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22. 已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB| = |a−b|，
(1)数轴上点P表示的数是x，|x−6|可表示为点P到表示数
(2)代数式|x−2| + |x+6|的最小值是
(3)若|x+2| + |1−x| =9−|y−5| −|1+y|，则x+y的最大值是
(4)数轴上有三个不重合的点M、N、P，若M、N、P三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”.已知点M表示的数是−4，点N表示的数是8，若点P是其他两个点的“倍分点”，求此时点P表示的数.
(1)数轴上点P表示的数是x，|x−6|可表示为点P到表示数
6
的距离；若|x−6|=3，则x=9或3
；(2)代数式|x−2| + |x+6|的最小值是
8
；(3)若|x+2| + |1−x| =9−|y−5| −|1+y|，则x+y的最大值是
6
.(4)数轴上有三个不重合的点M、N、P，若M、N、P三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”.已知点M表示的数是−4，点N表示的数是8，若点P是其他两个点的“倍分点”，求此时点P表示的数.
答案
22. (1)6 9或3 (2)8 (3)6
(4)设点P表示的数为x，
①当点P在点M左边时，有2PM=PN，
即$2|-4-x|=|8-x|$，解得$x=-16$或$x=0$(舍去)，
②当点P在点M、N之间靠近点M时，有2MP=PN，
即$2|x+4|=|8-x|$，解得$x=0$或$x=-16$(舍去)，
当点P在点M、N之间靠近点N时，有MP=2PN，
即$|x+4|=2|8-x|$，解得$x=4$或$x=20$(舍去)，
③当点P在点N的右边时，有MP=2PN，
即$|x+4|=2|x-8|$，解得$x=20$或$x=4$(舍去)，
故点P表示的数为-16或0或4或20.
(4)设点P表示的数为x，
①当点P在点M左边时，有2PM=PN，
即$2|-4-x|=|8-x|$，解得$x=-16$或$x=0$(舍去)，
②当点P在点M、N之间靠近点M时，有2MP=PN，
即$2|x+4|=|8-x|$，解得$x=0$或$x=-16$(舍去)，
当点P在点M、N之间靠近点N时，有MP=2PN，
即$|x+4|=2|8-x|$，解得$x=4$或$x=20$(舍去)，
③当点P在点N的右边时，有MP=2PN，
即$|x+4|=2|x-8|$，解得$x=20$或$x=4$(舍去)，
故点P表示的数为-16或0或4或20.
解析
【分析】
(1) 根据数轴两点距离公式$|x-a|$表示数$x$对应点到数$a$对应点的距离，可直接判断$|x-6|$的几何意义；若$|x-6|=3$，则$x$与6的差为$\pm3$，计算即可得到$x$的值。
(2) 转化为几何意义分析：$|x-2|$是$x$到2的距离，$|x+6|$是$x$到$-6$的距离，当$x$在$-6$和2之间时，两个距离之和最小，等于$-6$到2的总距离。
(3) 先将原式变形为$|x+2|+|x-1| + |y-5|+|y+1|=9$，分别计算两个绝对值和的最小值：$|x+2|+|x-1|$最小值为3（$x$在$-2$到1之间时取得），$|y-5|+|y+1|$最小值为6（$y$在$-1$到5之间时取得），两者和恰好为9，因此只有两个式子都取最小值时等式成立，取$x$、$y$的最大值相加即可得到$x+y$的最大值。
(4) 设点$P$表示的数为$x$，按$P$的位置分三类讨论：①$P$在点$M$左侧；②$P$在$M$、$N$之间；③$P$在点$N$右侧，每类根据倍分关系列绝对值方程，求解后舍去不符合当前区间的解即可。
【解析】
(1) $|x−6|$表示点$P$到表示数6的距离；若$|x-6|=3$，则$x-6=\pm3$，解得$x=9$或$x=3$。
(2) 当$x$在$-6$和2之间时，$|x-2|+|x+6|$取最小值，最小值为$2-(-6)=8$。
