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1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为边AD的中点.若菱形ABCD的周长为20,则OH的长为()
A.$\frac{5}{2}$
B.4
C.5
D.10
A.$\frac{5}{2}$
B.4
C.5
D.10
答案
A
解析
1. 由菱形的性质可知，菱形四条边长度相等，已知菱形ABCD周长为20，因此边长$AD=20÷4=5$。
2. 菱形的对角线互相垂直，因此$AC⊥ BD$，可得$△ AOD$是直角三角形。
3. 已知H为AD边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OH=\frac{1}{2}AD=\frac{5}{2}$。
2. 菱形的对角线互相垂直，因此$AC⊥ BD$，可得$△ AOD$是直角三角形。
3. 已知H为AD边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OH=\frac{1}{2}AD=\frac{5}{2}$。
2. 如图，四边形ABCD是菱形，若∠BCD=60°，BD=8，则菱形ABCD的面积是（）
A.$128\sqrt{3}$
B.$64\sqrt{3}$
C.$32\sqrt{3}$
D.64
A.$128\sqrt{3}$
B.$64\sqrt{3}$
C.$32\sqrt{3}$
D.64
答案
C
解析
1. 由菱形性质可知：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分，因此BC=CD。
2. 已知∠BCD=60°，BC=CD，可得△BCD是等边三角形，因此CD=BD=8。
3. 对角线AC、BD交于点O，BD=8，因此OD=1/2 BD=4，且AC⊥BD。
4. 在Rt△COD中，由勾股定理计算得：OC=√(CD²-OD²)=√(8²-4²)=4√3，因此AC=2OC=8√3。
5. 菱形面积为对角线乘积的一半，代入得S菱形ABCD=1/2 × AC × BD = 1/2 × 8√3 ×8 =32√3。
2. 已知∠BCD=60°，BC=CD，可得△BCD是等边三角形，因此CD=BD=8。
3. 对角线AC、BD交于点O，BD=8，因此OD=1/2 BD=4，且AC⊥BD。
4. 在Rt△COD中，由勾股定理计算得：OC=√(CD²-OD²)=√(8²-4²)=4√3，因此AC=2OC=8√3。
5. 菱形面积为对角线乘积的一半，代入得S菱形ABCD=1/2 × AC × BD = 1/2 × 8√3 ×8 =32√3。
3. 在下列条件中选取一个作为新增条件,能使$□ ABCD$成为菱形的是()
A.$AC=BD$
B.$AB=DC$
C.$AC\bot BD$
D.$AD// BC$
A.$AC=BD$
B.$AB=DC$
C.$AC\bot BD$
D.$AD// BC$
答案
C
解析
已知四边形ABCD是平行四边形，结合菱形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定该平行四边形为菱形；
2. 选项B：平行四边形本身就具备对边AB=DC的性质，新增该条件无法得到菱形；
3. 选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该条件可使□ABCD成为菱形；
4. 选项D：平行四边形本身就具备对边AD//BC的性质，新增该条件无法得到菱形。
1. 选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定该平行四边形为菱形；
2. 选项B：平行四边形本身就具备对边AB=DC的性质，新增该条件无法得到菱形；
3. 选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该条件可使□ABCD成为菱形；
4. 选项D：平行四边形本身就具备对边AD//BC的性质，新增该条件无法得到菱形。
4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AC与BD相交于点O.添加条件 (写出一种即可)后,四边形ABCD是菱形.
答案
AB=AD（答案不唯一，也可填写AC⊥BD、AB=BC等符合要求的条件）
解析
已知在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可先判定四边形ABCD是平行四边形。结合菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只需添加满足上述判定的对应条件即可。
5.如图，$A(0,4)$，$B(8,0)$，$C$是$x$轴正半轴上一点，$D$是平面内任意一点.若以$A$，$B$，$C$，$D$为顶点的四边形是菱形，则点$D$的坐标为________.
