登录
【典例1】如图，△ABC中，BE为高，点D在BC上，AB=AD，∠CAD=∠ABE，CE=9，AE=3，则△ACD的面积为
18
。答案
过 D 点作 DF⊥AC 于 F 点，
△ADF≌△BAE(AAS)，
∴DF=AE=3，
S△ACD=$\frac{1}{2}$×12×3=18.
解析
【分析】
要计算△ACD的面积，首先可算出底边AC的长度：AC=AE+CE=3+9=12，因此只需求出AC边上的高即可得到面积。我们可以过D作DF⊥AC于F，目标是求DF的长度：结合已知条件，BE是高可得∠AEB=90°，DF⊥AC可得∠AFD=90°，同时题目给出∠CAD=∠ABE，且AB=AD，可通过AAS证明△ADF和△BAE全等，利用全等三角形对应边相等得到DF=AE=3，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△ADF和△BAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ DFA=∠ AEB\\ ∠ FAD=∠ ABE\\ AD=BA\end{array} $
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴DF=AE=3，
又
∵AC=AE+CE=3+9=12，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF=\frac{1}{2}×12×3=18$。
【答案】
18
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是利用全等三角形求解面积的典型题型，通过构造垂直辅助线，将未知的高转化为已知长度的线段，解题关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.6
要计算△ACD的面积，首先可算出底边AC的长度：AC=AE+CE=3+9=12，因此只需求出AC边上的高即可得到面积。我们可以过D作DF⊥AC于F，目标是求DF的长度：结合已知条件，BE是高可得∠AEB=90°，DF⊥AC可得∠AFD=90°，同时题目给出∠CAD=∠ABE，且AB=AD，可通过AAS证明△ADF和△BAE全等，利用全等三角形对应边相等得到DF=AE=3，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△ADF和△BAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ DFA=∠ AEB\\ ∠ FAD=∠ ABE\\ AD=BA\end{array} $
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴DF=AE=3，
又
∵AC=AE+CE=3+9=12，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF=\frac{1}{2}×12×3=18$。
【答案】
18
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是利用全等三角形求解面积的典型题型，通过构造垂直辅助线，将未知的高转化为已知长度的线段，解题关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.6
变式.(2026·武汉)如图,在四边形ABCD中,AC是对角线,AB=CD=10,∠DAC+∠BCA=180°,∠BAC+∠ACD=90°,四边形ABCD的面积是(
A.25
B.40
C.50
D.100
C
)A.25
B.40
C.50
D.100
答案
延长 BC 交至点E,使 CE=AD,连接 AE，
∴△ACE≌△CAD，
∴AE=CD=10,∠BAE=90°，
∴S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$×10×10=50.
解析
【分析】
不规则四边形ABCD直接计算面积难度较大，我们可以利用已知的角的关系构造全等三角形，将四边形面积转化为规则三角形的面积求解。首先由∠DAC+∠BCA=180°，结合邻补角和为180°可推得∠DAC=∠ACE，此时延长BC到E，使CE=AD，即可结合公共边AC用SAS证明△ACE和△CAD全等，再利用角互余的条件得到△BAE是直角三角形，最终将四边形面积转化为△BAE的面积计算即可。
【解析】
解：延长BC至点E，使CE=AD，连接AE，
∵∠BCA + ∠ACE = 180°（邻补角的定义），∠DAC + ∠BCA = 180°（已知），
∴∠DAC = ∠ACE，
在△ACE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AC=CA（公共边）\\∠ACE=∠CAD（已证）\\CE=AD（构造）\end{array} $
∴△ACE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD=10，∠EAC=∠ACD（全等三角形对应边、对应角相等），
∵∠BAC + ∠ACD = 90°（已知），
∴∠BAC + ∠EAC = ∠BAE = 90°（等量代换），
又
∵AB=10，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACE}=S_{△ BAE}=\frac{1}{2}×AB×AE=\frac{1}{2}×10×10=50$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，邻补角的性质
【点评】
本题考查转化思想在几何解题中的应用，解题关键是通过构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易求的直角三角形面积，利用已知的角的和差关系完成边、角的等量代换即可求解。
【难度系数】
0.6
不规则四边形ABCD直接计算面积难度较大，我们可以利用已知的角的关系构造全等三角形，将四边形面积转化为规则三角形的面积求解。首先由∠DAC+∠BCA=180°，结合邻补角和为180°可推得∠DAC=∠ACE，此时延长BC到E，使CE=AD，即可结合公共边AC用SAS证明△ACE和△CAD全等，再利用角互余的条件得到△BAE是直角三角形，最终将四边形面积转化为△BAE的面积计算即可。
【解析】
解：延长BC至点E，使CE=AD，连接AE，
∵∠BCA + ∠ACE = 180°（邻补角的定义），∠DAC + ∠BCA = 180°（已知），
∴∠DAC = ∠ACE，
在△ACE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AC=CA（公共边）\\∠ACE=∠CAD（已证）\\CE=AD（构造）\end{array} $
∴△ACE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD=10，∠EAC=∠ACD（全等三角形对应边、对应角相等），
∵∠BAC + ∠ACD = 90°（已知），
∴∠BAC + ∠EAC = ∠BAE = 90°（等量代换），
又
∵AB=10，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACE}=S_{△ BAE}=\frac{1}{2}×AB×AE=\frac{1}{2}×10×10=50$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，邻补角的性质
【点评】
本题考查转化思想在几何解题中的应用，解题关键是通过构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易求的直角三角形面积，利用已知的角的和差关系完成边、角的等量代换即可求解。
【难度系数】
0.6
【典例2】(2026·武汉)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为10，△ACD的面积为6。则△ABD的面积是(
A.16
B.14
C.13
D.22
A
)A.16
B.14
C.13
D.22
答案
延长 BC 交 AD 的延长线于点 E，
△ABD≌△EBD,AD=DE，
∴S△CDE=6,
∴S△ABD=16.
