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1. (2026·德州期中)根据等式和不等式的性质,可以得到:若$a - b ＞ 0$,则$a ＞ b$;若$a - b = 0$,则$a = b$;若$a - b ＜ 0$,则$a ＜ b$.这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.
(1)试比较代数式$5m^2 - 4m + 2$与$4m^2 - 4m - 7$的值的大小.
解:$(5m^2 - 4m + 2) - (4m^2 - 4m - 7) = 5m^2 - 4m + 2 - 4m^2 + 4m + 7 = m^2 + 9$,因为$m^2$是非负数,所以$m^2 + 9 ＞ 0$,所以$5m^2 - 4m + 2$
(2)已知$A = 5m^2 - 4(\frac{7}{4}m - \frac{1}{2})$,$B = 7(m^2 - m) + 3$,请你运用前面介绍的方法比较代数式$A$与$B$的大小.
(3)已知$A = 6m^2 + 4m + 2$,$B = 3(2m^2 + m + 1)$,比较代数式$A$与$B$的大小.
(1)试比较代数式$5m^2 - 4m + 2$与$4m^2 - 4m - 7$的值的大小.
解:$(5m^2 - 4m + 2) - (4m^2 - 4m - 7) = 5m^2 - 4m + 2 - 4m^2 + 4m + 7 = m^2 + 9$,因为$m^2$是非负数,所以$m^2 + 9 ＞ 0$,所以$5m^2 - 4m + 2$
＞
$4m^2 - 4m - 7$.(用“＞”或“＜”填空)(2)已知$A = 5m^2 - 4(\frac{7}{4}m - \frac{1}{2})$,$B = 7(m^2 - m) + 3$,请你运用前面介绍的方法比较代数式$A$与$B$的大小.
(3)已知$A = 6m^2 + 4m + 2$,$B = 3(2m^2 + m + 1)$,比较代数式$A$与$B$的大小.
答案
(1) ＞
解析:$(5m^2 -4m +2)-(4m^2 -4m -7)= 5m^2 -4m +2-4m^2 +4m +7=m^2 +9$,因为$m^2$是非负数,所以$m^2 +9＞0$,所以$5m^2 -4m +2＞4m^2 -4m -7$.
(2)因为$A=5m^2 -4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})$,$B=7(m^2 -m)+3$,所以$A-B=5m^2 -4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})-7(m^2 -m)-3=5m^2 -7m +2-7m^2 +7m -3=-2m^2 -1$.因为$-2m^2$是非正数,所以$-2m^2 -1＜0$,则$A＜B$.
(3)因为$A=6m^2 +4m +2$,$B=3(2m^2 +m +1)$,所以$A-B=6m^2 +4m +2-3(2m^2 +m +1)=m-1$,当$m＞1$时,$m-1＞0$,则$A＞B$;当$m=1$时,$m-1=0$,则$A=B$;当$m＜1$时,$m-1＜0$,则$A＜B$.
解析:$(5m^2 -4m +2)-(4m^2 -4m -7)= 5m^2 -4m +2-4m^2 +4m +7=m^2 +9$,因为$m^2$是非负数,所以$m^2 +9＞0$,所以$5m^2 -4m +2＞4m^2 -4m -7$.
(2)因为$A=5m^2 -4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})$,$B=7(m^2 -m)+3$,所以$A-B=5m^2 -4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})-7(m^2 -m)-3=5m^2 -7m +2-7m^2 +7m -3=-2m^2 -1$.因为$-2m^2$是非正数,所以$-2m^2 -1＜0$,则$A＜B$.
(3)因为$A=6m^2 +4m +2$,$B=3(2m^2 +m +1)$,所以$A-B=6m^2 +4m +2-3(2m^2 +m +1)=m-1$,当$m＞1$时,$m-1＞0$,则$A＞B$;当$m=1$时,$m-1=0$,则$A=B$;当$m＜1$时,$m-1＜0$,则$A＜B$.
2. 新趋势 过程性学习 一个两位数的十位上的数为$a$,个位上的数为$b$,这个两位数记作$\overline{ab}$;一个三位数的百位上的数为$x$,十位上的数为$y$,个位上的数为$z$,这个三位数记作$\overline{xyz}$.
(1)$(\overline{ab}+\overline{ba})$能被11整除吗?请说明理由.
(2)小明发现:如果$(x+y+z)$能被3整除,那么$\overline{xyz}$就能被3整除.请补全小明的证明思路.
(1)$(\overline{ab}+\overline{ba})$能被11整除吗?请说明理由.
(2)小明发现:如果$(x+y+z)$能被3整除,那么$\overline{xyz}$就能被3整除.请补全小明的证明思路.
答案
(1)$(\overline{ab}+\overline{ba})$能被11整除.理由:一个两位数的十位上的数为$a$,个位上的数为$b$,则$\overline{ab}=10a + b$,$\overline{ba}=10b + a$,所以$\overline{ab}+\overline{ba}=10a + b + 10b + a=11a + 11b=11(a + b)$,所以$(\overline{ab}+\overline{ba})$能被11整除.
(2)①$100x + 10y + z$ ②$(99x + 9y)$ 解析:因为$\overline{xyz}=100x + 10y + z=(99x + 9y)+(x + y + z)$,代数式$(99x + 9y)$,$(x + y + z)$都能被3整除,所以$\overline{xyz}$能被3整除.
(2)①$100x + 10y + z$ ②$(99x + 9y)$ 解析:因为$\overline{xyz}=100x + 10y + z=(99x + 9y)+(x + y + z)$,代数式$(99x + 9y)$,$(x + y + z)$都能被3整除,所以$\overline{xyz}$能被3整除.
3. (2026·淮安期中)如图,已知正方形ABCD与正方形BEFG的顶点A,B,E在同一直线上,且AB=a,BE=b(b＜a).
(1)用含a,b的代数式表示图中阴影部分的面积;
(2)当a=4 cm,b=2 cm时,求图中阴影部分的面积.
(1)用含a,b的代数式表示图中阴影部分的面积;
(2)当a=4 cm,b=2 cm时,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)题图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}a^2 + b^2 -\frac{1}{2}b(a + b)=\frac{1}{2}a^2 -\frac{1}{2}ab +\frac{1}{2}b^2$.
(2)当$a=4\ \mathrm{cm}$,$b=2\ \mathrm{cm}$时,阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×4^2 -\frac{1}{2}×4×2 +\frac{1}{2}×2^2=6(\mathrm{cm}^2)$.
(2)当$a=4\ \mathrm{cm}$,$b=2\ \mathrm{cm}$时,阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×4^2 -\frac{1}{2}×4×2 +\frac{1}{2}×2^2=6(\mathrm{cm}^2)$.
4. (2025·深圳期中)三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的长方形中,它们既不重叠也无空隙,记图①阴影部分周长之和为 m,图②阴影部分周长为 n,要求 m 与 n 的差,只需知道一个图形的周长,这个图形是
③
.(填①或②或③)答案
③ 解析:设正方形①的边长为$a$,正方形②的边长为$b$,正方形③的边长为$c$,由题意,得$m=2[c+(a - c)]+2[b+(a + c - b)]=2c + 2a - 2c + 2b + 2a + 2c - 2b=4a + 2c$,$n=2[(a + b - c)+(a + c - b)]=2a + 2b - 2c + 2a + 2c - 2b=4a$,所以$m - n=4a + 2c - 4a=2c$,所以只需要知道正方形③的周长即可得到$m$与$n$的差,故答案为③.