答案
$(5,4)$或$(4\sqrt{5},4)$
解析
已知$A(0,4)$，$B(8,0)$，由勾股定理可得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，结合菱形性质分符合条件的两类情况讨论：
1. 当$AB$为菱形的对角线时：
菱形对角线互相垂直平分，$AB$的中点坐标为$(4,2)$，$AB$的斜率为$-\frac{1}{2}$，因此$AB$的垂直平分线斜率为$2$，垂直平分线方程为$y-2=2(x-4)$，即$y=2x-6$。
令$y=0$，解得$x=3$，即$C$点坐标为$(3,0)$。
设$D(x,y)$，由中点坐标公式，$AB$中点也是$CD$中点，因此$\frac{x+3}{2}=4$，$\frac{y+0}{2}=2$，解得$x=5$，$y=4$，得$D(5,4)$。
2. 当$AB$为菱形的边，$BC=AB=4\sqrt{5}$时：
因为$C$在$x$轴正半轴，若$C$在点$B$左侧，坐标为$(8-4\sqrt{5},0)$，横坐标小于0，不符合要求舍去，因此$C$点坐标为$(8+4\sqrt{5},0)$。
由菱形性质，$AD// BC$且$AD=BC$，$BC$沿$x$轴方向，因此$D$点纵坐标与$A$点相同为$4$，横坐标为$0+4\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，得$D(4\sqrt{5},4)$。
其余情况对应的$C$点不在$x$轴正半轴或与点$B$重合，均不符合题意。
1. 当$AB$为菱形的对角线时：
菱形对角线互相垂直平分，$AB$的中点坐标为$(4,2)$，$AB$的斜率为$-\frac{1}{2}$，因此$AB$的垂直平分线斜率为$2$，垂直平分线方程为$y-2=2(x-4)$，即$y=2x-6$。
令$y=0$，解得$x=3$，即$C$点坐标为$(3,0)$。
设$D(x,y)$，由中点坐标公式，$AB$中点也是$CD$中点，因此$\frac{x+3}{2}=4$，$\frac{y+0}{2}=2$，解得$x=5$，$y=4$，得$D(5,4)$。
2. 当$AB$为菱形的边，$BC=AB=4\sqrt{5}$时：
因为$C$在$x$轴正半轴，若$C$在点$B$左侧，坐标为$(8-4\sqrt{5},0)$，横坐标小于0，不符合要求舍去，因此$C$点坐标为$(8+4\sqrt{5},0)$。
由菱形性质，$AD// BC$且$AD=BC$，$BC$沿$x$轴方向，因此$D$点纵坐标与$A$点相同为$4$，横坐标为$0+4\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，得$D(4\sqrt{5},4)$。
其余情况对应的$C$点不在$x$轴正半轴或与点$B$重合，均不符合题意。
6.边长为5的菱形，若一条对角线的长是6，则菱形的面积是.
答案
24
解析
根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且互相平分。已知菱形边长为5，一条对角线长为6，可得这条对角线的一半长度为$6÷2=3$。结合勾股定理，可算出另一条对角线的一半长度为$\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，因此另一条对角线的总长度为$4×2=8$。再根据菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，代入数值计算得面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
7. 如图,在菱形 ABCD 中,作 $BE ⊥ AD$ 于点 $E,CF ⊥ AB$,交 AB 的延长线于点 F.
(1)求证 $AE=BF$;
(2)若 E 恰好是 AD 的中点,$AB=2$,求 BD 的长.
(1)求证 $AE=BF$;
(2)若 E 恰好是 AD 的中点,$AB=2$,求 BD 的长.
答案
(1) 证明如上；(2) $BD$的长为$\boldsymbol{2}$。
解析
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ A = ∠ CBF$，
又∵ $BE ⊥ AD$，$CF ⊥ AB$，
∴ $∠ AEB = ∠ BFC = 90°$，
在$△ AEB$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ BFC \\∠ A = ∠ CBF \\AB = BC\end{cases}$
∴ $△ AEB ≌ △ BFC$（AAS），
∴ $AE = BF$。
(2) 解：
∵ E是AD的中点，$BE ⊥ AD$，
∴ BE是线段AD的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，可得$BD = AB$，
已知$AB=2$，因此$BD=2$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ A = ∠ CBF$，
又∵ $BE ⊥ AD$，$CF ⊥ AB$，
∴ $∠ AEB = ∠ BFC = 90°$，
在$△ AEB$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ BFC \\∠ A = ∠ CBF \\AB = BC\end{cases}$
∴ $△ AEB ≌ △ BFC$（AAS），
∴ $AE = BF$。
(2) 解：
∵ E是AD的中点，$BE ⊥ AD$，
∴ BE是线段AD的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，可得$BD = AB$，
已知$AB=2$，因此$BD=2$。
