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1. 下列方程中，是二元一次方程的是（
A.$ x - y^2 = 1 $
B.$ 2x - y = 1 $
C.$ \frac{1}{x} + y = 1 $
D.$ xy - 1 = 0 $
B
）.A.$ x - y^2 = 1 $
B.$ 2x - y = 1 $
C.$ \frac{1}{x} + y = 1 $
D.$ xy - 1 = 0 $
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个方程是否为二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个核心判定条件：①含有且仅含有2个不同的未知数；②所有含未知数的项的次数都是1；③是整式方程（即分母中不含未知数）。解题时我们只需将每个选项依次对照这三个条件排查，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。我们逐个分析选项：
A. 方程$x - y^2 = 1$中，$y$对应的项次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程；
B. 方程$2x - y = 1$中，含有x、y两个未知数，$2x$和$-y$的次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
C. 方程$\frac{1}{x} + y = 1$中，分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. 方程$xy - 1 = 0$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是抓住二元一次方程定义的三个要点，易错点在于容易忽略整式方程的要求，或者误判两个未知数乘积项的次数，只要牢记定义细节就能快速得分。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个核心判定条件：①含有且仅含有2个不同的未知数；②所有含未知数的项的次数都是1；③是整式方程（即分母中不含未知数）。解题时我们只需将每个选项依次对照这三个条件排查，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。我们逐个分析选项：
A. 方程$x - y^2 = 1$中，$y$对应的项次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程；
B. 方程$2x - y = 1$中，含有x、y两个未知数，$2x$和$-y$的次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
C. 方程$\frac{1}{x} + y = 1$中，分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. 方程$xy - 1 = 0$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是抓住二元一次方程定义的三个要点，易错点在于容易忽略整式方程的要求，或者误判两个未知数乘积项的次数，只要牢记定义细节就能快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 下列各组数值是二元一次方程$x-3y=4$的解的是（
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=-1 \end{cases}$
A
）.A.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=-1 \end{cases}$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断一组数值是不是二元一次方程的解，核心依据是二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此解题时我们可以用代入验证法，把每个选项里的x、y的值分别代入方程的左边，计算出结果后和方程右边的4比较，若相等则该组数值是方程的解，反之则不是。
【解析】
将各选项的x、y值代入方程$x-3y=4$的左边，验证是否等于右边：
A选项：把$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$代入左边，得$1 - 3×(-1)=1+3=4$，左边=右边，符合要求；
B选项：把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入左边，得$2 - 3×1=2-3=-1≠4$，不符合要求；
C选项：把$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$代入左边，得$-1 - 3×(-2)=-1+6=5≠4$，不符合要求；
D选项：把$\begin{cases} x=4, \\ y=-1 \end{cases}$代入左边，得$4 - 3×(-1)=4+3=7≠4$，不符合要求。
因此只有A选项的数值是方程的解。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程解的概念的掌握，用代入验证法即可快速得出答案，解题时需注意负数乘法的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.85
要判断一组数值是不是二元一次方程的解，核心依据是二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此解题时我们可以用代入验证法，把每个选项里的x、y的值分别代入方程的左边，计算出结果后和方程右边的4比较，若相等则该组数值是方程的解，反之则不是。
【解析】
将各选项的x、y值代入方程$x-3y=4$的左边，验证是否等于右边：
A选项：把$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$代入左边，得$1 - 3×(-1)=1+3=4$，左边=右边，符合要求；
B选项：把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入左边，得$2 - 3×1=2-3=-1≠4$，不符合要求；
C选项：把$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$代入左边，得$-1 - 3×(-2)=-1+6=5≠4$，不符合要求；
D选项：把$\begin{cases} x=4, \\ y=-1 \end{cases}$代入左边，得$4 - 3×(-1)=4+3=7≠4$，不符合要求。
因此只有A选项的数值是方程的解。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程解的概念的掌握，用代入验证法即可快速得出答案，解题时需注意负数乘法的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.85
3. 方程$x+y=2$的正整数解有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
D
）。A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
3.D
解析
【分析】
要找二元一次方程的正整数解，首先明确正整数是大于0的整数，即x、y都要满足大于0且为整数的条件。我们可以先根据方程用含x的式子表示y，再结合正整数的限制条件确定x的取值范围，逐个验证对应的y是否符合要求，统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
正整数是指大于0的整数，因此方程$x+y=2$的解需满足：$x＞0$，$y＞0$，且$x$、$y$均为整数。
由$x+y=2$变形可得：$y=2-x$。
结合$y＞0$可得：$2-x＞0$，即$x＜2$。
又因为$x＞0$且x为正整数，所以x只能取1。
当$x=1$时，$y=2-1=1$，y也为正整数，符合要求。
因此该方程的正整数解只有$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$这1组。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解、正整数的概念
【点评】
本题考查二元一次方程限定条件下解的个数判断，解题关键是准确把握“正整数”的限制条件，避免忽略范围多算解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
要找二元一次方程的正整数解，首先明确正整数是大于0的整数，即x、y都要满足大于0且为整数的条件。我们可以先根据方程用含x的式子表示y，再结合正整数的限制条件确定x的取值范围，逐个验证对应的y是否符合要求，统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
正整数是指大于0的整数，因此方程$x+y=2$的解需满足：$x＞0$，$y＞0$，且$x$、$y$均为整数。
由$x+y=2$变形可得：$y=2-x$。
结合$y＞0$可得：$2-x＞0$，即$x＜2$。
又因为$x＞0$且x为正整数，所以x只能取1。
当$x=1$时，$y=2-1=1$，y也为正整数，符合要求。
因此该方程的正整数解只有$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$这1组。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解、正整数的概念
【点评】
本题考查二元一次方程限定条件下解的个数判断，解题关键是准确把握“正整数”的限制条件，避免忽略范围多算解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
4. 以下解方程组$\begin{cases}m-n=2, \quad ① \\ 2m+n=-5 \quad ②\end{cases}$的步骤正确的是（ ）.