解析
【分析】
遇到角平分线与角边上的垂线组合的条件时，通常采用延长垂线构造全等三角形的思路解题：①已知BD是∠ABC的角平分线，且AD⊥BD，可通过延长BC交AD的延长线构造出关于BD对称的全等三角形；②利用全等三角形的性质得到对应边AD=DE，再根据等底同高的三角形面积相等，可得△CDE和△ACD面积相等；③最后结合全等三角形面积相等的性质，即可求出△ABD的面积。
【解析】
解：延长BC交AD的延长线于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\BD=BD \\∠ADB=∠EDB\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=DE，即D为AE中点，
∴△ACD和△CDE等底（AD=DE）、同高（点C到AE的距离为公共高），
∴$S_{△ CDE}=S_{△ ACD}=6$，
∴$S_{△ BDE}=S_{△ BCD}+S_{△ CDE}=10+6=16$，
又
∵△ABD≌△EBD，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=16$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的构造全等三角形求解面积的题型，解题关键是掌握角平分线加垂线的常用辅助线构造方法，结合全等的性质和等底同高三角形面积相等的规律，将未知面积转化为已知面积的和求解。
【难度系数】
0.65
遇到角平分线与角边上的垂线组合的条件时，通常采用延长垂线构造全等三角形的思路解题：①已知BD是∠ABC的角平分线，且AD⊥BD，可通过延长BC交AD的延长线构造出关于BD对称的全等三角形；②利用全等三角形的性质得到对应边AD=DE，再根据等底同高的三角形面积相等，可得△CDE和△ACD面积相等；③最后结合全等三角形面积相等的性质，即可求出△ABD的面积。
【解析】
解：延长BC交AD的延长线于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\BD=BD \\∠ADB=∠EDB\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=DE，即D为AE中点，
∴△ACD和△CDE等底（AD=DE）、同高（点C到AE的距离为公共高），
∴$S_{△ CDE}=S_{△ ACD}=6$，
∴$S_{△ BDE}=S_{△ BCD}+S_{△ CDE}=10+6=16$，
又
∵△ABD≌△EBD，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=16$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的构造全等三角形求解面积的题型，解题关键是掌握角平分线加垂线的常用辅助线构造方法，结合全等的性质和等底同高三角形面积相等的规律，将未知面积转化为已知面积的和求解。
【难度系数】
0.65
变式.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=OB,点C在BO的延长线上,BD⊥AC于D点,∠OAC=∠BAD,AC=6,AD=2,则△ABD的面积为
3
.答案
延长 OA,BD 相交于点 M，
△OAC≌△OBM，
∴BM=AC=6，
又
∵△BAD≌△MAD,BD=3，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$×3×2=3.
