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【典例1】如图，△ABC中，D为BC的中点.AB=5,AC=3,则AD的取值范围为
1＜AD＜4
.答案
解:延长AD至点M,使DM=AD,连接BM,
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC=3,
在△ABM中,AB+BM＞AM,
AB-BM＜AM,
∴1＜AD＜4.
解析
【分析】
本题要求中线AD的取值范围，已知D是BC的中点，给出了AB、AC的长度，我们可以采用倍长中线法构造全等三角形求解：首先延长AD到等长的位置构造全等三角形，将AC转化为新三角形的一条边，使AB、转化后的边、两倍AD成为同一个三角形的三边，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求出AD的取值范围。
【解析】
解：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△MDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=MD\\ ∠ ADC=∠ MDB（对顶角相等）\\ CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△MDB(SAS)，
∴BM=AC=3，
在△ABM中，由三角形三边关系可得：$AB-BM＜AM＜AB+BM$，
代入AB=5、BM=3得：$5-3＜AM＜5+3$，即$2＜AM＜8$，
又
∵$AM=AD+DM=2AD$，
∴$2＜2AD＜8$，两边同时除以2得：$1＜AD＜4$。
【答案】
1＜AD＜4
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是中点类全等的典型题型，解题核心是通过倍长中线构造全等三角形实现边的转移，将分散的已知边长整合到同一三角形中，再结合三角形三边关系求解，倍长中线是解决中线相关长度问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题要求中线AD的取值范围，已知D是BC的中点，给出了AB、AC的长度，我们可以采用倍长中线法构造全等三角形求解：首先延长AD到等长的位置构造全等三角形，将AC转化为新三角形的一条边，使AB、转化后的边、两倍AD成为同一个三角形的三边，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求出AD的取值范围。
【解析】
解：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△MDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=MD\\ ∠ ADC=∠ MDB（对顶角相等）\\ CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△MDB(SAS)，
∴BM=AC=3，
在△ABM中，由三角形三边关系可得：$AB-BM＜AM＜AB+BM$，
代入AB=5、BM=3得：$5-3＜AM＜5+3$，即$2＜AM＜8$，
又
∵$AM=AD+DM=2AD$，
∴$2＜2AD＜8$，两边同时除以2得：$1＜AD＜4$。
【答案】
1＜AD＜4
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是中点类全等的典型题型，解题核心是通过倍长中线构造全等三角形实现边的转移，将分散的已知边长整合到同一三角形中，再结合三角形三边关系求解，倍长中线是解决中线相关长度问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
变式.如图，D为BC的中点，DE⊥DF交AB于E，交AC于F，连EF，若BE=5，CF=3，则EF的取值范围为
2＜EF＜8
。答案
解:延长FD到点M,使DM=DF,连接EM,BM,
∴△BDM≌△CDF(SAS),
∴BM=CF,
∴△EDF≌△EDM(SAS),
∴EM=EF,在△BEM中,
BE+BM＞EM,BE-BM＜EM,
∴2＜EF＜8.
解析
【分析】
本题已知D是BC中点，DE⊥DF，要求EF的取值范围，解题核心是通过构造全等三角形将分散的线段BE、CF、EF转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。思考步骤：①遇到中点条件，可尝试倍长过中点的线段构造全等，这里选择倍长FD，将CF转化为等长的BM；②结合DE⊥DF的条件，可证EF=EM，此时EF、BE、CF（即BM）都在△BEM中；③利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出EF的范围。
【解析】
解：延长FD到点M，使DM=DF，连接EM，BM。
∵D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△BDM和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ BDM=∠ CDF\\ DM=DF\end{array} $
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴BM=CF=3。
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠EDM=90°。
在△EDF和△EDM中：
$\{\begin{array}{l}DF=DM\\ ∠ EDF=∠ EDM\\ DE=DE\end{array} $
∴△EDF≌△EDM（SAS），
∴EM=EF。
在△BEM中，根据三角形三边关系得：
$BE-BM ＜ EM ＜ BE+BM$，
代入BE=5，BM=3，EM=EF得：
$5-3 ＜ EF ＜ 5+3$，
即$2 ＜ EF ＜ 8$。
【答案】
2＜EF＜8
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线法
【点评】
本题是中点类几何题的典型题型，通过倍长过中点的线段构造全等，将分散的已知线段和待求线段转移到同一个三角形中，结合全等的性质和三角形三边关系即可求解，熟练掌握倍长法构造全等的辅助线技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题已知D是BC中点，DE⊥DF，要求EF的取值范围，解题核心是通过构造全等三角形将分散的线段BE、CF、EF转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。思考步骤：①遇到中点条件，可尝试倍长过中点的线段构造全等，这里选择倍长FD，将CF转化为等长的BM；②结合DE⊥DF的条件，可证EF=EM，此时EF、BE、CF（即BM）都在△BEM中；③利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出EF的范围。
【解析】
解：延长FD到点M，使DM=DF，连接EM，BM。
∵D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△BDM和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ BDM=∠ CDF\\ DM=DF\end{array} $
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴BM=CF=3。
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠EDM=90°。
在△EDF和△EDM中：
$\{\begin{array}{l}DF=DM\\ ∠ EDF=∠ EDM\\ DE=DE\end{array} $
∴△EDF≌△EDM（SAS），
∴EM=EF。
在△BEM中，根据三角形三边关系得：
$BE-BM ＜ EM ＜ BE+BM$，
代入BE=5，BM=3，EM=EF得：
$5-3 ＜ EF ＜ 5+3$，
即$2 ＜ EF ＜ 8$。
【答案】
2＜EF＜8
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线法
【点评】
本题是中点类几何题的典型题型，通过倍长过中点的线段构造全等，将分散的已知线段和待求线段转移到同一个三角形中，结合全等的性质和三角形三边关系即可求解，熟练掌握倍长法构造全等的辅助线技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD. 
