登录
【典例1】求证:$(x-5)(x-1)(x-2)(x+2)+36$是一个完全平方数.
答案
证明:原式$=(x^{2}-3x-10)(x^{2}-3x+2)+36$
$=(x^{2}-3x)^{2}-8(x^{2}-3x)+16$
$=(x^{2}-3x-4)^{2}$
即原式是一个完全平方数.
$=(x^{2}-3x)^{2}-8(x^{2}-3x)+16$
$=(x^{2}-3x-4)^{2}$
即原式是一个完全平方数.
解析
【分析】要证明给定多项式是完全平方数，本质是将其因式分解为某个整式的平方形式。观察四个一次因式的常数项特征，优先对因式进行合理分组：将$(x-5)$与$(x+2)$分为一组、$(x-1)$与$(x-2)$分为另一组，两组分别相乘后可得到含相同整体“$x^2-3x$”的二次式；再把“$x^2-3x$”看作一个整体展开，最后利用完全平方公式因式分解，即可得到完全平方的形式。
【解析】
证明：先对原式分组相乘，得：
$\begin{aligned}原式&=[(x-5)(x+2)][(x-1)(x-2)]+36\\&=(x^2-3x-10)(x^2-3x+2)+36\end{aligned}$
令$t=x^2-3x$，代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=(t-10)(t+2)+36\\&=t^2-8t-20+36\\&=t^2-8t+16\\&=(t-4)^2\end{aligned}$
将$t=x^2-3x$代回，得：
$原式=(x^2-3x-4)^2$
因此原式是一个完全平方数。
【答案】
原式可分解为$\boldsymbol{(x^2-3x-4)^2}$，故是完全平方数。
【知识点】
整式乘法、整体换元、完全平方公式
【点评】
本题重点考察因式分解中的整体思想与分组技巧，通过合理分组构造相同整体可大幅简化运算，避免盲目展开高次多项式，熟练掌握分组规律和乘法公式是解题的核心。
【难度系数】
0.6
【解析】
证明：先对原式分组相乘，得：
$\begin{aligned}原式&=[(x-5)(x+2)][(x-1)(x-2)]+36\\&=(x^2-3x-10)(x^2-3x+2)+36\end{aligned}$
令$t=x^2-3x$，代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=(t-10)(t+2)+36\\&=t^2-8t-20+36\\&=t^2-8t+16\\&=(t-4)^2\end{aligned}$
将$t=x^2-3x$代回，得：
$原式=(x^2-3x-4)^2$
因此原式是一个完全平方数。
【答案】
原式可分解为$\boldsymbol{(x^2-3x-4)^2}$，故是完全平方数。
【知识点】
整式乘法、整体换元、完全平方公式
【点评】
本题重点考察因式分解中的整体思想与分组技巧，通过合理分组构造相同整体可大幅简化运算，避免盲目展开高次多项式，熟练掌握分组规律和乘法公式是解题的核心。
【难度系数】
0.6
变式1.若$2024×2025×2026×2027+1=(1+x)^2$,则$x$的值为
4102648
.答案
解:设$2024=m$,则
$m(m+1)(m+2)(m+3)+1$
$=(m^{2}+3m)(m^{2}+3m+2)+1$
$=(m^{2}+3m)^{2}+2(m^{2}+3m)+1$
$=(m^{2}+3m+1)^{2}$
$\therefore x=m^{2}+3m =m(m+3)$
$=2024×2027=4102648.$
$m(m+1)(m+2)(m+3)+1$
$=(m^{2}+3m)(m^{2}+3m+2)+1$
$=(m^{2}+3m)^{2}+2(m^{2}+3m)+1$
$=(m^{2}+3m+1)^{2}$
$\therefore x=m^{2}+3m =m(m+3)$
$=2024×2027=4102648.$
解析
【分析】
首先观察等式左边是4个连续整数的乘积加1，直接计算数值过大，因此考虑用换元法简化运算：设最小的数2024为m，将其余三个数用含m的代数式表示，再对四个因式两两分组，使得分组相乘后得到含有相同整式的式子，将该整式看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，最后将因式分解的结果与等式右边的完全平方形式对应，即可求出x的值。
【解析】
设$2024=m$，则$2025=m+1$，$2026=m+2$，$2027=m+3$，代入等式左边得：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=m(m+1)(m+2)(m+3)+1\\&=[m(m+3)][(m+1)(m+2)]+1\\&=(m^2+3m)(m^2+3m+2)+1\end{aligned}$
将$m^2+3m$看作整体，展开后因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(m^2+3m)^2+2(m^2+3m)+1\\&=(m^2+3m+1)^2\end{aligned}$
已知左边$=(1+x)^2$，因此$(m^2+3m+1)^2=(1+x)^2$，由于两边均为非负数，结合题意取正根可得：
$1+x=m^2+3m+1$
化简得$x=m^2+3m=m(m+3)$，将$m=2024$代入计算：
$x=2024×2027=4102648$
【答案】
$4102648$
【知识点】
换元法、完全平方公式因式分解、整式乘法
【点评】
本题是因式分解简化大数运算的典型题型，核心是通过换元将复杂的大数运算转化为整式运算，解题关键是对四个连续整数的乘积合理分组，凑出完全平方的结构，能够有效降低计算量，考查学生对整式变形的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
首先观察等式左边是4个连续整数的乘积加1，直接计算数值过大，因此考虑用换元法简化运算：设最小的数2024为m，将其余三个数用含m的代数式表示，再对四个因式两两分组，使得分组相乘后得到含有相同整式的式子，将该整式看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，最后将因式分解的结果与等式右边的完全平方形式对应，即可求出x的值。
【解析】
