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三、解答题
10.（1）如图
，分别把两个边长为1 cm的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为
（2）如图，小逸同学打算将一块面积为1 600 cm²的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为1 350 cm²的长方形，使该长方形的长和宽之比为3：2，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.
10.（1）如图
，分别把两个边长为1 cm的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为$\sqrt{2}$
cm.（2）如图，小逸同学打算将一块面积为1 600 cm²的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为1 350 cm²的长方形，使该长方形的长和宽之比为3：2，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.
答案
10. (1) $\sqrt{2}$
(2) 不能. 理由如下：设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，由题意可得$3x · 2x=1\ 350$，解得$x=15$（负值舍去），所以$3x=3×15=45$，由正方形木板的面积为$1\ 600\ \mathrm{cm}^2$，得该正方形木板的边长为40 cm. 因为$45＞40$，所以小逸不能裁出符合条件的长方形
(2) 不能. 理由如下：设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，由题意可得$3x · 2x=1\ 350$，解得$x=15$（负值舍去），所以$3x=3×15=45$，由正方形木板的面积为$1\ 600\ \mathrm{cm}^2$，得该正方形木板的边长为40 cm. 因为$45＞40$，所以小逸不能裁出符合条件的长方形
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是抓住拼接前后图形总面积不变的规律：两个小正方形拼接为大正方形时，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，再结合正方形面积与边长的关系，求面积的算术平方根即可得到大正方形的边长。
（2）解决第二问先根据长宽的比例关系设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长和宽，再计算原正方形木板的边长，将长方形的长与正方形边长比较：若长不超过正方形边长则可以裁出，反之则不能，注意实际问题中长度为正数，需舍去负解。
【解析】
（1）每个边长为1 cm的小正方形面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$，两个小正方形的总面积为$1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
拼接为大正方形后面积不变，设大正方形边长为$a$，则$a^2=2$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）设长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式列方程：
$3x·2x=1350$
整理得$6x^2=1350$，即$x^2=225$，解得$x=15$（长度为正数，舍去负值）。
因此长方形的长为$3×15=45\ \mathrm{cm}$。
已知正方形木板面积为$1600\ \mathrm{cm}^2$，则其边长为$\sqrt{1600}=40\ \mathrm{cm}$。
由于$45＞40$，长方形的长大于正方形木板的边长，因此无法裁出符合条件的长方形。
【答案】
（1）$\sqrt{2}$
（2）不能。理由如下：设长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，由题意可得$3x · 2x=1350$，解得$x=15$（负值舍去），所以$3x=3×15=45$，由正方形木板的面积为$1600\ \mathrm{cm}^2$，得该正方形木板的边长为40 cm。因为$45＞40$，所以小逸不能裁出符合条件的长方形。
【知识点】
算术平方根计算，等积变换，列方程解应用题
【点评】
本题是实数在几何实际问题中的基础应用，第一问需要掌握拼接前后面积不变的规律，第二问需要结合比例设未知数列方程求解，解题时注意实际问题中边长需取正根，再通过比较大小判断是否符合要求，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问的核心是抓住拼接前后图形总面积不变的规律：两个小正方形拼接为大正方形时，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，再结合正方形面积与边长的关系，求面积的算术平方根即可得到大正方形的边长。
（2）解决第二问先根据长宽的比例关系设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长和宽，再计算原正方形木板的边长，将长方形的长与正方形边长比较：若长不超过正方形边长则可以裁出，反之则不能，注意实际问题中长度为正数，需舍去负解。
【解析】
（1）每个边长为1 cm的小正方形面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$，两个小正方形的总面积为$1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
拼接为大正方形后面积不变，设大正方形边长为$a$，则$a^2=2$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）设长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式列方程：
$3x·2x=1350$
整理得$6x^2=1350$，即$x^2=225$，解得$x=15$（长度为正数，舍去负值）。
因此长方形的长为$3×15=45\ \mathrm{cm}$。
已知正方形木板面积为$1600\ \mathrm{cm}^2$，则其边长为$\sqrt{1600}=40\ \mathrm{cm}$。
由于$45＞40$，长方形的长大于正方形木板的边长，因此无法裁出符合条件的长方形。
【答案】
（1）$\sqrt{2}$
（2）不能。理由如下：设长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，由题意可得$3x · 2x=1350$，解得$x=15$（负值舍去），所以$3x=3×15=45$，由正方形木板的面积为$1600\ \mathrm{cm}^2$，得该正方形木板的边长为40 cm。因为$45＞40$，所以小逸不能裁出符合条件的长方形。
