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4.(常州溧阳)如图①,王叔叔买了一张可折叠的餐桌,中间是长100厘米、宽20厘米的长方形,两侧是半圆形。这张餐桌完全展开后如图②所示,桌面的面积有多大?
答案
$100×20=2000$(平方厘米) $3.14×(100÷2)^2=7850$(平方厘米) $2000+7850=9850$(平方厘米)
答:桌面的面积有9850平方厘米。
答:桌面的面积有9850平方厘米。
解析
【分析】首先观察完全展开后的桌面结构，它由中间的长方形和两侧的半圆形组成，两个相同的半圆形恰好可以拼成一个完整的圆形，因此桌面总面积就是长方形面积与整圆面积之和。解题时先明确已知条件：长方形的长是100厘米、宽是20厘米，半圆的直径和长方形的长相等，据此先分别算出长方形和圆的面积，再相加就能得到桌面总面积。
【解析】
1. 计算中间长方形的面积：
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入数据得：
$100×20=2000$（平方厘米）
2. 计算两侧半圆拼成的整圆的面积：
圆的直径等于长方形的长100厘米，因此圆的半径为$100÷2=50$厘米，根据圆的面积公式$\mathrm{面积}=π r^2$（$π$取3.14），代入数据得：
$3.14×(100÷2)^2=3.14×2500=7850$（平方厘米）
3. 计算桌面总面积：
将两部分面积相加：$2000+7850=9850$（平方厘米）
【答案】9850平方厘米
【知识点】长方形面积计算，圆的面积计算，组合图形面积计算
【点评】本题是组合图形面积的典型应用题，解题关键是将不规则的组合图形拆分为学过的规则图形，识别出两个半圆可拼接为整圆，找准圆的直径与长方形边长的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算中间长方形的面积：
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入数据得：
$100×20=2000$（平方厘米）
2. 计算两侧半圆拼成的整圆的面积：
圆的直径等于长方形的长100厘米，因此圆的半径为$100÷2=50$厘米，根据圆的面积公式$\mathrm{面积}=π r^2$（$π$取3.14），代入数据得：
$3.14×(100÷2)^2=3.14×2500=7850$（平方厘米）
3. 计算桌面总面积：
将两部分面积相加：$2000+7850=9850$（平方厘米）
【答案】9850平方厘米
【知识点】长方形面积计算，圆的面积计算，组合图形面积计算
【点评】本题是组合图形面积的典型应用题，解题关键是将不规则的组合图形拆分为学过的规则图形，识别出两个半圆可拼接为整圆，找准圆的直径与长方形边长的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】0.7
5.（徐州铜山区）周师傅最近推出了两种厚度相同、直径不同的牛肉饼，直径为20厘米的牛肉饼卖15元，直径为12厘米的牛肉饼卖8元。对于这两种大小不同的牛肉饼，明明说：“还是买大牛肉饼合算。”亮亮却说：“买小牛肉饼合算。”从数学的角度看，你认为买哪种牛肉饼更合算？请通过计算说明。（π的值取3）
答案
大牛肉饼:$3×(20÷2)^2=300$(平方厘米)
$15÷300=0.05$(元) 小牛肉饼:$3×(12÷2)^2=108$(平方厘米) $8÷108≈0.07$(元) $0.07＞0.05$
答:买大牛肉饼更合算。
解析:先分别求出两种牛肉饼的面积,再用价格除以面积可算出每平方厘米牛肉饼的价格,进而比较出哪种更合算。
$15÷300=0.05$(元) 小牛肉饼:$3×(12÷2)^2=108$(平方厘米) $8÷108≈0.07$(元) $0.07＞0.05$
答:买大牛肉饼更合算。