设$2024=m$，则$2025=m+1$，$2026=m+2$，$2027=m+3$，代入等式左边得：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=m(m+1)(m+2)(m+3)+1\\&=[m(m+3)][(m+1)(m+2)]+1\\&=(m^2+3m)(m^2+3m+2)+1\end{aligned}$
将$m^2+3m$看作整体，展开后因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(m^2+3m)^2+2(m^2+3m)+1\\&=(m^2+3m+1)^2\end{aligned}$
已知左边$=(1+x)^2$，因此$(m^2+3m+1)^2=(1+x)^2$，由于两边均为非负数，结合题意取正根可得：
$1+x=m^2+3m+1$
化简得$x=m^2+3m=m(m+3)$，将$m=2024$代入计算：
$x=2024×2027=4102648$
【答案】
$4102648$
【知识点】
换元法、完全平方公式因式分解、整式乘法
【点评】
本题是因式分解简化大数运算的典型题型，核心是通过换元将复杂的大数运算转化为整式运算，解题关键是对四个连续整数的乘积合理分组，凑出完全平方的结构，能够有效降低计算量，考查学生对整式变形的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
变式2.求证:$2026^2 + 2026^2 × 2027^2 + 2027^2$是一个完全平方数.
答案
证明:设$2026=x,2027=y$,
$y-x=1$,
$\therefore (y-x)^{2}=1$,
$y^{2}+x^{2}-2xy=1$,
$\therefore 原式=x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}$
$=x^{2}y^{2}+2xy+1$
$=(xy+1)^{2}$
$=(2026×2027+1)^{2}.$
$\therefore$原式是一个完全平方数.
$y-x=1$,
$\therefore (y-x)^{2}=1$,
$y^{2}+x^{2}-2xy=1$,
$\therefore 原式=x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}$
$=x^{2}y^{2}+2xy+1$
$=(xy+1)^{2}$
$=(2026×2027+1)^{2}.$
$\therefore$原式是一个完全平方数.
解析
【分析】
本题直接计算大数平方的运算量极大，因此优先采用换元法简化运算：设2026为x，2027为y，易得两数差为1即$y-x=1$。将原式转化为含x、y的代数式后，利用$y-x=1$变形得到的$x^2+y^2=2xy+1$代入原式，整理后可凑出完全平方公式的结构，即可证明原式为完全平方数。
【解析】
证明：设$2026=x$，$2027=y$，则$y-x=1$。
对$y-x=1$两边平方得：
$(y-x)^2=1$，展开得$x^2+y^2-2xy=1$，即$x^2+y^2=2xy+1$。
将上式代入原式：
$\begin{aligned}原式&=x^2 + x^2y^2 + y^2\\&=x^2y^2+(x^2+y^2)\\&=x^2y^2+2xy+1\\&=(xy+1)^2\end{aligned}$
代回$x=2026,y=2027$得：原式$=(2026×2027+1)^2$，因此原式是完全平方数。
【答案】
原式$=(2026×2027+1)^2$，是完全平方数，得证。
【知识点】
换元法，完全平方公式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解在大数运算中的典型应用，核心是通过换元将复杂的数值计算转化为代数式变形，抓住两个连续整数差为1的特征，结合完全平方公式凑出完全平方式，有效简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
本题直接计算大数平方的运算量极大，因此优先采用换元法简化运算：设2026为x，2027为y，易得两数差为1即$y-x=1$。将原式转化为含x、y的代数式后，利用$y-x=1$变形得到的$x^2+y^2=2xy+1$代入原式，整理后可凑出完全平方公式的结构，即可证明原式为完全平方数。
【解析】
证明：设$2026=x$，$2027=y$，则$y-x=1$。
对$y-x=1$两边平方得：
$(y-x)^2=1$，展开得$x^2+y^2-2xy=1$，即$x^2+y^2=2xy+1$。
将上式代入原式：
$\begin{aligned}原式&=x^2 + x^2y^2 + y^2\\&=x^2y^2+(x^2+y^2)\\&=x^2y^2+2xy+1\\&=(xy+1)^2\end{aligned}$
代回$x=2026,y=2027$得：原式$=(2026×2027+1)^2$，因此原式是完全平方数。
【答案】
原式$=(2026×2027+1)^2$，是完全平方数，得证。
【知识点】
换元法，完全平方公式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解在大数运算中的典型应用，核心是通过换元将复杂的数值计算转化为代数式变形，抓住两个连续整数差为1的特征，结合完全平方公式凑出完全平方式，有效简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
变式3.用科学记数法表示$9999×9999+19999.$
答案
解:原式$=9999^{2}+9999×2+1$
$=(9999+1)^{2}=10^{8}.$
$=(9999+1)^{2}=10^{8}.$
解析
【分析】
本题如果直接计算9999×9999的话计算量较大，容易出错，因此优先考虑用因式分解简化运算。首先观察式子结构，前项是9999²，我们可以将19999拆分为2×9999+1，此时原式刚好符合完全平方和公式的结构，套用公式即可快速算出结果，再转化为科学记数法即可。
【解析】
解：先对原式变形，拆分常数项19999：
原式$=9999^2 + 2×9999 + 1$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=9999$，$b=1$，代入得：
