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21. 定义：使方程(组)和不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”. 例：已知方程$2x-3=1$与不等式$x+3＞0$，方程的解为$x=2$，使得不等式也成立，则称“$x=2$”为方程$2x-3=1$和不等式$x+3＞0$的“梦想解”.
(1)已知①$x-\frac{1}{2}＞\frac{3}{2}$；②$2(x+3)＜4$；③$\frac{x-1}{2}＜3$，则方程$2x+5=7$的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”；
(2)若关于$x$、$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x-2y=m+2, \\2x-y=m-5\end{cases}$的解是该方程组与不等式组$\begin{cases}x+y＞-1, \\x+y＜5\end{cases}$的“梦想解”，求$m$的整数解；
(3)若关于$x$的方程$x+4=3m$的解是该方程与关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞m-1, \\x-1≤3m\end{cases}$的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，求$m$的取值范围.
(1)已知①$x-\frac{1}{2}＞\frac{3}{2}$；②$2(x+3)＜4$；③$\frac{x-1}{2}＜3$，则方程$2x+5=7$的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”；
(2)若关于$x$、$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x-2y=m+2, \\2x-y=m-5\end{cases}$的解是该方程组与不等式组$\begin{cases}x+y＞-1, \\x+y＜5\end{cases}$的“梦想解”，求$m$的整数解；
(3)若关于$x$的方程$x+4=3m$的解是该方程与关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞m-1, \\x-1≤3m\end{cases}$的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，求$m$的取值范围.
答案
21. (1)③
(2)$m$的整数解为16、17.
(3)解不等式组$\begin{cases}x＞m-1, \\ x-1≤3m,\end{cases}$得$m-1＜x≤3m+1$.
不等式组的整数解有7个，令整数解为$n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6$. 则有$n-1≤m-1＜n$，$n+6≤3m+1＜n+7$. 故$\begin{cases}n≤m＜n+1, \\ \dfrac{n+5}{3}≤m＜\dfrac{n+6}{3}.\end{cases}$
$\therefore n＜\dfrac{n+6}{3}$且$\dfrac{n+5}{3}＜n+1$，$\therefore 1＜n＜3$，
$\therefore n=2$，$\therefore \begin{cases}2≤m＜3, \\ \dfrac{7}{3}≤m＜\dfrac{8}{3},\end{cases}$ $\therefore \dfrac{7}{3}≤m＜\dfrac{8}{3}$.
解方程$x+4=3m$得$x=3m-4$，$\because$ 方程$x+4=3m$的解是该方程与关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞m-1, \\ x-1≤3m\end{cases}$的“梦想解”，
$\therefore \begin{cases}m-1＜3m-4, \\ 3m-4≤3m+1,\end{cases}$ 解得$m＞\dfrac{3}{2}$. 综上，$m$的取值范围是$\dfrac{7}{3}≤m＜\dfrac{8}{3}$.
(2)$m$的整数解为16、17.
(3)解不等式组$\begin{cases}x＞m-1, \\ x-1≤3m,\end{cases}$得$m-1＜x≤3m+1$.
不等式组的整数解有7个，令整数解为$n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6$. 则有$n-1≤m-1＜n$，$n+6≤3m+1＜n+7$. 故$\begin{cases}n≤m＜n+1, \\ \dfrac{n+5}{3}≤m＜\dfrac{n+6}{3}.\end{cases}$
$\therefore n＜\dfrac{n+6}{3}$且$\dfrac{n+5}{3}＜n+1$，$\therefore 1＜n＜3$，
$\therefore n=2$，$\therefore \begin{cases}2≤m＜3, \\ \dfrac{7}{3}≤m＜\dfrac{8}{3},\end{cases}$ $\therefore \dfrac{7}{3}≤m＜\dfrac{8}{3}$.
解方程$x+4=3m$得$x=3m-4$，$\because$ 方程$x+4=3m$的解是该方程与关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞m-1, \\ x-1≤3m\end{cases}$的“梦想解”，
$\therefore \begin{cases}m-1＜3m-4, \\ 3m-4≤3m+1,\end{cases}$ 解得$m＞\dfrac{3}{2}$. 综上，$m$的取值范围是$\dfrac{7}{3}≤m＜\dfrac{8}{3}$.
