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【典例1】已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 - 2ab + b^2 = ac - bc$，判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
解:$\because a^{2}-2ab+b^{2}=ac-bc$,
$\therefore (a-b)^{2}=c(a-b)$,
$\therefore (a-b)^{2}-c(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(a-b-c)=0$,
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,
$\therefore a-b-c≠0,\therefore a-b=0,\therefore a=b$,
$\therefore △ ABC$为等腰三角形.
$\therefore (a-b)^{2}=c(a-b)$,
$\therefore (a-b)^{2}-c(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(a-b-c)=0$,
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,
$\therefore a-b-c≠0,\therefore a-b=0,\therefore a=b$,
$\therefore △ ABC$为等腰三角形.
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构，左边$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式的形式，可变形为$(a-b)^2$；右边$ac-bc$有公因式$c$，提取公因式后可化为$c(a-b)$。将变形后的式子移项，再提取公因式$(a-b)$，即可得到两个因式乘积为0的形式。再结合三角形三边关系的隐含条件，判断其中一个因式不为0，因此只能另一个因式为0，进而得到边的等量关系，判断三角形的形状。
【解析】
$\because a^{2}-2ab+b^{2}=ac-bc$,
$\therefore (a-b)^{2}=c(a-b)$,
$\therefore (a-b)^{2}-c(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(a-b-c)=0$,
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,
$\therefore a-b-c≠0,\therefore a-b=0,\therefore a=b$,
$\therefore △ ABC$为等腰三角形.
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
完全平方公式，因式分解，三角形三边关系
【点评】
本题结合代数变形与几何性质考查三角形形状的判断，解题时需注意不能直接在等式两边同时除以含未知数的整式，要通过移项因式分解，结合三角形三边的隐含条件排除不合题意的情况，才能得到正确结论。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式的结构，左边$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式的形式，可变形为$(a-b)^2$；右边$ac-bc$有公因式$c$，提取公因式后可化为$c(a-b)$。将变形后的式子移项，再提取公因式$(a-b)$，即可得到两个因式乘积为0的形式。再结合三角形三边关系的隐含条件，判断其中一个因式不为0，因此只能另一个因式为0，进而得到边的等量关系，判断三角形的形状。
【解析】
$\because a^{2}-2ab+b^{2}=ac-bc$,
$\therefore (a-b)^{2}=c(a-b)$,
$\therefore (a-b)^{2}-c(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(a-b-c)=0$,
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,
$\therefore a-b-c≠0,\therefore a-b=0,\therefore a=b$,
$\therefore △ ABC$为等腰三角形.
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
完全平方公式，因式分解，三角形三边关系
【点评】
本题结合代数变形与几何性质考查三角形形状的判断，解题时需注意不能直接在等式两边同时除以含未知数的整式，要通过移项因式分解，结合三角形三边的隐含条件排除不合题意的情况，才能得到正确结论。
【难度系数】
0.7
变式.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边的长,且满足$a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c)=0$,判断此三角形的形状.
答案
解:$a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc=0$,
$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$,
$\therefore a=b=c$,
$\therefore$ 此三角形为等边三角形.
$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$,
$\therefore a=b=c$,
$\therefore$ 此三角形为等边三角形.
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先明确三边a、b、c的数量关系。首先对给出的等式左边的代数式进行拆项、重新分组，结合完全平方公式将式子转化为两个平方和的形式，再利用非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可推导出三边的等量关系，进而判断三角形的形状。
【解析】
先对已知等式变形：
$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 + c^2 - 2bc = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，说明两个平方项均为0
∴$a-b=0$，$b-c=0$
即$a=b$，$b=c$，可得$a=b=c$
∴此三角形为等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 非负数的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解与三角形判定的基础综合题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对代数式拆项配方，再结合非负数的性质得到三边的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的形状，需先明确三边a、b、c的数量关系。首先对给出的等式左边的代数式进行拆项、重新分组，结合完全平方公式将式子转化为两个平方和的形式，再利用非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可推导出三边的等量关系，进而判断三角形的形状。
【解析】
先对已知等式变形：
$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 + c^2 - 2bc = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，说明两个平方项均为0
∴$a-b=0$，$b-c=0$
即$a=b$，$b=c$，可得$a=b=c$
∴此三角形为等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 非负数的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解与三角形判定的基础综合题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对代数式拆项配方，再结合非负数的性质得到三边的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
【典例2】如果$a,b,c$是$△ ABC$三边的长，比较$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$与$0$的大小.
