例3 在四边形 ABCD中，AD//BC，AB=CD.下列条件能使四边形 ABCD为矩形的是 ( )
A. AB//CD B. AD=BC
C. $ ∠ A=∠ B $ D. $ ∠ A=∠ D $
解析 对于 A项，因为 AB//CD，AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形.由 AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意.
对于B项，因为 $ AD=BC $ ， $ AD// BC $ ，所以四边形ABCD是平行四边形.由 $ AB=CD $ ，不能判定四边形ABCD为矩形.故选项B不符合题意.
对于C项，因为 $ AD// BC $ ，所以 $ ∠ A+∠ B=180° $因为 $ ∠ A=∠ B $ ，所以 $ ∠ A=∠ B=90° $所以 $ AB\bot AD $ ， $ AB\bot BC $所以AB的长为AD与BC间的距离.因为 $ AB=CD $ ，所以 $ CD\bot AD $ ， $ CD\bot BC $ ，所以 $ ∠ C=∠ D=90° $所以四边形ABCD是矩形故选项C符合题意.
对于D项，因为 AD//BC，所以 $ ∠ A+∠ B=1 8 0° $ $ ∠ D+∠ C=1 8 0° $因为 $ ∠ A=∠ D $ ，所以只能推出 $ ∠ B=∠ C $ ，不能推出四边形ABCD是矩形.故选项D不符合题意.故选C.
答案 C

解：
选项A：
∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD是平行四边形的固有性质，无法判定该平行四边形为矩形，故A不符合题意。
选项B：
∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD是平行四边形的固有性质，无法判定该平行四边形为矩形，故B不符合题意。
选项C：
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∵AD//BC，AB=CD，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故C符合题意。
选项D：
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，
又∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C，
无法推出四边形ABCD有直角，不能判定其为矩形，故D不符合题意。
综上，答案选C。

1. 若增加一个条件，使 $ \Box ABCD $为矩形，则增加的条件可以是 ( )

A.$ AD=CD $
B.$ ∠ A+∠ C=1 8 0° $
C.$ AC=2 AB $
D.对角线互相垂直

1. B

2. 如图，在 $ △ A B C $中， $ A B=A C $ ，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//
BC交CE的延长线于点F.连接BF.求证：四边形ADBF是矩形.

2. 证明 因为$AF// BC$，
所以$∠ AFE=∠ DCE$.因为$E$是$AD$的中点，
所以$AE=DE$.
在$△ AEF$和$△ DEC$中，
$\begin{cases}∠ AFE=∠ DCE,\\∠ AEF=∠ DEC,\\AE=DE,\end{cases}$
所以$△ AEF≌△ DEC(\mathrm{AAS})$.
所以$AF=DC$.
因为$D$是$BC$的中点，
所以$AF=DC=BD$.
所以四边形$ADBF$是平行四边形.
在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点，
所以$AD⊥ BC$.
所以$∠ ADB=90°$.
所以$□ ADBF$是矩形.