1.如图，在$△ ABC$中，高$BE$和$CH$的交点为$O$，若$AC=6$，$BE=3$，则$AB· CH$的值为。

18

【分析】
要求$AB·CH$的值，可利用三角形面积的不同表示方法求解。$△ ABC$有两组对应的底和高：以$AC$为底时，对应的高是$BE$；以$AB$为底时，对应的高是$CH$。同一个三角形的面积是固定的，因此可以通过面积相等建立等式，进而求出$AB·CH$的结果，不需要单独计算$AB$和$CH$的长度。
【解析】
∵ $BE$、$CH$分别是$△ ABC$中$AC$、$AB$边上的高，
∴ 根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE$，同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CH$，
∴ $\frac{1}{2} AB · CH = \frac{1}{2} AC · BE$，
两边同时乘2得：$AB · CH = AC · BE$，
将$AC=6$，$BE=3$代入得：$AB · CH = 6 × 3 = 18$。
【答案】
18
【知识点】
三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题采用面积法解题，利用同一三角形面积的不同表达形式建立等量关系，避免了分别求解$AB$、$CH$的繁琐过程，是几何中常用的简便计算思路。
【难度系数】
0.8

2.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为$BC$，$AD$的中点，且$S_{△ ABC}=20$，则$S_{△ ABE}=$。

5

【分析】
解题时首先回忆三角形中线的相关性质：三角形的中线可将三角形分成两个面积相等的小三角形（本质是等底同高的三角形面积相等）。本题给出两个中点，对应两条中线，我们可以先利用D是BC中点求出△ABD的面积，再利用E是AD中点求出△ABE的面积，分两步推导即可得到结果。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=20$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×20=10$。
又
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题，解题核心是掌握三角形中线平分三角形面积的性质，结合已知中点逐步推导所求三角形与原三角形的面积关系即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$上,且$CD=2BD$,则$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=$

$\frac{1}{2}$

【分析】
要计算两个三角形的面积比，首先观察△ABD和△ACD的特征：两个三角形共顶点A，底边BD、CD都在BC边上，因此它们的高相等，均为点A到BC边的垂线段长度。根据三角形面积公式，当两个三角形高相等时，面积比等于对应底边长的比，结合已知CD=2BD，即可求出面积比值。
【解析】
设点A到BC边的距离为h，即△ABD和△ACD的公共高为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × BD × h$
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × h$
因此两个三角形的面积比为：
$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2} × BD × h}{\frac{1}{2} × CD × h}=\frac{BD}{CD}$
已知$CD=2BD$，代入上式得：
$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{2BD}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形面积公式；等高三角形面积比
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题，解题的核心是识别出两个三角形等高的特征，牢记等高三角形的面积比等于对应底边长的比即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.如图,点D为△ABC的BC边上一点,点P为AD上一点,且∠MPA=∠NPA,PM//AC交AB于M,PN//AB交AC于N,求证:AD平分∠BAC.

证明:$\because PM// AC,\therefore ∠ MPA=∠ DAC$,
又$\because PN// AB,\therefore ∠ APN=∠ BAD$,
又$\because ∠ MPA=∠ NPA$,
$\therefore ∠ PAM=∠ PAN,\therefore AD$平分$∠ BAC$.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠BAD=∠CAD。结合题目给出的平行线条件，我们可以利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，把已知的∠MPA=∠NPA和待证的两个角建立联系：先由PM//AC得到∠MPA与∠DAC相等，再由PN//AB得到∠NPA与∠BAD相等，结合已知的∠MPA=∠NPA，通过等量代换就能得到∠BAD=∠CAD，进而完成证明。
【解析】
证明：
$\because PM// AC$，
$\therefore ∠ MPA=∠ DAC$（两直线平行，内错角相等），
又$\because PN// AB$，
$\therefore ∠ APN=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ MPA=∠ NPA$，
$\therefore ∠ BAD=∠ DAC$即$∠ PAM=∠ PAN$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$。
【答案】
AD平分$∠ BAC$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是利用平行线的内错角相等的性质，搭建已知等角和待证等角之间的关联，解题思路清晰，只要熟练掌握平行线性质和角平分线定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$△ ABC$中,AE,CD是$△ ABC$的两条高,$AB=4,CD=2$.
(1)请画出AE和CD; (2)求$△ ABC$的面积; (3)若$AE=3$,求BC的长.

(1)如图 ；
(2)$S_{△ABC}=4$；
(3)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC× 3=4$,
$BC=\frac{8}{3}$.

