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25. (11分)将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形(如图所示),记为第一次操作,然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片,记为第二次操作,若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片,如此循环进行下去.
(1)如果剪n次共能得到
(2)若原等边三角形的边长为1,设$a_n$表示第n次所剪出的小等边三角形的边长,如$a_1=\frac{1}{2}$.
①试用含n的式子表示$a_n=$
②计算$a_1+a_2+a_3+···+a_n=$
(3)运用(2)的结论,计算$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}+\frac{1}{192}+\frac{1}{384}+\frac{1}{768}$的值.
(1)如果剪n次共能得到
(3n+1)
个等边三角形.(2)若原等边三角形的边长为1,设$a_n$表示第n次所剪出的小等边三角形的边长,如$a_1=\frac{1}{2}$.
①试用含n的式子表示$a_n=$
$(\frac{1}{2})^n$
;②计算$a_1+a_2+a_3+···+a_n=$
$1-\frac{1}{2^n}$
.(3)运用(2)的结论,计算$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}+\frac{1}{192}+\frac{1}{384}+\frac{1}{768}$的值.
答案
25. (1)(3n+1) 解析:由题意可知,剪1次共得到的等边三角形个数为4=1×3+1;剪2次共得到的等边三角形个数为7=2×3+1;剪3次共得到的等边三角形个数为10=3×3+1;…,所以剪n次共得到的等边三角形个数为(3n+1).
(2)①$(\frac{1}{2})^n$ 解析:因为原等边三角形的边长为1,所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为$\frac{1}{2}$;第2次所剪出的小等边三角形的边长为$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$;第3次所剪出的小等边三角形的边长为$\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$;…,所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为$(\frac{1}{2})^n$,即$a_n=(\frac{1}{2})^n$.
②$1-\frac{1}{2^n}$ 解析:由第①问可知$a_1+a_2+a_3+…+a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}$;令$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}$ ①,则$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^{n-1}}$ ②,②-①得$S=1-\frac{1}{2^n}$,即$a_1+a_2+a_3+…+a_n=1-\frac{1}{2^n}$.
(3)$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}+\frac{1}{192}+\frac{1}{384}+\frac{1}{768}=\frac{1}{3}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256})=\frac{1}{3}×[1+1-(\frac{1}{2})^8]=\frac{1}{3}×(1+1-\frac{1}{256})=\frac{1}{3}×\frac{511}{256}=\frac{511}{768}$.
(2)①$(\frac{1}{2})^n$ 解析:因为原等边三角形的边长为1,所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为$\frac{1}{2}$;第2次所剪出的小等边三角形的边长为$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$;第3次所剪出的小等边三角形的边长为$\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$;…,所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为$(\frac{1}{2})^n$,即$a_n=(\frac{1}{2})^n$.
②$1-\frac{1}{2^n}$ 解析:由第①问可知$a_1+a_2+a_3+…+a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}$;令$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}$ ①,则$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^{n-1}}$ ②,②-①得$S=1-\frac{1}{2^n}$,即$a_1+a_2+a_3+…+a_n=1-\frac{1}{2^n}$.
(3)$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}+\frac{1}{192}+\frac{1}{384}+\frac{1}{768}=\frac{1}{3}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256})=\frac{1}{3}×[1+1-(\frac{1}{2})^8]=\frac{1}{3}×(1+1-\frac{1}{256})=\frac{1}{3}×\frac{511}{256}=\frac{511}{768}$.
26. (12分)定义:如果∠α=2∠β+∠γ,则称∠α是∠β,∠γ的加权伴随角.例如:∠α=50°,∠β=20°,∠γ=10°,此时∠α=2∠β+∠γ,所以∠α是∠β,∠γ的加权伴随角.而2∠γ+∠β=40°,所以∠α不是∠γ,∠β的加权伴随角.
应用:
(1)如果∠1=30°,∠2=40°,∠3=100°.
①∠3
②∠3
(2)如图,点O在直线AB上,点C,D分别为射线OA,OB上一点,射线OC以每秒10°顺时针旋转,同时射线OD以每秒15°逆时针旋转,设旋转的时间为t(0＜t＜12)s.
①当t=3时,判断∠COD是否为∠AOC,∠BOD的加权伴随角,并说明理由;
②若∠AOC=2∠COD,求t的值;
③在∠AOC,∠COD,∠BOD三个角中,若∠BOD是另外两个角的加权伴随角,直接写出t的值.
应用:
(1)如果∠1=30°,∠2=40°,∠3=100°.
①∠3
是
(填“是”或“不是”)∠1,∠2的加权伴随角;②∠3
不是
(填“是”或“不是”)∠2,∠1的加权伴随角.(2)如图,点O在直线AB上,点C,D分别为射线OA,OB上一点,射线OC以每秒10°顺时针旋转,同时射线OD以每秒15°逆时针旋转,设旋转的时间为t(0＜t＜12)s.
①当t=3时,判断∠COD是否为∠AOC,∠BOD的加权伴随角,并说明理由;
②若∠AOC=2∠COD,求t的值;
③在∠AOC,∠COD,∠BOD三个角中,若∠BOD是另外两个角的加权伴随角,直接写出t的值.
答案
26. (1)①是 解析:因为∠1=30°,∠2=40°,所以2∠1+∠2=2×30°+40°=100°=∠3,所以∠3是∠1,∠2的加权伴随角.
②不是 解析:因为∠1=30°,∠2=40°,所以2∠2+∠1=2×40°+30°=110°≠∠3,所以∠3不是∠2,∠1的加权伴随角.
(2)①∠COD是∠AOC,∠BOD的加权伴随角.理由如下:当t=3时,∠AOC=3×10°=30°,∠BOD=3×15°=45°,∠COD=180°-30°-45°=105°,所以∠COD=2∠AOC+∠BOD,所以∠COD是∠AOC,∠BOD的加权伴随角.
②因为∠AOC=(10t)°,∠BOD=(15t)°,且∠AOC=2∠COD,所以当∠COD=180°-(25t)°时,10t=2(180-25t),解得t=6;当∠COD=(25t)°-180°时,10t=2(25t-180),解得t=9.综上,t=6或t=9.
③$t=\frac{72}{11}$或t=8. 解析:如图①,当0＜t＜7.2或t=7.2时,∠AOC=(10t)°,∠BOD=(15t)°,所以∠COD=180°-(25t)°.若∠BOD=2∠AOC+∠COD,则15t=2×10t+180-25t,解得t=9＞7.2,舍去;若∠BOD=2∠COD+∠AOC,则15t=2(180-25t)+10t,解得$t=\frac{72}{11}$;
如图②,当7.2＜t＜12时,∠AOC=(10t)°,∠BOD=(15t)°,所以∠COD=(25t)°-180°,此时∠BOD＞∠COD,若∠BOD=2∠COD+∠AOC,则15t=2(25t-180)+10t,解得t=8;若∠BOD=2∠AOC+∠COD,则15t=2×10t+(25t-180),解得t=6＜7.2,舍去.
综上,$t=\frac{72}{11}$或t=8.
