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1. 下列说法正确的是()
A.若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条边长分别为6和8,则第三边的长为10
B.若三角形的三条边长之比为$3:4:5$,则这个三角形是直角三角形
C.在$△ ABC$中,若$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:6$,则$△ ABC$是直角三角形
D.在$△ ABC$中,若$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$,则$∠ A$是直角
A.若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条边长分别为6和8,则第三边的长为10
B.若三角形的三条边长之比为$3:4:5$,则这个三角形是直角三角形
C.在$△ ABC$中,若$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:6$,则$△ ABC$是直角三角形
D.在$△ ABC$中,若$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$,则$∠ A$是直角
答案
B
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：Rt△ABC未说明6和8均为直角边，当8为斜边时，第三边长为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，第三边不一定是10，A错误。
2. 选项B：设三边长为$3k、4k、5k$（$k＞0$），满足$(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，B正确。
3. 选项C：三角形内角和为$180°$，最大角为$180°×\frac{6}{2+3+6}\approx98.2°≠90°$，不是直角三角形，C错误。
4. 选项D：若$AB^2=BC^2+AC^2$，斜边为AB，其所对的$∠ C$是直角，并非$∠ A$，D错误。
1. 选项A：Rt△ABC未说明6和8均为直角边，当8为斜边时，第三边长为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，第三边不一定是10，A错误。
2. 选项B：设三边长为$3k、4k、5k$（$k＞0$），满足$(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，B正确。
3. 选项C：三角形内角和为$180°$，最大角为$180°×\frac{6}{2+3+6}\approx98.2°≠90°$，不是直角三角形，C错误。
4. 选项D：若$AB^2=BC^2+AC^2$，斜边为AB，其所对的$∠ C$是直角，并非$∠ A$，D错误。
2.如图,在正方形网格中,每个小正方形的顶点叫作格点。已知A,B是两个格点,如果点C也是图中的格点,且使$△ ABC$为等腰三角形,那么满足条件的点C的个数是。
答案
8
解析
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，分两类情况讨论：
1. AB为等腰三角形的腰：
以点A为圆心、AB长为半径画圆，排除与点B重合、与A、B三点共线的格点，共得到2个符合条件的格点C；
以点B为圆心、AB长为半径画圆，排除与点A重合、与A、B三点共线的格点，共得到2个符合条件的格点C；
2. AB为等腰三角形的底边：
作线段AB的垂直平分线，在图中所有格点里，共找到4个满足$AC=BC$且不与A、B共线的格点C。
两类情况相加，满足条件的点C总个数为$2+2+4=8$。
1. AB为等腰三角形的腰：
以点A为圆心、AB长为半径画圆，排除与点B重合、与A、B三点共线的格点，共得到2个符合条件的格点C；
以点B为圆心、AB长为半径画圆，排除与点A重合、与A、B三点共线的格点，共得到2个符合条件的格点C；
2. AB为等腰三角形的底边：
作线段AB的垂直平分线，在图中所有格点里，共找到4个满足$AC=BC$且不与A、B共线的格点C。
两类情况相加，满足条件的点C总个数为$2+2+4=8$。
3.如图，P是等边三角形ABC内部一点，CP平分∠ACB。若AB=3，CP=1，则△APC的面积为________。
答案
$\frac{3}{4}$
解析
1. 已知△ABC是等边三角形，因此AC=AB=3，∠ACB=60°。
2. 由CP平分∠ACB，可得∠ACP = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°。
3. 过点P作PD⊥AC，垂足为D，得到Rt△PDC。根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合CP=1，可得PD = $\frac{1}{2}$CP = $\frac{1}{2}$。
4. 代入三角形面积公式计算：$S_{△ APC} = \frac{1}{2} × AC × PD = \frac{1}{2} × 3 × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
2. 由CP平分∠ACB，可得∠ACP = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°。
3. 过点P作PD⊥AC，垂足为D，得到Rt△PDC。根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合CP=1，可得PD = $\frac{1}{2}$CP = $\frac{1}{2}$。
4. 代入三角形面积公式计算：$S_{△ APC} = \frac{1}{2} × AC × PD = \frac{1}{2} × 3 × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$是边$AB$上的一个动点,连接$CD$。将$△ BCD$沿直线$CD$折叠,得到$△ ECD$,连接$AE$。当$∠ DCB=∠ B$时,$AC=3\sqrt{5}$,$AD=5$,则$BC=\_\_\_\_\_\_$,$AE=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$\sqrt{55}$；$1$
解析
1. 求BC的长度：
∵ ∠DCB = ∠B，
∴ BD = CD（等角对等边）。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠ACD + ∠DCB = 90°，
结合∠DCB=∠B，可得∠ACD = ∠A，
∴ AD = CD（等角对等边）。
已知AD=5，因此AD=CD=BD=5，可得AB = AD + BD = 10。
在Rt△ABC中，由勾股定理：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 - 45} = \sqrt{55}$
2. 求AE的长度：
连接BE，由折叠性质可知CD垂直平分线段BE，设CD与BE交于点F，则BE⊥CD，BE=2BF。
先求Rt△ABC斜边AB上的高h：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$，代入数值得：
$h=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{3\sqrt{5} × \sqrt{55}}{10}$
由$S_{△ CDB}=\frac{1}{2} · BD · h = \frac{1}{2} · CD · BF$，且BD=CD=5，可得BF=h，因此：
