18. 请你参与下面的探究过程，回答所提出的问题.
(1)问题引入:
如图①，在$△ ABC$中，$O$是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线的交点，若$∠ A=70°$，则$∠ BOC=$度；若$∠ A=α$，则$∠ BOC=$（用含$α$的代数式表示）；
(2)类比探究:
如图②，在$△ ABC$中，$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$，$∠ A=α$.
试探究：$∠ BOC$与$∠ A$的数量关系(用含$α$的代数式表示)，并说明理由.
(3)知识拓展:
如图③，$BO$、$CO$分别是$△ ABC$的外角$∠ DBC$，$∠ ECB$的$n$等分线，它们交于点$O$，$∠ CBO=\frac{1}{n}∠ DBC$，$∠ BCO=\frac{1}{n}∠ ECB$，$∠ A=α$，求$∠ BOC$的度数(用含$α$、$n$的代数式表示).

18.(1)$125°$ $90°+\frac{1}{2}α$
(2)$∠BOC=120°+\frac{1}{3}α$.
理由如下：
$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)$
$=180°-\frac{1}{3}(∠ABC+∠ACB)$
$=180°-\frac{1}{3}(180°-∠A)$
$=120°+\frac{1}{3}α$.
(3)$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)$
$=180°-\frac{1}{n}(∠DBC+∠ECB)$
$=180°-\frac{1}{n}(180°+∠A)$
$=\frac{n-1}{n}·180°-\frac{α}{n}$.

【分析】
本题是三角形角度规律探究题，解题核心是利用三角形内角和定理，结合角等分线的比例关系推导∠BOC的度数：
(1) 先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的性质得到∠OBC+∠OCB是∠ABC+∠ACB的一半，最后用180°减去∠OBC与∠OCB的和即可得到∠BOC的度数，代入∠A的数值或字母即可得到对应结果；
(2) 类比第(1)问的思路，仅将角平分线的$\frac{1}{2}$比例替换为三等分线的$\frac{1}{3}$，按照相同步骤推导即可；
(3) 先利用三角形外角的性质，求出两个外角∠DBC+∠ECB的和与∠A的关系，再结合n等分线的$\frac{1}{n}$比例，用内角和定理推导∠BOC的表达式。
【解析】
(1) 已知∠A=70°，在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∵O是∠ABC和∠ACB的平分线交点，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△OBC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$
若∠A=α，则$∠ ABC+∠ ACB=180°-α$，同理可得$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(180°-α)$
∴$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(180°-α)=90°+\frac{1}{2}α$
(2) $∠ BOC=120°+\frac{1}{3}α$，理由如下：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-α$
∵$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{3}(180°-α)$
在△OBC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{3}(180°-α)=120°+\frac{1}{3}α$
(3)
∵∠DBC是△ABC的外角，
∴$∠ DBC=180°-∠ ABC$，同理$∠ ECB=180°-∠ ACB$
∴$∠ DBC+∠ ECB=360°-(∠ ABC+∠ ACB)=360°-(180°-∠ A)=180°+α$
∵$∠ CBO=\frac{1}{n}∠ DBC$，$∠ BCO=\frac{1}{n}∠ ECB$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{n}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{n}(180°+α)$
在△OBC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{n}(180°+α)=\frac{n-1}{n}·180°-\frac{α}{n}$
【答案】
(1) $125$；$90°+\frac{1}{2}α$
(2) $∠BOC=120°+\frac{1}{3}α$
(3) $∠BOC=\frac{n-1}{n}·180°-\frac{α}{n}$
【知识点】
三角形内角和定理，角等分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于角度规律探究类题型，从内角平分线到三等分线再到外角n等分线，由特殊到一般层层递进，解题的关键是灵活运用三角形内角和与外角的性质，结合角等分线的比例关系推导，掌握该推导思路可以快速解决同类型的角度探究问题。
【难度系数】
0.7