解析:先分别求出两种牛肉饼的面积,再用价格除以面积可算出每平方厘米牛肉饼的价格,进而比较出哪种更合算。
解析
【分析】
两种牛肉饼厚度相同，相同面积的牛肉饼分量一致，判断哪种更合算，本质是比较单位面积的牛肉饼价格，价格越低越合算。解题时第一步先根据“半径=直径÷2”求出两种牛肉饼的半径，再用圆的面积公式S=πr²分别算出两者的面积；第二步用各自的售价除以面积，得到每平方厘米牛肉饼的价格；最后比较两个价格的大小即可得出结论。
【解析】
计算大牛肉饼的相关数据：
大牛肉饼半径：$20÷2=10$（厘米）
大牛肉饼面积：$3×10^2=300$（平方厘米）
大牛肉饼每平方厘米价格：$15÷300=0.05$（元）
计算小牛肉饼的相关数据：
小牛肉饼半径：$12÷2=6$（厘米）
小牛肉饼面积：$3×6^2=108$（平方厘米）
小牛肉饼每平方厘米价格：$8÷108\approx0.07$（元）
比较单位面积价格：$0.07＞0.05$，大牛肉饼单位面积价格更低。
【答案】
买大牛肉饼更合算。
【知识点】
圆的面积计算，除法的应用，小数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景，考查圆的面积公式的实际运用，需要学生结合生活逻辑确定“合算”的判断标准，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
两种牛肉饼厚度相同，相同面积的牛肉饼分量一致，判断哪种更合算，本质是比较单位面积的牛肉饼价格，价格越低越合算。解题时第一步先根据“半径=直径÷2”求出两种牛肉饼的半径，再用圆的面积公式S=πr²分别算出两者的面积；第二步用各自的售价除以面积，得到每平方厘米牛肉饼的价格；最后比较两个价格的大小即可得出结论。
【解析】
计算大牛肉饼的相关数据：
大牛肉饼半径：$20÷2=10$（厘米）
大牛肉饼面积：$3×10^2=300$（平方厘米）
大牛肉饼每平方厘米价格：$15÷300=0.05$（元）
计算小牛肉饼的相关数据：
小牛肉饼半径：$12÷2=6$（厘米）
小牛肉饼面积：$3×6^2=108$（平方厘米）
小牛肉饼每平方厘米价格：$8÷108\approx0.07$（元）
比较单位面积价格：$0.07＞0.05$，大牛肉饼单位面积价格更低。
【答案】
买大牛肉饼更合算。
【知识点】
圆的面积计算，除法的应用，小数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景，考查圆的面积公式的实际运用，需要学生结合生活逻辑确定“合算”的判断标准，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6.（苏州太仓）如图（单位：厘米），三角形ABC是等腰直角三角形。以AB为直径作半圆；以点C为圆心，AC为半径作扇形。求涂色部分的面积。
答案
$3.14×(8÷2)^2÷2=25.12$(平方厘米)
$3.14×8^2÷(360°÷45°)=25.12$(平方厘米)
$8×8÷2=32$(平方厘米)
$25.12+25.12-32=18.24$(平方厘米)
答:涂色部分的面积是18.24平方厘米。
解析:根据题图可知,涂色部分的面积=半圆的面积+扇形的面积-三角形的面积。
$3.14×8^2÷(360°÷45°)=25.12$(平方厘米)
$8×8÷2=32$(平方厘米)
$25.12+25.12-32=18.24$(平方厘米)
答:涂色部分的面积是18.24平方厘米。
解析:根据题图可知,涂色部分的面积=半圆的面积+扇形的面积-三角形的面积。
解析
【分析】
遇到求不规则涂色部分面积的问题时，优先考虑将其转化为规则图形面积的和或差计算。首先观察图形构成：图中包含3个规则图形，分别是以AB为直径的半圆、以点C为圆心AC为半径的扇形、等腰直角三角形ABC。通过观察重叠关系可发现：半圆的面积与扇形的面积之和，刚好等于涂色部分面积加上三角形ABC的面积，因此只需分别算出三个规则图形的面积，再用半圆面积加扇形面积减去三角形面积，即可得到涂色部分的面积。