原式$=(9999+1)^2=10000^2$
又因为$10000=10^4$，所以$10000^2=(10^4)^2=10^8$，满足科学记数法的表示要求。
【答案】
$10^8$
【知识点】
完全平方公式、因式分解的应用、科学记数法
【点评】
本题是因式分解简化大数运算的典型题型，解题关键是观察式子特征，合理拆分常数项构造完全平方公式，规避了繁琐的大数乘法计算，同时考查了科学记数法的表示规则。
【难度系数】
0.7
本题如果直接计算9999×9999的话计算量较大，容易出错，因此优先考虑用因式分解简化运算。首先观察式子结构，前项是9999²，我们可以将19999拆分为2×9999+1，此时原式刚好符合完全平方和公式的结构，套用公式即可快速算出结果，再转化为科学记数法即可。
【解析】
解：先对原式变形，拆分常数项19999：
原式$=9999^2 + 2×9999 + 1$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=9999$，$b=1$，代入得：
原式$=(9999+1)^2=10000^2$
又因为$10000=10^4$，所以$10000^2=(10^4)^2=10^8$，满足科学记数法的表示要求。
【答案】
$10^8$
【知识点】
完全平方公式、因式分解的应用、科学记数法
【点评】
本题是因式分解简化大数运算的典型题型，解题关键是观察式子特征，合理拆分常数项构造完全平方公式，规避了繁琐的大数乘法计算，同时考查了科学记数法的表示规则。
【难度系数】
0.7
变式4.计算：$101 × 102^2 - 101 × 98^2 = (\quad)$
A.404
B.808
C.40400
D.80800
A.404
B.808
C.40400
D.80800
答案
4.D
解:$101×102^{2}-101×98^{2}$
$=101×(102^{2}-98^{2})$
$=101×200×4$
$=80800$
解:$101×102^{2}-101×98^{2}$
$=101×(102^{2}-98^{2})$
$=101×200×4$
$=80800$
解析
【分析】
观察算式可知，两项都含有公因式101，因此第一步可先提取公因式101，将原式转化为$101×(102^2 - 98^2)$；此时括号内是两个数的平方差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，第二步利用平方差公式对括号内的部分因式分解，将高次的平方运算转化为低次的加减、乘法运算，降低计算难度；最后按运算顺序计算乘积即可得到结果。
【解析】
解：$101 × 102^2 - 101 × 98^2$
$= 101×(102^2 - 98^2)$
$= 101×(102+98)×(102-98)$
$= 101×200×4$
$= 101×800$
$= 80800$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，通过先提公因式再套用平方差公式的方式，避免了直接计算大数的平方，大幅简化了计算过程，减少计算失误的可能。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，两项都含有公因式101，因此第一步可先提取公因式101，将原式转化为$101×(102^2 - 98^2)$；此时括号内是两个数的平方差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，第二步利用平方差公式对括号内的部分因式分解，将高次的平方运算转化为低次的加减、乘法运算，降低计算难度；最后按运算顺序计算乘积即可得到结果。
【解析】
解：$101 × 102^2 - 101 × 98^2$
$= 101×(102^2 - 98^2)$
$= 101×(102+98)×(102-98)$
$= 101×200×4$
$= 101×800$
$= 80800$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，通过先提公因式再套用平方差公式的方式，避免了直接计算大数的平方，大幅简化了计算过程，减少计算失误的可能。
【难度系数】
0.8
【典例2】已知$4^{96} -1$可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（
A.61,63
B.63,65
C.65,67
D.63,64
B
）A.61,63
B.63,65
C.65,67
D.63,64
答案
【典例2】B
解:$4^{96}-1=(4^{48}+1)(4^{48}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{24}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{6}+1)(4^{3}+1)(4^{3}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{6}+1)×65×63.$
解:$4^{96}-1=(4^{48}+1)(4^{48}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{24}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{6}+1)(4^{3}+1)(4^{3}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{6}+1)×65×63.$
解析
【分析】
要解决大数的整除问题，可通过因式分解将大数拆分为多个因数相乘的形式，再从中筛选出60到70之间的因数即可。观察式子$4^{96}-1$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构（其中$a=4^{48}$，$b=1$），因此可以反复运用平方差公式对原式分解，直到得到符合取值范围的因数。
【解析】
利用平方差公式逐步分解$4^{96}-1$：