答案
解:$\because a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$
$=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}$
$=(a-c)^{2}-b^{2}$
$=(a-c+b)(a-c-b)$
$\because a+b＞c,a＜b+c$,
$\therefore a-c+b＞0,a-c-b＜0$,
$\therefore a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac＜0$.
$=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}$
$=(a-c)^{2}-b^{2}$
$=(a-c+b)(a-c-b)$
$\because a+b＞c,a＜b+c$,
$\therefore a-c+b＞0,a-c-b＜0$,
$\therefore a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac＜0$.
解析
【分析】
要比较代数式与0的大小，可先将代数式因式分解，再结合三角形三边的性质判断各因式的正负，进而确定代数式的符号。第一步先对代数式分组，把含a、c的项凑成完全平方形式，再和$-b^2$组成平方差结构，将代数式分解为两个一次因式的乘积；第二步根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，判断两个因式的正负；最后根据乘法的符号法则确定代数式的符号，完成大小比较。
【解析】
解：先对代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac&=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}\\&=(a-c)^{2}-b^{2}\\&=(a-c+b)(a-c-b)\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC三边的长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边
∴$a+b＞c$，即$a-c+b＞0$；
同时$a＜b+c$，移项可得$a-c-b＜0$；
根据“异号两数相乘得负”，可得：
$(a-c+b)(a-c-b)＜0$
【答案】
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$
【知识点】
因式分解，乘法公式，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是通过因式分解将多项式转化为因式乘积的形式，再结合三角形三边性质判断符号，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要比较代数式与0的大小，可先将代数式因式分解，再结合三角形三边的性质判断各因式的正负，进而确定代数式的符号。第一步先对代数式分组，把含a、c的项凑成完全平方形式，再和$-b^2$组成平方差结构，将代数式分解为两个一次因式的乘积；第二步根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，判断两个因式的正负；最后根据乘法的符号法则确定代数式的符号，完成大小比较。
【解析】
解：先对代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac&=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}\\&=(a-c)^{2}-b^{2}\\&=(a-c+b)(a-c-b)\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC三边的长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边
∴$a+b＞c$，即$a-c+b＞0$；
同时$a＜b+c$，移项可得$a-c-b＜0$；
根据“异号两数相乘得负”，可得：
$(a-c+b)(a-c-b)＜0$
【答案】
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$
【知识点】
因式分解，乘法公式，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是通过因式分解将多项式转化为因式乘积的形式，再结合三角形三边性质判断符号，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
【典例3】如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且$a＞b$.
(1)观察图形，可以发现代数式$2a^2 + 5ab + 2b^2$可以因式分解为________；
(2)若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.
(1)观察图形，可以发现代数式$2a^2 + 5ab + 2b^2$可以因式分解为________；
(2)若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.
答案
(1)$(a+2b)(2a+b)$;
(2)由已知得$\begin{cases}2(a^{2}+b^{2})=242\\6a+6b=78\end{cases}$,
化简得$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=121&①\\a+b=13&②\end{cases}$,
$\therefore ②^{2}-①$得$2ab=48$,
$\therefore ab=24,S_{白}=5ab=120(\mathrm{cm}^{2})$.
答:图中空白部分的面积为$120\ \mathrm{cm}^{2}$.
(2)由已知得$\begin{cases}2(a^{2}+b^{2})=242\\6a+6b=78\end{cases}$,
化简得$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=121&①\\a+b=13&②\end{cases}$,
$\therefore ②^{2}-①$得$2ab=48$,
$\therefore ab=24,S_{白}=5ab=120(\mathrm{cm}^{2})$.
答:图中空白部分的面积为$120\ \mathrm{cm}^{2}$.