A.代入消元法消去$m$，由①得$m=2-n$
B.代入消元法消去$n$，由②得$n=2m-5$
C.加减消元法消去$n$，①+②得$3m=-3$
D.加减消元法消去$m$，①×2−②得$-3n=-1$
A.代入消元法消去$m$，由①得$m=2-n$
B.代入消元法消去$n$，由②得$n=2m-5$
C.加减消元法消去$n$，①+②得$3m=-3$
D.加减消元法消去$m$，①×2−②得$-3n=-1$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组的消元方法，解题时需逐个验证每个选项的消元步骤是否正确：代入消元法移项时要注意变号，加减消元法要保证等式两边各项同步运算，加减时注意符号规则，逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：由①$m-n=2$，移项得$m=2+n$，而非$m=2-n$，A错误；
B选项：由②$2m+n=-5$，移项得$n=-2m-5$，而非$n=2m-5$，B错误；
C选项：采用加减消元法消去$n$，将①+②，左边相加为$(m-n)+(2m+n)=3m$，右边相加为$2+(-5)=-3$，得$3m=-3$，C正确；
D选项：采用加减消元法消去$m$，先将①×2得$2m-2n=4$，再减去②：左边为$(2m-2n)-(2m+n)=-3n$，右边为$4-(-5)=9$，得$-3n=9$，而非$-3n=-1$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组消元方法的基础考查题，易错点是移项时符号出错、加减消元时漏乘或符号运算错误，掌握消元法的基本规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查二元一次方程组的消元方法，解题时需逐个验证每个选项的消元步骤是否正确：代入消元法移项时要注意变号，加减消元法要保证等式两边各项同步运算，加减时注意符号规则，逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：由①$m-n=2$，移项得$m=2+n$，而非$m=2-n$，A错误；
B选项：由②$2m+n=-5$，移项得$n=-2m-5$，而非$n=2m-5$，B错误；
C选项：采用加减消元法消去$n$，将①+②，左边相加为$(m-n)+(2m+n)=3m$，右边相加为$2+(-5)=-3$，得$3m=-3$，C正确；
D选项：采用加减消元法消去$m$，先将①×2得$2m-2n=4$，再减去②：左边为$(2m-2n)-(2m+n)=-3n$，右边为$4-(-5)=9$，得$-3n=9$，而非$-3n=-1$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组消元方法的基础考查题，易错点是移项时符号出错、加减消元时漏乘或符号运算错误，掌握消元法的基本规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5. 已知方程组$\begin{cases}7x + 10y = 2, \\10x + 7y = -4\end{cases}$的解满足$x - y = m - 1$，则$m$的值为（ ）。
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时可先观察两个方程的系数特点，发现两个方程中x的系数差和y的系数差的绝对值相等，不需要分别求出x、y的具体值，通过两式相减直接得到x-y的整体值，再代入x-y=m-1即可快速求出m的值；也可以先解二元一次方程组得到x、y的解，再代入关系式求m，整体法计算更简便。
【解析】
解：给方程组标记序号：
$\begin{cases}7x + 10y = 2&① \\10x + 7y = -4&②\end{cases}$
用②式减去①式，可得：
$(10x+7y)-(7x+10y)=-4-2$
化简左边：$10x+7y-7x-10y=3x-3y=3(x-y)$
右边计算得：$-6$
因此$3(x-y)=-6$，两边同时除以3得$x-y=-2$
已知$x-y=m-1$，将$x-y=-2$代入得：
$m-1=-2$
解得$m=-1$
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程组的解法 2.整体代入思想 3.一元一次方程求解
【点评】
本题既可以通过常规解方程组得到x、y的值再计算，也可以观察系数特征用整体思想简化计算，核心考查对整体法的灵活运用能力，能帮助掌握简便计算的技巧。
【难度系数】
0.7
解题时可先观察两个方程的系数特点，发现两个方程中x的系数差和y的系数差的绝对值相等，不需要分别求出x、y的具体值，通过两式相减直接得到x-y的整体值，再代入x-y=m-1即可快速求出m的值；也可以先解二元一次方程组得到x、y的解，再代入关系式求m，整体法计算更简便。
【解析】
解：给方程组标记序号：
$\begin{cases}7x + 10y = 2&① \\10x + 7y = -4&②\end{cases}$
用②式减去①式，可得：
$(10x+7y)-(7x+10y)=-4-2$
化简左边：$10x+7y-7x-10y=3x-3y=3(x-y)$
右边计算得：$-6$
因此$3(x-y)=-6$，两边同时除以3得$x-y=-2$
已知$x-y=m-1$，将$x-y=-2$代入得：
$m-1=-2$
解得$m=-1$
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程组的解法 2.整体代入思想 3.一元一次方程求解
【点评】
本题既可以通过常规解方程组得到x、y的值再计算，也可以观察系数特征用整体思想简化计算，核心考查对整体法的灵活运用能力，能帮助掌握简便计算的技巧。
【难度系数】
0.7
6. 如果方程组$\begin{cases}x+y=\bigstar, \\ 2x+y=16\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=6, \\ y=\blacksquare,\end{cases}$那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）.