$\begin{aligned}4^{96}-1&=(4^{48}+1)(4^{48}-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{24}-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{12}-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^6+1)(4^6-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^6+1)(4^3+1)(4^3-1)\end{aligned}$
计算最后两个因式：$4^3+1=64+1=65$，$4^3-1=64-1=63$，两个数均在60到70之间，符合要求。
【答案】B
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解在大数运算中的典型应用，解题核心是准确识别多项式的平方差结构，通过多次运用平方差公式拆分原式，即可快速定位到符合条件的因数。
【难度系数】
0.7
要解决大数的整除问题，可通过因式分解将大数拆分为多个因数相乘的形式，再从中筛选出60到70之间的因数即可。观察式子$4^{96}-1$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构（其中$a=4^{48}$，$b=1$），因此可以反复运用平方差公式对原式分解，直到得到符合取值范围的因数。
【解析】
利用平方差公式逐步分解$4^{96}-1$：
$\begin{aligned}4^{96}-1&=(4^{48}+1)(4^{48}-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{24}-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{12}-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^6+1)(4^6-1)\\&=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^6+1)(4^3+1)(4^3-1)\end{aligned}$
计算最后两个因式：$4^3+1=64+1=65$，$4^3-1=64-1=63$，两个数均在60到70之间，符合要求。
【答案】B
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解在大数运算中的典型应用，解题核心是准确识别多项式的平方差结构，通过多次运用平方差公式拆分原式，即可快速定位到符合条件的因数。
【难度系数】
0.7
变式.求证:$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除.
答案
证明:原式$=(3^{4})^{7}-(3^{3})^{9}-(3^{2})^{13}$
$=3^{28}-3^{27}-3^{26}$
$=3^{26}×(9-3-1)$
$=5×3^{26}$
$=5×3^{2}×3^{24}$
$=45×3^{24}$
故$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除.
$=3^{28}-3^{27}-3^{26}$
$=3^{26}×(9-3-1)$
$=5×3^{26}$
$=5×3^{2}×3^{24}$
$=45×3^{24}$
故$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除.
解析
【分析】
要证明该式能被45整除，只需将原式变形为45与某个整数的乘积形式即可。首先观察到式中底数81、27、9均为3的整数次幂，因此第一步先将各项统一为以3为底的幂，再提取公因式化简，最后判断化简结果是否含有因数45。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}原式&=(3^{4})^{7}-(3^{3})^{9}-(3^{2})^{13} \\&=3^{28}-3^{27}-3^{26} \\&=3^{26}×(9-3-1) \\&=5×3^{26} \\&=5×3^2×3^{24} \\&=45×3^{24}\end{aligned}$
因为$3^{24}$是正整数，所以$81^{7}-27^{9}-9^{13}$是45的正整数倍，能被45整除。
【答案】
$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除，得证。
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 提取公因式因式分解
3. 整除判定
【点评】
本题是因式分解在大数整除问题中的典型应用，解题核心是通过统一底数、提取公因式将原式变形，构造出除数对应的因数，方法常规，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要证明该式能被45整除，只需将原式变形为45与某个整数的乘积形式即可。首先观察到式中底数81、27、9均为3的整数次幂，因此第一步先将各项统一为以3为底的幂，再提取公因式化简，最后判断化简结果是否含有因数45。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}原式&=(3^{4})^{7}-(3^{3})^{9}-(3^{2})^{13} \\&=3^{28}-3^{27}-3^{26} \\&=3^{26}×(9-3-1) \\&=5×3^{26} \\&=5×3^2×3^{24} \\&=45×3^{24}\end{aligned}$
因为$3^{24}$是正整数，所以$81^{7}-27^{9}-9^{13}$是45的正整数倍，能被45整除。
【答案】
$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除，得证。
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 提取公因式因式分解
3. 整除判定
【点评】
本题是因式分解在大数整除问题中的典型应用，解题核心是通过统一底数、提取公因式将原式变形，构造出除数对应的因数，方法常规，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