$BE=2BF=2h=\frac{3\sqrt{5} × \sqrt{55}}{5}=3\sqrt{11}$
∵ AD=BD=DE=5，即点D到A、B、E三点距离相等，因此∠AEB=90°（三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形）。
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$
代入数值计算得$AE^2=10^2 - (3\sqrt{11})^2=100-99=1$，即AE=1。
∵ ∠DCB = ∠B，
∴ BD = CD（等角对等边）。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠ACD + ∠DCB = 90°，
结合∠DCB=∠B，可得∠ACD = ∠A，
∴ AD = CD（等角对等边）。
已知AD=5，因此AD=CD=BD=5，可得AB = AD + BD = 10。
在Rt△ABC中，由勾股定理：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 - 45} = \sqrt{55}$
2. 求AE的长度：
连接BE，由折叠性质可知CD垂直平分线段BE，设CD与BE交于点F，则BE⊥CD，BE=2BF。
先求Rt△ABC斜边AB上的高h：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$，代入数值得：
$h=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{3\sqrt{5} × \sqrt{55}}{10}$
由$S_{△ CDB}=\frac{1}{2} · BD · h = \frac{1}{2} · CD · BF$，且BD=CD=5，可得BF=h，因此：
$BE=2BF=2h=\frac{3\sqrt{5} × \sqrt{55}}{5}=3\sqrt{11}$
∵ AD=BD=DE=5，即点D到A、B、E三点距离相等，因此∠AEB=90°（三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形）。
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$
代入数值计算得$AE^2=10^2 - (3\sqrt{11})^2=100-99=1$，即AE=1。
5. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=60°$。在边$AB$的延长线上取一点$D$,作$∠ CBD$的平分线$BF$,在射线$BF$上截取$BE=AD$,连接$CD$,$CE$,$DE$。
(1)①根据题意补全图形。
②$△ CDE$是什么特殊三角形?请说明理由。
(2)当$△ BCE$和$△ BDE$关于直线$BF$对称,且$BC=5$时,四边形$BDEC$的周长是________。
(1)①根据题意补全图形。
②$△ CDE$是什么特殊三角形?请说明理由。
(2)当$△ BCE$和$△ BDE$关于直线$BF$对称,且$BC=5$时,四边形$BDEC$的周长是________。
答案
(1)① 按上述步骤补全图形；② △CDE是等边三角形，理由见解析；(2) $10+10\sqrt{3}$
解析
(1)① 补全图形步骤：
1. 延长AB，在AB的延长线上取点D；
2. 作∠CBD的角平分线BF，使BF落在∠CBD内部；
3. 在射线BF上截取线段BE=AD，依次连接CD、CE、DE，即得到完整图形。
② △CDE是等边三角形，理由如下：
已知AC=BC，∠ACB=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可得△ABC为等边三角形，因此∠A=∠ABC=60°。
由平角定义得∠CBD=180°-∠ABC=120°，
因为BF平分∠CBD，所以∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBD=60°，即∠A=∠CBE。
在△ACD和△BCE中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠A=∠CBE \\AD=BE\end{cases}$
所以△ACD≌△BCE（SAS），可得CD=CE，∠ACD=∠BCE。
因此∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°，
结合CD=CE，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△CDE是等边三角形。
(2) 由轴对称性质可得：BD=BC=5，DE=CE。
因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=5，因此AD=AB+BD=5+5=10，由题设BE=AD得BE=10。
过点C作CG⊥BD于点G，在Rt△BCG中，∠CBG=180°-∠CBD=60°，BC=5，可得BG=BC·cos60°=2.5，CG=BC·sin60°=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
DG=BD+BG=5+2.5=7.5，在Rt△DCG中由勾股定理得CD=$\sqrt{CG^2+DG^2}$=5√3。
由△CDE是等边三角形，得DE=CE=CD=5√3。
因此四边形BDEC的周长=BD+DE+EC+CB=5+5√3+5√3+5=10+10√3。
1. 延长AB，在AB的延长线上取点D；
2. 作∠CBD的角平分线BF，使BF落在∠CBD内部；
3. 在射线BF上截取线段BE=AD，依次连接CD、CE、DE，即得到完整图形。
② △CDE是等边三角形，理由如下：
已知AC=BC，∠ACB=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可得△ABC为等边三角形，因此∠A=∠ABC=60°。
由平角定义得∠CBD=180°-∠ABC=120°，
因为BF平分∠CBD，所以∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBD=60°，即∠A=∠CBE。
在△ACD和△BCE中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠A=∠CBE \\AD=BE\end{cases}$
所以△ACD≌△BCE（SAS），可得CD=CE，∠ACD=∠BCE。
因此∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°，
结合CD=CE，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△CDE是等边三角形。
(2) 由轴对称性质可得：BD=BC=5，DE=CE。
因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=5，因此AD=AB+BD=5+5=10，由题设BE=AD得BE=10。
过点C作CG⊥BD于点G，在Rt△BCG中，∠CBG=180°-∠CBD=60°，BC=5，可得BG=BC·cos60°=2.5，CG=BC·sin60°=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
DG=BD+BG=5+2.5=7.5，在Rt△DCG中由勾股定理得CD=$\sqrt{CG^2+DG^2}$=5√3。
由△CDE是等边三角形，得DE=CE=CD=5√3。
因此四边形BDEC的周长=BD+DE+EC+CB=5+5√3+5√3+5=10+10√3。