A.4，10
B.10，4
C.3，10
D.10，3
A.4，10
B.10，4
C.3，10
D.10，3
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先要明确二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程。已知解中x=6，我们可以先将x=6代入第二个不含★的方程2x+y=16，先求出y的值（即■代表的数），再将x、y的值代入第一个方程x+y=★，就能求出★代表的数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=6 \\ y=\blacksquare\end{cases}$是方程组的解，
∴ 该组解满足方程组的两个方程。
第一步：将$x=6$代入$2x+y=16$，得：
$2×6 + y = 16$
$12 + y = 16$
解得$y=4$，即$\blacksquare=4$。
第二步：将$x=6$，$y=4$代入$x+y=\bigstar$，得：
$\bigstar=6+4=10$。
因此被遮住的两个数分别是10和4，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代入求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，核心是理解方程组的解可使方程组中每个方程左右两边相等，按照先求未知未知数、再求参数的顺序计算即可，解题难度低，核心是掌握方程组解的性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程。已知解中x=6，我们可以先将x=6代入第二个不含★的方程2x+y=16，先求出y的值（即■代表的数），再将x、y的值代入第一个方程x+y=★，就能求出★代表的数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=6 \\ y=\blacksquare\end{cases}$是方程组的解，
∴ 该组解满足方程组的两个方程。
第一步：将$x=6$代入$2x+y=16$，得：
$2×6 + y = 16$
$12 + y = 16$
解得$y=4$，即$\blacksquare=4$。
第二步：将$x=6$，$y=4$代入$x+y=\bigstar$，得：
$\bigstar=6+4=10$。
因此被遮住的两个数分别是10和4，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代入求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，核心是理解方程组的解可使方程组中每个方程左右两边相等，按照先求未知未知数、再求参数的顺序计算即可，解题难度低，核心是掌握方程组解的性质。
【难度系数】
0.8
7. 如图1，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60 cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80 cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（
A.120 cm
B.130 cm
C.140 cm
D.150 cm
D
）。A.120 cm
B.130 cm
C.140 cm
D.150 cm
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确叠放凳子的高度组成：总高度=凳子腿的固定高度+所有凳面的厚度之和。我们可以通过已知的2个、4个凳子叠放的高度，设未知数列出二元一次方程组，先求出凳子腿高度和单个凳面的厚度，再推导n个凳子叠放的高度公式，最后代入n=11计算即可得到结果。
【解析】
设凳子腿的高度为$ x \, \mathrm{cm} $，单个凳面的厚度为$ y \, \mathrm{cm} $。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 60 \\x + 4y = 80\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$ 2y = 20 $，解得$ y = 10 $。
将$ y = 10 $代入$ x + 2y = 60 $，得：$ x + 2×10 = 60 $，解得$ x = 40 $。
因此，$ n $个凳子叠放的总高度为$ (40 + 10n) \, \mathrm{cm} $。
当$ n = 11 $时，总高度为$ 40 + 10×11 = 150 \, \mathrm{cm} $。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的叠放场景，考查学生提取等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是理清叠放高度的组成部分，区分固定高度和随数量变化的部分。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确叠放凳子的高度组成：总高度=凳子腿的固定高度+所有凳面的厚度之和。我们可以通过已知的2个、4个凳子叠放的高度，设未知数列出二元一次方程组，先求出凳子腿高度和单个凳面的厚度，再推导n个凳子叠放的高度公式，最后代入n=11计算即可得到结果。
【解析】
设凳子腿的高度为$ x \, \mathrm{cm} $，单个凳面的厚度为$ y \, \mathrm{cm} $。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 60 \\x + 4y = 80\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$ 2y = 20 $，解得$ y = 10 $。
将$ y = 10 $代入$ x + 2y = 60 $，得：$ x + 2×10 = 60 $，解得$ x = 40 $。
因此，$ n $个凳子叠放的总高度为$ (40 + 10n) \, \mathrm{cm} $。
当$ n = 11 $时，总高度为$ 40 + 10×11 = 150 \, \mathrm{cm} $。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的叠放场景，考查学生提取等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是理清叠放高度的组成部分，区分固定高度和随数量变化的部分。
【难度系数】
0.7
