18. 在菱形ABCD中，AB=8 cm，其面积是$32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，E是边BC上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连结DE.
(1) 如图①，当$DE ⊥ BC$时，求EC的长；
(2) 如图②，在线段DE上取一点F，使$DF=BE$，以DF为边向右作正方形DFMN，当点M落在边CD上时，求正方形DFMN的边长.

18.(1)在菱形ABCD中，
$AB=8\ \mathrm{cm}$. 其面积是$32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore AB=BC=8\ \mathrm{cm}$, $\because DE ⊥ BC$,
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=BC · DE$,
即$8DE=32\sqrt{3}$, 解得$DE=4\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中, 由勾股定理, 得
$EC=\sqrt{CD^2-DE^2}=4(\mathrm{cm})$.
(2)$(16-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$.

19. 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”.如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫做“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”.
问题：
（1）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，其中是“和谐四边形”的有 ；（填序号）
（2）四边形ABCD是“和谐四边形”，$AB=3+\sqrt{3}$，$∠BAD=60°$，$∠ABC=90°$，求四边形ABCD“和谐线”的长.（画出图形并写出解答过程）

19.(1)③④
(2)如图①，AC是“和谐线”，
$\because ∠ BAD=60°$, $∠ ABC=90°$, $AB=3+\sqrt{3}$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAD=30°$.
$\therefore BC=\dfrac{1}{2}AC$.
$\because AB^2+BC^2=AC^2$,
即$(3+\sqrt{3}\ )^2+(\dfrac{1}{2}AC)^2=AC^2$,
$\therefore AC=2\sqrt{3}+2$.
如图②，BD是“和谐线”，作$DE ⊥ AB$于点E, 则$∠ AED = ∠ BED = 90°$,

$\because ∠ ABD=∠ CBD=\dfrac{1}{2}∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ EDB=∠ EBD=45°$.
$\therefore BE=DE$.
$\because ∠ ADE=30°$,
$\therefore AD=2AE$.
$\therefore BE = DE = \sqrt{AD^2-AE^2} = \sqrt{(2AE)^2-AE^2}=\sqrt{3}AE$.
$\therefore AE+\sqrt{3}AE=3+\sqrt{3}$.
$\therefore AE=\sqrt{3}$.
$\therefore BE=DE=\sqrt{3} × \sqrt{3}=3$.
$\therefore BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.
综上所述, 四边形ABCD“和谐线”的长是$2\sqrt{3}+2$或$3\sqrt{2}$.