【知识点】
算术平方根计算，等积变换，列方程解应用题
【点评】
本题是实数在几何实际问题中的基础应用，第一问需要掌握拼接前后面积不变的规律，第二问需要结合比例设未知数列方程求解，解题时注意实际问题中边长需取正根，再通过比较大小判断是否符合要求，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
11. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”. 例如：－9，－4，－1这三个数，$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$，$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$，$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$，其结果6，3，2都是整数，所以－9，－4，－1这三个数称为“完美组合数”.
（1）－18，－8，－2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数－3，m，－12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
（1）－18，－8，－2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数－3，m，－12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
答案
11. (1) 是.理由如下：$\because \sqrt{(-18)×(-8)}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$，$\therefore -18$，$-8$，$-2$这三个数是“完美组合数”
(2) $\because \sqrt{(-3)×(-12)}=6$，$\therefore$ 分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时，$-3m=144$，解得$m=-48$；②当$\sqrt{-12m}=12$时，$-12m=144$，解得$m=-12$. $\because$ “完美组合数”的三个数互不相等，$\therefore m=-12$不符合题意，舍去. 综上，$m$的值是$-48$
(2) $\because \sqrt{(-3)×(-12)}=6$，$\therefore$ 分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时，$-3m=144$，解得$m=-48$；②当$\sqrt{-12m}=12$时，$-12m=144$，解得$m=-12$. $\because$ “完美组合数”的三个数互不相等，$\therefore m=-12$不符合题意，舍去. 综上，$m$的值是$-48$
解析
【分析】
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，只需紧扣题目定义，分别计算三个数两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合要求；（2）首先计算已知的-3和-12乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的两两组合只能是-3与m、或-12与m，分两种情况列方程求解，最后结合“三个数互不相等”的条件排除不符合的解即可。
【解析】
（1）-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，
三个结果都是整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
（2）先计算-3和-12乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的是另外两组两两乘积，分两种情况讨论：
①当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，互不相等，符合要求；
②当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，此时三个数为-3、-12、-12，有两个数相等，不符合“完美组合数”的要求，舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
【答案】
（1）是，理由见解析；（2）$m=-48$
【知识点】
算术平方根计算；新定义问题；分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景考查算术平方根的运算，解题核心是准确理解新定义的规则，第二问需覆盖所有可能的情况分类讨论，同时注意题干中“三个数互不相等”的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，只需紧扣题目定义，分别计算三个数两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合要求；（2）首先计算已知的-3和-12乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的两两组合只能是-3与m、或-12与m，分两种情况列方程求解，最后结合“三个数互不相等”的条件排除不符合的解即可。
【解析】
（1）-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，
三个结果都是整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
（2）先计算-3和-12乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的是另外两组两两乘积，分两种情况讨论：
①当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，互不相等，符合要求；
②当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，此时三个数为-3、-12、-12，有两个数相等，不符合“完美组合数”的要求，舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
【答案】
（1）是，理由见解析；（2）$m=-48$
【知识点】
算术平方根计算；新定义问题；分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景考查算术平方根的运算，解题核心是准确理解新定义的规则，第二问需覆盖所有可能的情况分类讨论，同时注意题干中“三个数互不相等”的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