答案
证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接CM,
在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=CM,
∴CE=CM,∠B=∠DCM,
∴AB//CM,
∴∠MCA+∠BAC=180°,
又
∵∠ACE+∠ACB=180°,
而∠BAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠ACM,
在△ACE和△ACM中,
$\begin{cases} CE=CM, \\ ∠ ACE=∠ ACM, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACM(SAS),
∴AM=AE=2AD.
解析
【分析】
要证明AE=2AD，属于线段倍分关系的证明问题，通常采用“加倍法”转化为证明两条线段相等。已知AD是△ABC的中线，D为BC中点，因此可使用倍长中线的辅助线作法：延长AD到M使DM=AD，此时AM=2AD，只需证明AM=AE即可。第一步先通过SAS证明△ABD≌△MCD，得到AB=CM、角相等的结论，结合已知CE=AB可推出CE=CM；第二步再利用等角的补角相等推导∠ACE=∠ACM，再通过SAS证明△ACE≌△ACM，即可得到AE=AM=2AD，完成证明。
【解析】
证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接CM,
在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=CM,∠B=∠DCM,
又
∵CE=AB，
∴CE=CM，
由∠B=∠DCM可得AB//CM,
∴∠MCA+∠BAC=180°,
∵∠ACE+∠ACB=180°,
已知∠BAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠ACM,
在△ACE和△ACM中,
$\begin{cases} CE=CM, \\ ∠ ACE=∠ ACM, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACM(SAS),
∴AM=AE,
又
∵AM=AD+DM=2AD,
∴AE=2AD。
【答案】
证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接CM,
在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=CM,
∴CE=CM,∠B=∠DCM,
∴AB//CM,
∴∠MCA+∠BAC=180°,
又
∵∠ACE+∠ACB=180°,
而∠BAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠ACM,
在△ACE和△ACM中,
$\begin{cases} CE=CM, \\ ∠ ACE=∠ ACM, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACM(SAS),
∴AM=AE=2AD.
【知识点】
1. 倍长中线法
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等角的补角相等
【点评】
本题是中点类全等证明的典型题型，核心是利用倍长中线构造全等三角形，实现线段、角的等量转化，将待证的线段倍分问题转化为全等三角形对应边相等的问题，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
要证明AE=2AD，属于线段倍分关系的证明问题，通常采用“加倍法”转化为证明两条线段相等。已知AD是△ABC的中线，D为BC中点，因此可使用倍长中线的辅助线作法：延长AD到M使DM=AD，此时AM=2AD，只需证明AM=AE即可。第一步先通过SAS证明△ABD≌△MCD，得到AB=CM、角相等的结论，结合已知CE=AB可推出CE=CM；第二步再利用等角的补角相等推导∠ACE=∠ACM，再通过SAS证明△ACE≌△ACM，即可得到AE=AM=2AD，完成证明。
【解析】
证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接CM,
在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=CM,∠B=∠DCM,
又
∵CE=AB，
∴CE=CM，
由∠B=∠DCM可得AB//CM,
∴∠MCA+∠BAC=180°,
∵∠ACE+∠ACB=180°,
已知∠BAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠ACM,
在△ACE和△ACM中,
$\begin{cases} CE=CM, \\ ∠ ACE=∠ ACM, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACM(SAS),
∴AM=AE,
又
∵AM=AD+DM=2AD,
∴AE=2AD。
【答案】
证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接CM,
在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=CM,
∴CE=CM,∠B=∠DCM,
∴AB//CM,
∴∠MCA+∠BAC=180°,
又
∵∠ACE+∠ACB=180°,
而∠BAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠ACM,
在△ACE和△ACM中,
$\begin{cases} CE=CM, \\ ∠ ACE=∠ ACM, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACM(SAS),
∴AM=AE=2AD.
【知识点】
1. 倍长中线法
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等角的补角相等
【点评】
本题是中点类全等证明的典型题型，核心是利用倍长中线构造全等三角形，实现线段、角的等量转化，将待证的线段倍分问题转化为全等三角形对应边相等的问题，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
变式.如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE=AC，AF=AB.求证：EF=2AD.
