式 m,n 满足 m·n=p,且 p 是有理数,则称 m 与 n 是关于 p 的“友好二次根式”.
(1)若 m 与$\sqrt{5}$是关于 15 的“友好二次根式”,求 m 的值;
(2)若$2-\sqrt{2}$与$4+\sqrt{2}n$是关于 4 的“友好二次根式”,求 n 的值.
(1)若 m 与$\sqrt{5}$是关于 15 的“友好二次根式”,求 m 的值;
(2)若$2-\sqrt{2}$与$4+\sqrt{2}n$是关于 4 的“友好二次根式”,求 n 的值.
答案
(1) $m=3\sqrt{5}$；(2) $n=2$
解析
(1) 根据“友好二次根式”的定义，可得等式：$m · \sqrt{5} = 15$
对等式变形求解m：
$m = \frac{15}{\sqrt{5}}$
进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$m = \frac{15\sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$
(2) 根据“友好二次根式”的定义，可得等式：
$(2-\sqrt{2})(4+\sqrt{2}n) = 4$
将左侧展开计算：
$8 + 2\sqrt{2}n - 4\sqrt{2} - 2n = 4$
移项整理，合并同类项：
$n(2\sqrt{2}-2) = 4\sqrt{2} - 4$
左右两侧分别提取公因式：
$2(\sqrt{2}-1)n = 4(\sqrt{2}-1)$
由于$\sqrt{2}-1 ≠ 0$，等式两边同时除以$2(\sqrt{2}-1)$，解得$n=2$
对等式变形求解m：
$m = \frac{15}{\sqrt{5}}$
进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$m = \frac{15\sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$
(2) 根据“友好二次根式”的定义，可得等式：
$(2-\sqrt{2})(4+\sqrt{2}n) = 4$
将左侧展开计算：
$8 + 2\sqrt{2}n - 4\sqrt{2} - 2n = 4$
移项整理，合并同类项：
$n(2\sqrt{2}-2) = 4\sqrt{2} - 4$
左右两侧分别提取公因式：
$2(\sqrt{2}-1)n = 4(\sqrt{2}-1)$
由于$\sqrt{2}-1 ≠ 0$，等式两边同时除以$2(\sqrt{2}-1)$，解得$n=2$