(3) 原式整理得$|x+2|+|x-1| + |y-5|+|y+1|=9$，$|x+2|+|x-1|$最小值为3，$|y-5|+|y+1|$最小值为6，因此$x\in[-2,1]$，$y\in[-1,5]$，$x+y$最大值为$1+5=6$。
(4) 设点$P$表示的数为$x$，
①当点$P$在点$M$左边时，有$2PM=PN$，即$2|-4-x|=|8-x|$，解得$x=-16$或$x=0$（舍去）；
②当点$P$在点$M$、$N$之间靠近点$M$时，有$2MP=PN$，即$2|x+4|=|8-x|$，解得$x=0$或$x=-16$（舍去）；
当点$P$在点$M$、$N$之间靠近点$N$时，有$MP=2PN$，即$|x+4|=2|8-x|$，解得$x=4$或$x=20$（舍去）；
③当点$P$在点$N$的右边时，有$MP=2PN$，即$|x+4|=2|x-8|$，解得$x=20$或$x=4$（舍去）。
综上，点$P$表示的数为-16或0或4或20。
【答案】
(1)6；9或3 (2)8 (3)6 (4)-16或0或4或20
【知识点】
数轴两点距离，绝对值几何意义，分类讨论
【点评】
本题综合考察数轴与绝对值的结合应用，需要熟练掌握绝对值的几何意义简化计算，分类讨论倍分点问题时要注意结合点的位置对解进行取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
(1) 根据数轴两点距离公式$|x-a|$表示数$x$对应点到数$a$对应点的距离，可直接判断$|x-6|$的几何意义；若$|x-6|=3$，则$x$与6的差为$\pm3$，计算即可得到$x$的值。
(2) 转化为几何意义分析：$|x-2|$是$x$到2的距离，$|x+6|$是$x$到$-6$的距离，当$x$在$-6$和2之间时，两个距离之和最小，等于$-6$到2的总距离。
(3) 先将原式变形为$|x+2|+|x-1| + |y-5|+|y+1|=9$，分别计算两个绝对值和的最小值：$|x+2|+|x-1|$最小值为3（$x$在$-2$到1之间时取得），$|y-5|+|y+1|$最小值为6（$y$在$-1$到5之间时取得），两者和恰好为9，因此只有两个式子都取最小值时等式成立，取$x$、$y$的最大值相加即可得到$x+y$的最大值。
(4) 设点$P$表示的数为$x$，按$P$的位置分三类讨论：①$P$在点$M$左侧；②$P$在$M$、$N$之间；③$P$在点$N$右侧，每类根据倍分关系列绝对值方程，求解后舍去不符合当前区间的解即可。
【解析】
(1) $|x−6|$表示点$P$到表示数6的距离；若$|x-6|=3$，则$x-6=\pm3$，解得$x=9$或$x=3$。
(2) 当$x$在$-6$和2之间时，$|x-2|+|x+6|$取最小值，最小值为$2-(-6)=8$。
(3) 原式整理得$|x+2|+|x-1| + |y-5|+|y+1|=9$，$|x+2|+|x-1|$最小值为3，$|y-5|+|y+1|$最小值为6，因此$x\in[-2,1]$，$y\in[-1,5]$，$x+y$最大值为$1+5=6$。
(4) 设点$P$表示的数为$x$，
①当点$P$在点$M$左边时，有$2PM=PN$，即$2|-4-x|=|8-x|$，解得$x=-16$或$x=0$（舍去）；
②当点$P$在点$M$、$N$之间靠近点$M$时，有$2MP=PN$，即$2|x+4|=|8-x|$，解得$x=0$或$x=-16$（舍去）；
当点$P$在点$M$、$N$之间靠近点$N$时，有$MP=2PN$，即$|x+4|=2|8-x|$，解得$x=4$或$x=20$（舍去）；
③当点$P$在点$N$的右边时，有$MP=2PN$，即$|x+4|=2|x-8|$，解得$x=20$或$x=4$（舍去）。
综上，点$P$表示的数为-16或0或4或20。
【答案】
(1)6；9或3 (2)8 (3)6 (4)-16或0或4或20
【知识点】
数轴两点距离，绝对值几何意义，分类讨论
【点评】
本题综合考察数轴与绝对值的结合应用，需要熟练掌握绝对值的几何意义简化计算，分类讨论倍分点问题时要注意结合点的位置对解进行取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
