1.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成图示四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（）

A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直

A

根据矩形的判定定理逐一分析：
1. 选项A：根据矩形判定，有三个角是直角的四边形是矩形，该测量方案可直接判定四边形是否为矩形，方案正确。
2. 选项B：对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线也相等，方案错误。
3. 选项C：两组对边分别相等只能判定该四边形是平行四边形，无法判定是矩形，方案错误。
4. 选项D：对角线互相垂直不能判定四边形是矩形，方案错误。
综上，正确的是A。

2.下列说法正确的是()

A.邻边相等的平行四边形是矩形
B.矩形的对角线互相平分
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形

B

逐个判断选项：
1. 邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，A错误；
2. 矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，因此矩形的对角线互相平分，B正确；
3. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，只有对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，C错误；
4. 一组对边相等、另一组对边平行的四边形还可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，D错误。

3. 如图,在矩形$COED$中,点$D$的坐标是$(1,3)$,则$CE$的长是()

A.$3$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{10}$
D.$4$

C

连接OD，∵四边形COED是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得CE=OD。已知点D坐标为(1,3)，由勾股定理计算得OD=√(1²+3²)=√10，因此CE=√10。

4.木工师傅要做一个矩形桌面,做好后量得长为150 cm,宽为80 cm,对角线长度为170 cm,这个桌面________(填“合格”或“不合格”).

合格

要判断该桌面是否为合格的矩形，可通过勾股定理的逆定理验证：
1. 计算长和宽的平方和：$150^2 + 80^2 = 22500 + 6400 = 28900$
2. 计算对角线的平方：$170^2 = 28900$
可得$150^2 + 80^2 = 170^2$，说明桌面的长和宽的夹角是直角，结合该四边形对边分别相等的特点，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判断该桌面是矩形，符合制作要求。

5.如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$AC=12$.当$OD=$时,$□ ABCD$是矩形.

$\boldsymbol{6}$

根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知四边形$ABCD$是平行四边形，若要$□ABCD$是矩形，需满足对角线$AC=BD$。
已知$AC=12$，因此$BD=12$。
又因为平行四边形的对角线互相平分，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，所以$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6$。

6.如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边BC和DA运动.已知点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则最快需要s,四边形ABPQ成为矩形.

4

设最快需要$ t $ 秒，四边形ABPQ成为矩形。
在矩形ABCD中，$ AD = BC = 20\ \mathrm{cm} $，$ ∠ A = ∠ B = 90° $，且$ AD // BC $。
运动$ t $秒后，点P的运动路程$ BP = 3t\ \mathrm{cm} $，点Q的运动路程$ DQ = 2t\ \mathrm{cm} $，因此$ AQ = AD - DQ = (20 - 2t)\ \mathrm{cm} $。
要使四边形ABPQ为矩形，已知$ AQ // BP $、$ ∠ A = ∠ B = 90° $，只需满足对边相等$ AQ = BP $即可，列方程：
$ 3t = 20 - 2t $
解得$ t = 4 $。

7. 如图,在$□ ABCD$中,$AE ⊥ BC$于点$E$,延长$BC$至点$F$,使$CF=BE$,连接$AF,DE,DF$.
(1)求证:四边形$AEFD$为矩形;
(2)若$AB=3$,$DE=4$,$BF=5$,求$DF$的长.

(1) 证明如上；(2) $DF$的长为$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$。

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD // BC$，且$AD = BC$。
∵ $CF = BE$，
∴ $BE + EC = EC + CF$，即$BC = EF$，
∴ $AD = EF$。
又∵ $AD // EF$，
∴ 四边形$AEFD$是平行四边形。
∵ $AE ⊥ BC$，
∴ $∠ AEF = 90°$，
∴ 平行四边形$AEFD$为矩形。
(2) 解：
∵ 四边形$AEFD$是矩形，
∴ $AF = DE = 4$，$DF = AE$。
已知$AB=3$，$BF=5$，
则$AB^2 + AF^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = 5^2 = BF^2$，
∴ $△ ABF$是直角三角形，$∠ BAF = 90°$。
由三角形面积公式：
$S_{△ ABF} = \frac{1}{2} AB · AF = \frac{1}{2} BF · AE$，
代入数值解得：$AE = \frac{AB · AF}{BF} = \frac{3 × 4}{5} = \frac{12}{5}$，
∴ $DF = AE = \frac{12}{5}$。