解析
【分析】
本题为新定义题型，核心是理解“梦想解”的含义：未知数的值既要满足方程(组)，又要满足不等式(组)。解题思路如下：
(1) 先求出方程的解，再分别代入三个不等式验证，找出成立的不等式即可；
(2) 先解二元一次方程组，用含m的式子表示x、y，再计算x+y后代入不等式组，得到关于m的不等式组，求解后取整数解即可；
(3) 先解不等式组，根据有7个整数解的条件确定m的初步范围，再结合方程的解满足不等式组的条件，综合得到m的最终取值范围。
【解析】
(1) 解方程$2x+5=7$：
移项得$2x=7-5=2$，解得$x=1$。
分别代入三个不等式验证：
代入①$x-\frac{1}{2}＞\frac{3}{2}$：左边$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}＜\frac{3}{2}$，不成立；
代入②$2(x+3)＜4$：左边$2×(1+3)=8＞4$，不成立；
代入③$\frac{x-1}{2}＜3$：左边$\frac{1-1}{2}=0＜3$，成立。
(2) 解二元一次方程组$\begin{cases}3x-2y=m+2 \\2x-y=m-5\end{cases}$：
由第二个方程得$y=2x-m+5$，代入第一个方程：
$3x-2(2x-m+5)=m+2$
展开整理得$-x=-m+12$，解得$x=m-12$
将$x=m-12$代入$y=2x-m+5$，得$y=m-19$
则$x+y=(m-12)+(m-19)=2m-31$
根据“梦想解”的要求，代入不等式组$\begin{cases}x+y＞-1 \\x+y＜5\end{cases}$得：
$\begin{cases}2m-31＞-1 \\2m-31＜5\end{cases}$
解得$15＜m＜18$，故m的整数解为16、17。
(3) 先解不等式组$\begin{cases}x＞m-1 \\x-1≤3m\end{cases}$，得解集为$m-1＜x≤3m+1$。
因为不等式组有7个整数解，设整数解为$n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6$，根据解集边界规则：
$\begin{cases}n-1≤m-1＜n \\n+6≤3m+1＜n+7\end{cases}$，化简得$\begin{cases}n≤m＜n+1 \\\frac{n+5}{3}≤m＜\frac{n+6}{3}\end{cases}$
两个范围有公共部分，故$n＜\frac{n+6}{3}$且$\frac{n+5}{3}＜n+1$，解得$1＜n＜3$，整数$n=2$。
代入得$\begin{cases}2≤m＜3 \\\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}\end{cases}$，即初步范围为$\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}$。
再解方程$x+4=3m$得$x=3m-4$，根据“梦想解”要求代入不等式组得：
$\begin{cases}m-1＜3m-4 \\3m-4≤3m+1\end{cases}$，解得$m＞\frac{3}{2}$。
结合初步范围，最终m的取值范围为$\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) ③；(2) $m$的整数解为16、17；(3) $\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}$
【知识点】
一元一次方程解法，二元一次方程组解法，一元一次不等式组应用
【点评】
本题以新定义为载体，综合考察方程与不等式组的求解能力，解题关键是将新定义转化为常规的方程、不等式求解问题，处理整数解问题时要注意边界值的取舍，避免错解。
【难度系数】
0.5
本题为新定义题型，核心是理解“梦想解”的含义：未知数的值既要满足方程(组)，又要满足不等式(组)。解题思路如下：
(1) 先求出方程的解，再分别代入三个不等式验证，找出成立的不等式即可；
(2) 先解二元一次方程组，用含m的式子表示x、y，再计算x+y后代入不等式组，得到关于m的不等式组，求解后取整数解即可；
(3) 先解不等式组，根据有7个整数解的条件确定m的初步范围，再结合方程的解满足不等式组的条件，综合得到m的最终取值范围。
【解析】
(1) 解方程$2x+5=7$：
移项得$2x=7-5=2$，解得$x=1$。
分别代入三个不等式验证：
代入①$x-\frac{1}{2}＞\frac{3}{2}$：左边$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}＜\frac{3}{2}$，不成立；
代入②$2(x+3)＜4$：左边$2×(1+3)=8＞4$，不成立；
代入③$\frac{x-1}{2}＜3$：左边$\frac{1-1}{2}=0＜3$，成立。
(2) 解二元一次方程组$\begin{cases}3x-2y=m+2 \\2x-y=m-5\end{cases}$：
由第二个方程得$y=2x-m+5$，代入第一个方程：
$3x-2(2x-m+5)=m+2$
展开整理得$-x=-m+12$，解得$x=m-12$
将$x=m-12$代入$y=2x-m+5$，得$y=m-19$
则$x+y=(m-12)+(m-19)=2m-31$
根据“梦想解”的要求，代入不等式组$\begin{cases}x+y＞-1 \\x+y＜5\end{cases}$得：
$\begin{cases}2m-31＞-1 \\2m-31＜5\end{cases}$
解得$15＜m＜18$，故m的整数解为16、17。
(3) 先解不等式组$\begin{cases}x＞m-1 \\x-1≤3m\end{cases}$，得解集为$m-1＜x≤3m+1$。
因为不等式组有7个整数解，设整数解为$n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6$，根据解集边界规则：
$\begin{cases}n-1≤m-1＜n \\n+6≤3m+1＜n+7\end{cases}$，化简得$\begin{cases}n≤m＜n+1 \\\frac{n+5}{3}≤m＜\frac{n+6}{3}\end{cases}$
两个范围有公共部分，故$n＜\frac{n+6}{3}$且$\frac{n+5}{3}＜n+1$，解得$1＜n＜3$，整数$n=2$。
代入得$\begin{cases}2≤m＜3 \\\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}\end{cases}$，即初步范围为$\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}$。
再解方程$x+4=3m$得$x=3m-4$，根据“梦想解”要求代入不等式组得：
$\begin{cases}m-1＜3m-4 \\3m-4≤3m+1\end{cases}$，解得$m＞\frac{3}{2}$。
结合初步范围，最终m的取值范围为$\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) ③；(2) $m$的整数解为16、17；(3) $\frac{7}{3}≤m＜\frac{8}{3}$
【知识点】
一元一次方程解法，二元一次方程组解法，一元一次不等式组应用
【点评】
本题以新定义为载体，综合考察方程与不等式组的求解能力，解题关键是将新定义转化为常规的方程、不等式求解问题，处理整数解问题时要注意边界值的取舍，避免错解。
【难度系数】
0.5