【分析】
1. 画三角形的高时，依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高，按要求画出AB边上的高CD和BC边上的高AE即可；
2. 计算三角形面积时，直接选用已知长度的底AB和对应高CD，代入三角形面积公式计算即可；
3. 求BC的长时，同一个三角形的面积固定，换用BC为底、AE为对应高表示面积，结合已求出的面积值列等式，即可求解BC的长度。
【解析】
(1) 根据三角形高的定义，过点C作$CD⊥AB$，垂足为D，过点A作$AE⊥BC$，交BC的延长线于点E，得到的线段CD、AE即为所求，如图；
(2) 已知$AB=4$，CD是AB边上的高，$CD=2$，代入三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×4×2=4$；
(3) 已知AE是BC边上的高，$AE=3$，三角形面积不变，因此：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE$
将$S_{△ABC}=4$、$AE=3$代入上式得：
$\frac{1}{2}×BC×3=4$
解得$BC=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) 如图 ；
(2)$S_{△ABC}=4$；
(3)$BC=\frac{8}{3}$
【知识点】
三角形高的定义；三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对三角形高的理解和面积公式的灵活运用，掌握同一个三角形面积相等，可通过不同底和高的组合列等式求解未知边长的方法，对解决此类问题很有帮助。
【难度系数】
0.9

6.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$DB$为$△ ABC$的中线，且$BD$将$△ ABC$的周长分为6与15两部分，则$AB$的长为。

解:设$AD=CD=x,BC=y$,
则$\begin{cases}3x=6 \\ x+y=15 \end{cases}$或$\begin{cases}3x=15, \\ x+y=6, \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2 \\ y=13 \end{cases}$或$\begin{cases}x=5, \\ y=1, \end{cases}$
$\because 4+4＜13$,故$\begin{cases}x=2 \\ y=13 \end{cases}$舍去,
$\therefore \begin{cases}x=5, \\ y=1, \end{cases}$即$AB=AC=10$.

【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，BD是中线可得AD=CD，因此AB=AC=2AD。BD将△ABC的周长分为6和15两部分，两部分分别对应AB+AD与BC+CD（不含BD的长度），因此需要分两种情况讨论：①AB+AD=6、BC+CD=15；②AB+AD=15、BC+CD=6。分别列方程组求解后，需要根据三角形三边关系验证得到的边长能否构成三角形，舍去不符合的情况，即可得到AB的长度。
【解析】
设$AD=CD=x$，$BC=y$，
∵DB为△ABC的中线，且$AB=AC$，
∴$AB=AC=2x$。
根据BD将△ABC的周长分为6与15两部分，分两种情况：
1. 当$\begin{cases}AB+AD=6 \\ BC+CD=15 \end{cases}$时，即$\begin{cases}3x=6 \\ x+y=15 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=2 \\ y=13 \end{cases}$，此时△ABC三边长为$AB=AC=4$，$BC=13$，
∵$4+4＜13$，不满足三角形三边关系，故舍去该组解；
2. 当$\begin{cases}AB+AD=15 \\ BC+CD=6 \end{cases}$时，即$\begin{cases}3x=15 \\ x+y=6 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=5 \\ y=1 \end{cases}$，此时△ABC三边长为$AB=AC=10$，$BC=1$，
∵$10+1＞10$、$10+10＞1$，满足三角形三边关系，符合题意。
综上可得AB的长为10。
【答案】
$10$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形中线定义；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形与中线结合的典型题型，解题核心是明确周长被分割的两部分对应的边长和，解题时要注意分类讨论思想的运用，得到边长后务必验证是否符合三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

7.(中考热点)用无刻度直尺作图.如图,A,B在格点上.
(1)在图1,图2中作△ABC,点C在格点上使$S_{△ ABC}=6$;
(2)如图3,作四边形ABCD,使其面积为12;
(3)如图4,A,B为格点,作△ABC,使$S_{△ ABC}=1$,格点C共有个.

如图所示
(3)5

【分析】
(1) 作面积为6的△ABC，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可知底和高的乘积为12，结合网格边长为1的特点，找到满足底高乘积为12的格点C即可。
(2) 作面积为12的四边形，可构造平行四边形（平行四边形面积为底×高，12刚好是面积为6的三角形的2倍，也可由两个满足面积为6的三角形拼接得到），找到对应格点D即可。
(3) 要使△ABC面积为1，即底与高的乘积为2，利用“同底等高的三角形面积相等”，作AB的平行线，找到所有到AB距离符合要求的格点，计数即可。
【解析】
(1) 图1、图2中，结合网格特征，选取合适的底和高，找到格点C，使得△ABC的底×高=12，即可满足面积为6，作图见答案对应图。
(2) 图3中，构造平行四边形ABCD，平行四边形面积=底×高=12，或拼接两个面积为6的三角形，得到符合要求的四边形，作图见答案对应图。
(3) 图4中，要使$S_{△ ABC}=1$，即点C到直线AB的距离满足高的要求，作AB的平行线，找到所有在网格内到AB距离符合要求的格点，逐一计数得共5个。
【答案】

(3)5
【知识点】
三角形面积计算，网格作图，平行线的性质
【点评】
本题属于网格作图类的常考题，需要灵活运用面积公式和平行线的性质，结合网格的特点寻找符合要求的点，能有效锻炼动手作图能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.6