1.如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,使点 C 恰好落在点 B 处。若∠A=76°,∠C=32°,则∠ABE=()

A.40°
B.32°
C.30°
D.45°

A

1. 先根据三角形内角和定理计算△ABC中∠ABC的度数：∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 76° - 32° = 72°。
2. 由折叠的性质可知，折叠后对应角相等，即∠EBD = ∠C = 32°。
3. 计算∠ABE：∠ABE = ∠ABC - ∠EBD = 72° - 32° = 40°。

2.如图，P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α。若AB=AC，则下列说法一定正确的是（）

A.∠APC−∠BAC=90°
B.2∠APC=3∠ABC
C.∠APC+∠BAC=180°
D.AP+CP=2BP

C

利用三角形内角和性质推导：
1. 由已知∠PAB=∠PCA=α，可得∠PAC = ∠BAC - ∠PAB = ∠BAC - α。
2. 在△APC中，根据三角形内角和为180°：
∠APC + ∠PAC + ∠PCA = 180°，将∠PAC=∠BAC-α、∠PCA=α代入，消去α得：
∠APC + ∠BAC - α + α = 180°，即∠APC + ∠BAC = 180°。
3. 验证其余选项：A选项∠APC−∠BAC=90°不成立，B选项2∠APC=3∠ABC仅在∠BAC=180°时成立不符合三角形定义，D选项AP+CP=2BP无推导依据，均错误。

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=68°$，$∠ C=42°$，点$E$，$D$分别在边$AB$，$AC$上，且$DE// BC$。若$BD$平分$∠ ABC$，则$∠ BDE=\underline{\hspace{3em}}°$。

$35$

1. 首先根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数：
在$△ ABC$中，$∠ A=68°$，$∠ C=42°$，因此
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-68°-42°=70°$。
2. 利用角平分线的性质计算$∠ DBC$的度数：
已知$BD$平分$∠ ABC$，因此
$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
3. 根据平行线的性质推导$∠ BDE$的度数：
因为$DE// BC$，由“两直线平行，内错角相等”可得$∠ BDE=∠ DBC=35°$。

4.如果一个等腰三角形的两个内角的度数之比为1：4，那么这个等腰三角形的顶角的度数为
。

$20°$或$120°$

等腰三角形的两个底角度数相等，且三角形内角和为180°，已知两个内角度数比为1:4，分两种情况讨论：
1. 若顶角与底角的度数比为1:4：设顶角为x，则底角为4x，根据内角和列方程得$x + 4x + 4x = 180°$，解得$9x=180°$，$x=20°$，该情况符合三角形内角性质。
2. 若底角与顶角的度数比为1:4：设底角为x，则顶角为4x，根据内角和列方程得$x + x + 4x = 180°$，解得$6x=180°$，$x=30°$，此时顶角为$4×30°=120°$，该情况也符合三角形内角性质。

5.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=20°$,点$D$在$AB$上运动,$E$是$AC$上的一个定点。将$△ ABC$沿$DE$所在的直线折叠,点$A$的对应点为点$F$。当$EF// BC$时,$∠ BDF=$$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$。

$\boldsymbol{50°}$

1. 由已知条件，在$△ABC$中，$∠ C=90°$，因为$EF// BC$，根据平行线同位角相等的性质，可得$∠ AEF=∠ C=90°$。
2. 根据折叠的性质，折叠后$△ADE≌△FDE$，因此对应角相等：$∠ AED=∠ FED$，$∠ F=∠ A=20°$。
3. 结合$∠ AEF=90°$，可得$∠ AED=∠ FED=\frac{1}{2}∠ AEF=45°$。
4. 在$△ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，计算得：$∠ ADE=180°-∠ A-∠ AED=180°-20°-45°=115°$，因此$∠ FDE=∠ ADE=115°$。
5. 由于点$D$在$AB$上，$∠ ADB$为平角等于$180°$，可得$∠ EDB=180°-∠ ADE=180°-115°=65°$。
6. 最终计算得$∠ BDF=∠ FDE-∠ EDB=115°-65°=50°$。

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B＜∠ ACB$,$AD$平分$∠ BAC$,$P$为线段$AD$上的一个动点,过点$P$作$PE⊥ AD$,交$BC$的延长线于点$E$。
(1)若$∠ B=36°$,$∠ ACB=84°$,则$∠ E=\_\_\_\_\_\_°$。
(2)当点$P$在线段$AD$上运动时,试探究$∠ E$,$∠ B$,$∠ ACB$之间的等量关系。

(1) $\boldsymbol{24}$；(2) $\boldsymbol{∠ E = \frac{1}{2}(∠ ACB - ∠ B)}$

(1) 利用三角形内角和、角平分线性质、外角性质和直角三角形两锐角互余求解：
∵ 在△ABC中，∠B=36°，∠ACB=84°
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 36° - 84° = 60°
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°
由三角形外角性质，∠ADC是△ABD的外角：
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 36° + 30° = 66°
∵ PE⊥AD
∴ ∠DPE = 90°，在Rt△DPE中：
∠E = 90° - ∠ADC = 90° - 66° = 24°
(2) 推导三者等量关系：
∵ 在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB
AD平分∠BAC，∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ ACB)$
由三角形外角性质：∠ADC = ∠B + ∠BAD
代入化简得：
∠ADC = ∠B + $\frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ ACB)$ = $90° + \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ ACB$
∵ PE⊥AD，∴ ∠DPE=90°，在Rt△DPE中∠E = 90° - ∠ADC
将∠ADC代入整理得：
∠E = 90° - $(90° + \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ ACB)$ = $\frac{1}{2}(∠ ACB - ∠ B)$