【解析】
1. 计算半圆的面积：半圆直径AB=8cm，半径为$8÷2=4$cm，半圆面积是对应圆面积的一半：
$3.14×(8÷2)^2÷2=3.14×16÷2=25.12$(平方厘米)
2. 计算扇形的面积：三角形ABC是等腰直角三角形，所以$∠ C=45°$，扇形半径AC=8cm，扇形面积是对应圆面积的$\frac{45}{360}$：
$3.14×8^2÷(360°÷45°)=3.14×64÷8=25.12$(平方厘米)
3. 计算等腰直角三角形ABC的面积，两条直角边均为8cm：
$8×8÷2=32$(平方厘米)
4. 计算涂色部分面积：
$25.12+25.12-32=18.24$(平方厘米)
【答案】
涂色部分的面积是18.24平方厘米。
【知识点】
组合图形面积计算、圆与扇形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积求解问题，核心解题思路是将未知的不规则图形面积转化为已知的规则图形面积的和差运算，解题关键是理清各图形之间的重叠关系，熟练掌握常见基础图形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
遇到求不规则涂色部分面积的问题时，优先考虑将其转化为规则图形面积的和或差计算。首先观察图形构成：图中包含3个规则图形，分别是以AB为直径的半圆、以点C为圆心AC为半径的扇形、等腰直角三角形ABC。通过观察重叠关系可发现：半圆的面积与扇形的面积之和，刚好等于涂色部分面积加上三角形ABC的面积，因此只需分别算出三个规则图形的面积，再用半圆面积加扇形面积减去三角形面积，即可得到涂色部分的面积。
【解析】
1. 计算半圆的面积：半圆直径AB=8cm，半径为$8÷2=4$cm，半圆面积是对应圆面积的一半：
$3.14×(8÷2)^2÷2=3.14×16÷2=25.12$(平方厘米)
2. 计算扇形的面积：三角形ABC是等腰直角三角形，所以$∠ C=45°$，扇形半径AC=8cm，扇形面积是对应圆面积的$\frac{45}{360}$：
$3.14×8^2÷(360°÷45°)=3.14×64÷8=25.12$(平方厘米)
3. 计算等腰直角三角形ABC的面积，两条直角边均为8cm：
$8×8÷2=32$(平方厘米)
4. 计算涂色部分面积：
$25.12+25.12-32=18.24$(平方厘米)
【答案】
涂色部分的面积是18.24平方厘米。
【知识点】
组合图形面积计算、圆与扇形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积求解问题，核心解题思路是将未知的不规则图形面积转化为已知的规则图形面积的和差运算，解题关键是理清各图形之间的重叠关系，熟练掌握常见基础图形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
7.（南京江宁区）如图，在相距12 cm的两条平行线m和n之间，有一个边长为8 cm的正方形和直径为8 cm的圆O。正方形保持不动，圆O沿直线m以每秒2 cm的速度向右平移。
（1）在平移的过程中，圆O与正方形重叠部分的面积最大是多少平方厘米？
（2）在平移的过程中，圆O与正方形有重叠部分的时间持续了多少秒？
（1）在平移的过程中，圆O与正方形重叠部分的面积最大是多少平方厘米？
（2）在平移的过程中，圆O与正方形有重叠部分的时间持续了多少秒？
答案
(1) $8÷2=4$(cm) $3.14×4^2÷2=25.12(cm^2)$
答:圆O与正方形重叠部分的面积最大是$25.12\ cm^2$。
解析:当圆O平移至如图所示的位置时,圆O与正方形重叠部分的面积最大,此时重叠部分为直径是8 cm的半圆。
(2) $8+8=16$(cm) $16÷2=8$(s)
答:圆O与正方形有重叠部分的时间持续了8 s。
解析:圆O与正方形从开始重叠到结束重叠的过程如图所示。
解析
【分析】