解析
【分析】
(1) 采用面积法解题：大长方形的面积既等于所有裁剪块的面积之和，也就是代数式$2a^2 + 5ab + 2b^2$，也等于大长方形长与宽的乘积。先观察得大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，两者相乘的结果和代数式相等，即可得到因式分解的结果。
(2) 先找等量关系：阴影部分是2个边长为a的正方形和2个边长为b的正方形，因此阴影面积可表示为$2(a^2+b^2)$，结合已知阴影面积可列第一个等式；再计算大长方形的周长，长为$2a+b$，宽为$a+2b$，周长为$2×(长+宽)$，结合已知周长可列第二个等式。化简后利用完全平方公式的变形求出$ab$的值，空白部分是5个长a宽b的小长方形，面积为$5ab$，代入即可求出结果。
【解析】
(1) 大长方形的长为$a+a+b=2a+b$，宽为$a+b+b=a+2b$，
根据大长方形面积等于各部分面积之和，可得：
$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 解：根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(a^2+b^2)=242\\2[(2a+b)+(a+2b)]=78\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a^2 + b^2 =121 \quad ①\\a + b =13 \quad \quad \quad ②\end{cases}$
将②两边平方得：$(a+b)^2=13^2$，即$a^2 + 2ab + b^2=169$ ③
用③减去①得：$2ab=169-121=48$，解得$ab=24$
空白部分为5个长a、宽b的小长方形，因此空白面积：
$S_{空白}=5ab=5×24=120\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $(a+2b)(2a+b)$；
(2) $120\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
因式分解的应用，完全平方公式，数形结合求面积
【点评】
本题将代数运算与几何图形的周长、面积计算结合，考查了因式分解的几何意义和完全平方公式的变形应用，解题核心是从图形中准确提取边长、面积的对应等量关系，利用代数运算求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
(1) 采用面积法解题：大长方形的面积既等于所有裁剪块的面积之和，也就是代数式$2a^2 + 5ab + 2b^2$，也等于大长方形长与宽的乘积。先观察得大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，两者相乘的结果和代数式相等，即可得到因式分解的结果。
(2) 先找等量关系：阴影部分是2个边长为a的正方形和2个边长为b的正方形，因此阴影面积可表示为$2(a^2+b^2)$，结合已知阴影面积可列第一个等式；再计算大长方形的周长，长为$2a+b$，宽为$a+2b$，周长为$2×(长+宽)$，结合已知周长可列第二个等式。化简后利用完全平方公式的变形求出$ab$的值，空白部分是5个长a宽b的小长方形，面积为$5ab$，代入即可求出结果。
【解析】
(1) 大长方形的长为$a+a+b=2a+b$，宽为$a+b+b=a+2b$，
根据大长方形面积等于各部分面积之和，可得：
$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 解：根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(a^2+b^2)=242\\2[(2a+b)+(a+2b)]=78\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a^2 + b^2 =121 \quad ①\\a + b =13 \quad \quad \quad ②\end{cases}$
将②两边平方得：$(a+b)^2=13^2$，即$a^2 + 2ab + b^2=169$ ③
用③减去①得：$2ab=169-121=48$，解得$ab=24$
空白部分为5个长a、宽b的小长方形，因此空白面积：
$S_{空白}=5ab=5×24=120\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $(a+2b)(2a+b)$；
(2) $120\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
因式分解的应用，完全平方公式，数形结合求面积
【点评】
本题将代数运算与几何图形的周长、面积计算结合，考查了因式分解的几何意义和完全平方公式的变形应用，解题核心是从图形中准确提取边长、面积的对应等量关系，利用代数运算求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
变式.4张如图1长为$a$，宽为$b(a＞b)$的长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为$S_1$，空白部分的面积为$S_2$，若$S_2=2S_1$，则$a$，$b$满足(
A.$a=\dfrac{3}{2}b$
B.$a=2b$
C.$a=\dfrac{5}{2}b$
D.$a=3b$
B
)A.$a=\dfrac{3}{2}b$
B.$a=2b$
C.$a=\dfrac{5}{2}b$
D.$a=3b$
答案
解:由图形可知,$S_{2}=(a-b)^{2}+b(a+b)+ab=a^{2}+2b^{2}$,
$S_{1}=(a+b)^{2}-S_{2}=2ab-b^{2}$,
$\because S_{2}=2S_{1}$,
$\therefore a^{2}+2b^{2}=2(2ab-b^{2})$,
$\therefore a^{2}-4ab+4b^{2}=0$,
即$(a-2b)^{2}=0,\therefore a=2b$.