答案
证明:延长AD至点G,使DG=AD,连接CG,
在△CDG和△BDA中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ CDG=∠ BDA, \\ DG=DA, \end{cases}$
∴△CDG≌△BDA(SAS),
∴CG=AB=AF,CG//AB,
∴∠GCA+∠CAB=180°,
而∠EAF+∠CAB=180°,
∴∠GCA=∠EAF,
在△EAF和△ACG中,
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠ EAF=∠ ACG, \\ AF=CG, \end{cases}$
∴△EAF≌△ACG(SAS),
∴EF=AG=2AD.
解析
【分析】
要证明EF=2AD，已知AD是△ABC的中线，涉及线段的倍半关系，优先采用倍长中线法构造全等三角形，将2AD转化为单条线段AG，再通过证明AG与EF相等完成推导。具体思路如下：①延长AD到G，使DG=AD，先证△CDG和△BDA全等，得到CG=AB、CG//AB，进而得到∠GCA与∠CAB互补；②结合AE⊥AC、AF⊥AB的条件，推导得∠EAF也与∠CAB互补，因此∠GCA=∠EAF；最后结合已知的边相等条件，证明△EAF和△ACG全等，即可得到EF=AG=2AD。
【解析】
证明：延长AD至点G，使DG=AD，连接CG。
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，即CD=BD。
在△CDG和△BDA中：
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠CDG=∠BDA, \\ DG=DA, \end{cases}$
∴△CDG≌△BDA（SAS），
∴CG=AB，∠GCD=∠ABD，可得CG//AB，
∴∠GCA + ∠CAB = 180°。
∵AE⊥AC，AF⊥AB，
∴∠EAC=∠FAB=90°，
∴∠EAF + ∠CAB = 360° - ∠EAC - ∠FAB = 180°，
∴∠GCA=∠EAF。
由已知AE=AC，AF=AB，结合CG=AB可得AF=CG。
在△EAF和△ACG中：
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAF=∠ACG, \\ AF=CG, \end{cases}$
∴△EAF≌△ACG（SAS），
∴EF=AG，
又
∵AG=AD+DG=2AD，
∴EF=2AD。
【答案】
证明:延长AD至点G,使DG=AD,连接CG,
在△CDG和△BDA中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ CDG=∠ BDA, \\ DG=DA, \end{cases}$
∴△CDG≌△BDA(SAS),
∴CG=AB=AF,CG//AB,
∴∠GCA+∠CAB=180°,
而∠EAF+∠CAB=180°,
∴∠GCA=∠EAF,
在△EAF和△ACG中,
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠ EAF=∠ ACG, \\ AF=CG, \end{cases}$
∴△EAF≌△ACG(SAS),
∴EF=AG=2AD.
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是中点类全等证明的典型题型，解题核心是利用倍长中线的辅助线构造，将线段倍分问题转化为全等三角形对应边相等的问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能准确梳理角之间的等量关系。
【难度系数】
0.6
要证明EF=2AD，已知AD是△ABC的中线，涉及线段的倍半关系，优先采用倍长中线法构造全等三角形，将2AD转化为单条线段AG，再通过证明AG与EF相等完成推导。具体思路如下：①延长AD到G，使DG=AD，先证△CDG和△BDA全等，得到CG=AB、CG//AB，进而得到∠GCA与∠CAB互补；②结合AE⊥AC、AF⊥AB的条件，推导得∠EAF也与∠CAB互补，因此∠GCA=∠EAF；最后结合已知的边相等条件，证明△EAF和△ACG全等，即可得到EF=AG=2AD。
【解析】
证明：延长AD至点G，使DG=AD，连接CG。
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，即CD=BD。
在△CDG和△BDA中：
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠CDG=∠BDA, \\ DG=DA, \end{cases}$
∴△CDG≌△BDA（SAS），
∴CG=AB，∠GCD=∠ABD，可得CG//AB，
∴∠GCA + ∠CAB = 180°。
∵AE⊥AC，AF⊥AB，
∴∠EAC=∠FAB=90°，
∴∠EAF + ∠CAB = 360° - ∠EAC - ∠FAB = 180°，
∴∠GCA=∠EAF。
由已知AE=AC，AF=AB，结合CG=AB可得AF=CG。
在△EAF和△ACG中：
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAF=∠ACG, \\ AF=CG, \end{cases}$
∴△EAF≌△ACG（SAS），
∴EF=AG，
又
∵AG=AD+DG=2AD，
∴EF=2AD。
【答案】
证明:延长AD至点G,使DG=AD,连接CG,
在△CDG和△BDA中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ CDG=∠ BDA, \\ DG=DA, \end{cases}$
∴△CDG≌△BDA(SAS),
∴CG=AB=AF,CG//AB,
∴∠GCA+∠CAB=180°,
而∠EAF+∠CAB=180°,
∴∠GCA=∠EAF,
在△EAF和△ACG中,
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠ EAF=∠ ACG, \\ AF=CG, \end{cases}$
∴△EAF≌△ACG(SAS),
∴EF=AG=2AD.
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是中点类全等证明的典型题型，解题核心是利用倍长中线的辅助线构造，将线段倍分问题转化为全等三角形对应边相等的问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能准确梳理角之间的等量关系。
【难度系数】
0.6