（1）要解决重叠面积最大的问题，首先观察图形特征：圆直径为8cm，正方形边长为8cm，圆紧贴直线m平移。当圆平移至一半进入正方形内部时，重叠部分为完整的半圆，此时重叠面积最大，只需计算该半圆的面积即可。
（2）要计算重叠的持续时间，需先确定圆从刚开始接触正方形到完全离开正方形的总移动路程：刚开始重叠时圆的右边缘与正方形左边缘重合，完全结束重叠时圆的左边缘与正方形右边缘重合，总路程等于圆的直径加正方形的边长，再根据“时间=路程÷速度”即可求出持续时间。
【解析】
（1）先求圆的半径：$ 8÷2=4(\mathrm{cm}) $
重叠面积最大时为半圆，半圆面积是圆面积的一半，代入圆面积公式$ S=π r^2 $可得：
$ 3.14×4^2÷2 = 3.14×16÷2 = 25.12(\mathrm{cm}^2) $
此时重叠部分为直径8cm的半圆，是最大的重叠面积。
（2）先算圆从开始重叠到结束重叠的总移动路程：总路程=圆的直径+正方形的边长，即$ 8+8=16(\mathrm{cm}) $
已知平移速度为每秒2cm，根据时间=路程÷速度，可得持续时间：$ 16÷2=8(\mathrm{s}) $
【答案】
(1) $8÷2=4$(cm) $3.14×4^2÷2=25.12(cm^2)$
答:圆O与正方形重叠部分的面积最大是$25.12\ cm^2$。
解析:当圆O平移至如图所示的位置时,圆O与正方形重叠部分的面积最大,此时重叠部分为直径是8 cm的半圆。
(2) $8+8=16$(cm) $16÷2=8$(s)
答:圆O与正方形有重叠部分的时间持续了8 s。
解析:圆O与正方形从开始重叠到结束重叠的过程如图所示。
【知识点】
半圆面积计算、平移的特征、行程问题公式
【点评】
本题结合了图形平移、几何面积计算和行程问题的知识点，需要先想象平移过程中重叠部分的变化，找到临界状态再进行计算，能有效提升空间想象能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要解决重叠面积最大的问题，首先观察图形特征：圆直径为8cm，正方形边长为8cm，圆紧贴直线m平移。当圆平移至一半进入正方形内部时，重叠部分为完整的半圆，此时重叠面积最大，只需计算该半圆的面积即可。
（2）要计算重叠的持续时间，需先确定圆从刚开始接触正方形到完全离开正方形的总移动路程：刚开始重叠时圆的右边缘与正方形左边缘重合，完全结束重叠时圆的左边缘与正方形右边缘重合，总路程等于圆的直径加正方形的边长，再根据“时间=路程÷速度”即可求出持续时间。
【解析】
（1）先求圆的半径：$ 8÷2=4(\mathrm{cm}) $
重叠面积最大时为半圆，半圆面积是圆面积的一半，代入圆面积公式$ S=π r^2 $可得：
$ 3.14×4^2÷2 = 3.14×16÷2 = 25.12(\mathrm{cm}^2) $
此时重叠部分为直径8cm的半圆，是最大的重叠面积。
（2）先算圆从开始重叠到结束重叠的总移动路程：总路程=圆的直径+正方形的边长，即$ 8+8=16(\mathrm{cm}) $
已知平移速度为每秒2cm，根据时间=路程÷速度，可得持续时间：$ 16÷2=8(\mathrm{s}) $
【答案】
(1) $8÷2=4$(cm) $3.14×4^2÷2=25.12(cm^2)$
答:圆O与正方形重叠部分的面积最大是$25.12\ cm^2$。
解析:当圆O平移至如图所示的位置时,圆O与正方形重叠部分的面积最大,此时重叠部分为直径是8 cm的半圆。
(2) $8+8=16$(cm) $16÷2=8$(s)
答:圆O与正方形有重叠部分的时间持续了8 s。
解析:圆O与正方形从开始重叠到结束重叠的过程如图所示。
【知识点】
半圆面积计算、平移的特征、行程问题公式
【点评】
本题结合了图形平移、几何面积计算和行程问题的知识点，需要先想象平移过程中重叠部分的变化，找到临界状态再进行计算，能有效提升空间想象能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