$S_{1}=(a+b)^{2}-S_{2}=2ab-b^{2}$,
$\because S_{2}=2S_{1}$,
$\therefore a^{2}+2b^{2}=2(2ab-b^{2})$,
$\therefore a^{2}-4ab+4b^{2}=0$,
即$(a-2b)^{2}=0,\therefore a=2b$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：图2是边长为(a+b)的大正方形，内部由4张长方形纸片和空白、阴影部分组成。第一步先计算大正方形的总面积；第二步拆分空白部分，分别计算各空白区域的面积求和得到$S_2$；第三步用总面积减去$S_2$即可得到阴影部分面积$S_1$；第四步根据题目给出的$S_2=2S_1$的等量关系列方程，整理后利用完全平方公式因式分解，即可求出a、b的数量关系。
【解析】
解：首先计算图2大正方形的总面积：$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$
空白部分面积$S_2$由三部分组成：中间边长为$(a-b)$的小正方形、两个空白矩形，因此：
$S_{2}=(a-b)^{2}+b(a+b)+ab$
展开计算：
$\begin{aligned}S_2&=a^2-2ab+b^2+ab+b^2+ab\\&=a^{2}+2b^{2}\end{aligned}$
阴影部分面积为总面积减空白面积：
$\begin{aligned}S_{1}&=(a+b)^{2}-S_{2}\\&=a^2+2ab+b^2-(a^2+2b^2)\\&=2ab-b^{2}\end{aligned}$
根据题设$S_{2}=2S_{1}$，代入得：
$a^{2}+2b^{2}=2(2ab-b^{2})$
整理方程：
$\begin{aligned}a^{2}+2b^{2}&=4ab-2b^{2}\\a^{2}-4ab+4b^{2}&=0\end{aligned}$
利用完全平方公式因式分解得：
$(a-2b)^{2}=0$
因此$a-2b=0$，即$a=2b$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解的应用；列代数式求图形面积
【点评】
本题结合几何图形面积计算，考查了代数式运算和因式分解的实际应用，解题的核心是准确观察图形构成，正确用含a、b的代数式表示出阴影和空白部分的面积，再根据等量关系列方程化简求解，对学生的图形观察能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征：图2是边长为(a+b)的大正方形，内部由4张长方形纸片和空白、阴影部分组成。第一步先计算大正方形的总面积；第二步拆分空白部分，分别计算各空白区域的面积求和得到$S_2$；第三步用总面积减去$S_2$即可得到阴影部分面积$S_1$；第四步根据题目给出的$S_2=2S_1$的等量关系列方程，整理后利用完全平方公式因式分解，即可求出a、b的数量关系。
【解析】
解：首先计算图2大正方形的总面积：$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$
空白部分面积$S_2$由三部分组成：中间边长为$(a-b)$的小正方形、两个空白矩形，因此：
$S_{2}=(a-b)^{2}+b(a+b)+ab$
展开计算：
$\begin{aligned}S_2&=a^2-2ab+b^2+ab+b^2+ab\\&=a^{2}+2b^{2}\end{aligned}$
阴影部分面积为总面积减空白面积：
$\begin{aligned}S_{1}&=(a+b)^{2}-S_{2}\\&=a^2+2ab+b^2-(a^2+2b^2)\\&=2ab-b^{2}\end{aligned}$
根据题设$S_{2}=2S_{1}$，代入得：
$a^{2}+2b^{2}=2(2ab-b^{2})$
整理方程：
$\begin{aligned}a^{2}+2b^{2}&=4ab-2b^{2}\\a^{2}-4ab+4b^{2}&=0\end{aligned}$
利用完全平方公式因式分解得：
$(a-2b)^{2}=0$
因此$a-2b=0$，即$a=2b$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解的应用；列代数式求图形面积
【点评】
本题结合几何图形面积计算，考查了代数式运算和因式分解的实际应用，解题的核心是准确观察图形构成，正确用含a、b的代数式表示出阴影和空白部分的面积，再根据等量关系列方程化简求解，对学生的图形观察能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
