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练习9
天气
一、选择题
1. 已知两个正方形边长的和是20 cm，它们面积的差为40 cm²，则这两个正方形中较小正方形的边长为 （
A. 18 cm
B. 11 cm
C. 9 cm
D. 8 cm
(1) 求m,n的值；
(2) 求$(m+n)(m^2 - mn + n^2)$的值.
7. 数形结合是数学学习的一种重要的思想
天气
一、选择题
1. 已知两个正方形边长的和是20 cm，它们面积的差为40 cm²，则这两个正方形中较小正方形的边长为 （
C
）A. 18 cm
B. 11 cm
C. 9 cm
D. 8 cm
(1) 求m,n的值；
(2) 求$(m+n)(m^2 - mn + n^2)$的值.
7. 数形结合是数学学习的一种重要的思想
答案
1.C
2. 把一块边长为 $ a \, \mathrm{m} $ ($ a＞5 $)的正方形土地的一边增加 5 m，相邻的另一边减少5 m，变成一块长方形土地. 你觉得土地的面积 （
A.没有变化
B.变大了
C.变小了
D.无法确定
C
）A.没有变化
B.变大了
C.变小了
D.无法确定
答案
2.C
3. 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“$(x+15)(x-●)$”时，得到了各不相同的四个结果:甲是$x^2 - 120x - 2025$；乙是$x^2 + 120x - 2025$；丙是$x^2 - 160x + 2025$；丁是$x^2 + 160x + 2025$.已知四位同学中只有1人计算正确，且“●”处的数字是正数.计算结果正确的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
3.A
4. 若$(x-1)^2=2$，则$x^2-2x+5=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
4.6
5. 阅读以下内容：$(x-1)(x+1)=x^2-1$，
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$，$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$，$···$. 根据这一规律，计算：$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2026}=$______.
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$，$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$，$···$. 根据这一规律，计算：$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2026}=$______.
答案
5.$2^{2027}-1$
6. 已知$(x^3 + mx + n)(x^2 - 3x + 4)$的展开式中不含$x^3$和$x^2$项.
答案
6.（1）$(x^3+mx+n)(x^2-3x+4)=x^5-3x^4+4x^3+mx^3-3mx^2+4mx+nx^2-3nx+4n=x^5-3x^4+(4+m)x^3+(n-3m)x^2+(4m-3n)x+4n$，因为展开式中不含$x^3$和$x^2$项，所以$4+m=0,n-3m=0$，所以$m=-4,n=-12$。
（2）$(m+n)(m^2-mn+n^2)=m^3-m^2n+mn^2+m^2n-mn^2+n^3=m^3+n^3$，由（1）得$m=-4,n=-12$，所以原式$=(-4)^3+(-12)^3=-64-1728=-1792$。
（2）$(m+n)(m^2-mn+n^2)=m^3-m^2n+mn^2+m^2n-mn^2+n^3=m^3+n^3$，由（1）得$m=-4,n=-12$，所以原式$=(-4)^3+(-12)^3=-64-1728=-1792$。
7. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图①阴影部分的面积能解释的乘法公式：
（2）用4个全等的长和宽分别为$a,b$的长方形拼摆成一个如图②的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的等量关系：
（3）若$2m+3n=5,mn=1$，求$2m-3n$的值；
（4）如图③，正方形$ABCD$和正方形$EFGH$的边长分别为$m,n(m＞n)$，若$m+n=6,mn=3$，$E$是$AB$的中点，求阴影部分面积的和.
（1）根据图中条件，请写出图①阴影部分的面积能解释的乘法公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
；（2）用4个全等的长和宽分别为$a,b$的长方形拼摆成一个如图②的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的等量关系：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
；（3）若$2m+3n=5,mn=1$，求$2m-3n$的值；
（4）如图③，正方形$ABCD$和正方形$EFGH$的边长分别为$m,n(m＞n)$，若$m+n=6,mn=3$，$E$是$AB$的中点，求阴影部分面积的和.
答案
7.（1）由题图①可知$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$，$S_{\mathrm{组成大正方形的四部分的面积之和}}=a^2+b^2+2ab$。因为$S_{\mathrm{大正方形}}=S_{\mathrm{组成大正方形的四部分的面积之和}}$，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，故答案为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
（2）由题图②可知$S_{\mathrm{四个长方形}}=4ab$，$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$，$S_{\mathrm{小正方形}}=(a-b)^2$。因为$S_{\mathrm{大正方形}}=S_{\mathrm{小正方形}}+S_{\mathrm{四个长方形}}$，即$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，故答案为$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
（3）由题意得$(2m-3n)^2=(2m+3n)^2-24mn$，因为$2m+3n=5,mn=1$，所以$(2m-3n)^2=5^2-24=1$，所以$2m-3n=\pm1$。
（4）如图，延长$HG$交$BC$于点$K$，记$△ CHK$的面积为$S_1$，矩形$GKBF$的面积为$S_2$，$△ AHE$的面积为$S_3$，$△ ACH$的面积为$S_4$。因为$E$为$AB$的中点，正方形$ABCD$的边长为$m$，正方形$EFGH$的边长为$n$，所以$S_4=S_{△ ABC}-S_1-S_2-S_{\mathrm{正方形}EFGH}-S_3=\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{2}m(m-n)-n(\dfrac{1}{2}m-n)-n^2-\dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{2}mn=\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{1}{4}mn-\dfrac{1}{2}mn+n^2-n^2-\dfrac{1}{4}mn=\dfrac{1}{4}m^2-\dfrac{1}{2}mn$。所以$S_{\mathrm{阴影}}=S_4+\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}EFGH}=\dfrac{1}{4}m^2-\dfrac{1}{2}mn+\dfrac{1}{4}n^2=\dfrac{1}{4}(m^2+n^2)-\dfrac{1}{2}mn=\dfrac{1}{4}(m+n)^2-mn$。因为$m+n=6,mn=3$，所以$S_{\mathrm{阴影}}=\dfrac{1}{4}(m+n)^2-mn=\dfrac{1}{4}×6^2-3=6$。