解析
【分析】
本题要求△ABD的面积，已知AD=2，只需求出BD的长度即可求解。结合已知条件：△AOB为等腰直角三角形（∠AOB=90°，AO=OB）、BD⊥AC、∠OAC=∠BAD，可通过作辅助线构造全等三角形转化线段长度：首先延长OA、BD交于点M，先证明△OAC≌△OBM得到BM=AC=6，再证明△BAD≌△MAD得到BD=DM，即可求出BD的长度，最后代入面积公式计算。
【解析】
解：延长OA，BD相交于点M，
∵∠AOB=90°，BD⊥AC，
∴∠AOC=∠BOM=∠ADB=∠ADM=90°，
∴∠OAC+∠C=90°，∠OBM+∠C=90°，
∴∠OAC=∠OBM。
在△OAC和△OBM中：
$\{\begin{array}{l}∠OAC=∠OBM \\AO=OB \\∠AOC=∠BOM\end{array} $
∴△OAC≌△OBM（ASA），
∴BM=AC=6。
∵∠OAC=∠BAD，且∠OAC=∠MAD（对顶角相等），
∴∠BAD=∠MAD。
在△BAD和△MAD中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠MAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADM=90°\end{array} $
∴△BAD≌△MAD（ASA），
∴BD=DM=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}×6=3$。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AD×BD=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过构造辅助线得到两组全等三角形，将已知线段AC的长度转化为BM的长度，进而求出目标三角形的高BD的长度，解题时要善于从垂直、等角、等边等已知条件中挖掘全等三角形的判定依据，掌握辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6
本题要求△ABD的面积，已知AD=2，只需求出BD的长度即可求解。结合已知条件：△AOB为等腰直角三角形（∠AOB=90°，AO=OB）、BD⊥AC、∠OAC=∠BAD，可通过作辅助线构造全等三角形转化线段长度：首先延长OA、BD交于点M，先证明△OAC≌△OBM得到BM=AC=6，再证明△BAD≌△MAD得到BD=DM，即可求出BD的长度，最后代入面积公式计算。
【解析】
解：延长OA，BD相交于点M，
∵∠AOB=90°，BD⊥AC，
∴∠AOC=∠BOM=∠ADB=∠ADM=90°，
∴∠OAC+∠C=90°，∠OBM+∠C=90°，
∴∠OAC=∠OBM。
在△OAC和△OBM中：
$\{\begin{array}{l}∠OAC=∠OBM \\AO=OB \\∠AOC=∠BOM\end{array} $
∴△OAC≌△OBM（ASA），
∴BM=AC=6。
∵∠OAC=∠BAD，且∠OAC=∠MAD（对顶角相等），
∴∠BAD=∠MAD。
在△BAD和△MAD中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠MAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADM=90°\end{array} $
∴△BAD≌△MAD（ASA），
∴BD=DM=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}×6=3$。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AD×BD=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过构造辅助线得到两组全等三角形，将已知线段AC的长度转化为BM的长度，进而求出目标三角形的高BD的长度，解题时要善于从垂直、等角、等边等已知条件中挖掘全等三角形的判定依据，掌握辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6
【典例3】如图，$BC ⊥ CD$，$AC ⊥ CE$，$BC=CD$，$AC=CE$，$△ ABC$ 的面积为 5，则 $△ CDE$ 的面积为
5
.答案
作 AN⊥BC,EM⊥CD，
垂足分别为 N,M，
△CEM≌△CAN,EM=AN，
S△CDE=$\frac{1}{2}CD·EM$
=$\frac{1}{2}BC·AN=5$.
解析
【分析】
要求△CDE的面积，已知△ABC的面积为5，且题目给出BC=CD，因此只需证明CD边上的高与BC边上的高相等，即可得到两个三角形面积相等。结合AC⊥CE、AC=CE的条件，我们可以通过作两条对应边上的高，构造全等三角形证明高相等，进而求解面积。
【解析】
过点A作AN⊥BC，垂足为N，过点E作EM⊥CD，垂足为M，则∠M=∠ANC=90°。
∵ BC⊥CD，AC⊥CE，
∴ ∠ECM + ∠ACN = 90°，∠CAN + ∠ACN = 90°，
∴ ∠ECM = ∠CAN（同角的余角相等）。
在△CEM和△CAN中：
$\{\begin{array}{l}∠M=∠ANC \\∠ECM=∠CAN \\CE=AC\end{array} $
∴ △CEM≌△CAN（AAS），
∴ EM=AN。
又
∵ BC=CD，
∴ $S_{△CDE}=\frac{1}{2}CD·EM=\frac{1}{2}BC·AN=S_{△ABC}=5$。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，同角的余角相等
【点评】
本题考查全等三角形在面积求解中的应用，核心思路是通过作辅助线构造全等三角形，实现高的等量转化，结合等底条件即可得到两个三角形面积相等，合理构造全等是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
要求△CDE的面积，已知△ABC的面积为5，且题目给出BC=CD，因此只需证明CD边上的高与BC边上的高相等，即可得到两个三角形面积相等。结合AC⊥CE、AC=CE的条件，我们可以通过作两条对应边上的高，构造全等三角形证明高相等，进而求解面积。
【解析】
过点A作AN⊥BC，垂足为N，过点E作EM⊥CD，垂足为M，则∠M=∠ANC=90°。
∵ BC⊥CD，AC⊥CE，
∴ ∠ECM + ∠ACN = 90°，∠CAN + ∠ACN = 90°，
∴ ∠ECM = ∠CAN（同角的余角相等）。
在△CEM和△CAN中：
$\{\begin{array}{l}∠M=∠ANC \\∠ECM=∠CAN \\CE=AC\end{array} $
∴ △CEM≌△CAN（AAS），
∴ EM=AN。
又
∵ BC=CD，
∴ $S_{△CDE}=\frac{1}{2}CD·EM=\frac{1}{2}BC·AN=S_{△ABC}=5$。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，同角的余角相等
【点评】
本题考查全等三角形在面积求解中的应用，核心思路是通过作辅助线构造全等三角形，实现高的等量转化，结合等底条件即可得到两个三角形面积相等，合理构造全等是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
