登录
6.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(b,0),且 a,b 满足$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$,点 C 的坐标为(0,3).
(1)求 a,b 的值及$S_{△ ABC}$;
(2)若点 M 在 x 轴上,且$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,试求点 M 的坐标.
(1)求 a,b 的值及$S_{△ ABC}$;
(2)若点 M 在 x 轴上,且$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,试求点 M 的坐标.
答案
6. 解:(1)$\because |a+2|+\sqrt{b-4}=0$,
$\therefore a+2=0,b-4=0,\therefore a=-2,b=4$,
$\therefore A(-2,0),B(4,0)$.
又$\because C(0,3),\therefore AB=|-2-4|=6,CO=3$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CO=\frac{1}{2}×6×3=9$.
(2)设点 M 的坐标为$(x,0)$,则$AM=|x-(-2)|=|x+2|$,
又$\because S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,
$\therefore \frac{1}{2}AM· OC=\frac{1}{3}×9$,
$\therefore \frac{1}{2}|x+2|×3=3,\therefore |x+2|=2$,
即$x+2=\pm2$,解得$x=0$或$x=-4$,
故点 M 的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$.
$\therefore a+2=0,b-4=0,\therefore a=-2,b=4$,
$\therefore A(-2,0),B(4,0)$.
又$\because C(0,3),\therefore AB=|-2-4|=6,CO=3$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CO=\frac{1}{2}×6×3=9$.
(2)设点 M 的坐标为$(x,0)$,则$AM=|x-(-2)|=|x+2|$,
又$\because S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,
$\therefore \frac{1}{2}AM· OC=\frac{1}{3}×9$,
$\therefore \frac{1}{2}|x+2|×3=3,\therefore |x+2|=2$,
即$x+2=\pm2$,解得$x=0$或$x=-4$,
故点 M 的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$.
解析
【分析】
(1) 首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此可列方程求出a、b的值；得到A、B的坐标后，A、B都在x轴上，AB的长度为两点横坐标差的绝对值，△ABC中AB边上的高是点C到x轴的距离，也就是C点的纵坐标数值，代入三角形面积公式即可求出面积。
(2) 点M在x轴上，因此它的纵坐标为0，可设M的坐标为(x,0)，△ACM的底为AM的长度，即M与A横坐标差的绝对值，高仍然是C到x轴的距离3，结合题中给出的面积关系列方程，解绝对值方程时要分正负两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 已知$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$，
∵$|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，
∴$a+2=0$，$b-4=0$，解得$a=-2$，$b=4$，
∴点A坐标为$(-2,0)$，点B坐标为$(4,0)$，
∴AB的长度为$|-2 - 4|=6$，
又
∵点C坐标为$(0,3)$，
∴AB边上的高为$OC=3$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×6×3=9$。
(2) 设点M的坐标为$(x,0)$，
则AM的长度为$|x - (-2)|=|x + 2|$，
∵$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，代入$S_{△ ABC}=9$得$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}×9=3$，
又
∵△ACM中AM边上的高仍为$OC=3$，
∴$\frac{1}{2}AM·OC=3$，即$\frac{1}{2}×|x+2|×3=3$，
化简得$|x+2|=2$，
∴$x+2=2$或$x+2=-2$，解得$x=0$或$x=-4$，
∴点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=4$，$S_{△ ABC}=9$；
(2) 点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【知识点】
非负数的性质，坐标与线段长度，三角形面积计算
【点评】
本题是坐标平面内的面积计算基础题，解题关键是掌握非负数的性质，以及x轴上两点间距离的计算方法，解绝对值方程时注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此可列方程求出a、b的值；得到A、B的坐标后，A、B都在x轴上，AB的长度为两点横坐标差的绝对值，△ABC中AB边上的高是点C到x轴的距离，也就是C点的纵坐标数值，代入三角形面积公式即可求出面积。
(2) 点M在x轴上，因此它的纵坐标为0，可设M的坐标为(x,0)，△ACM的底为AM的长度，即M与A横坐标差的绝对值，高仍然是C到x轴的距离3，结合题中给出的面积关系列方程，解绝对值方程时要分正负两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 已知$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$，
∵$|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，
∴$a+2=0$，$b-4=0$，解得$a=-2$，$b=4$，
∴点A坐标为$(-2,0)$，点B坐标为$(4,0)$，
∴AB的长度为$|-2 - 4|=6$，
又
∵点C坐标为$(0,3)$，
∴AB边上的高为$OC=3$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×6×3=9$。
(2) 设点M的坐标为$(x,0)$，
则AM的长度为$|x - (-2)|=|x + 2|$，
∵$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，代入$S_{△ ABC}=9$得$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}×9=3$，
又
∵△ACM中AM边上的高仍为$OC=3$，
∴$\frac{1}{2}AM·OC=3$，即$\frac{1}{2}×|x+2|×3=3$，
化简得$|x+2|=2$，
∴$x+2=2$或$x+2=-2$，解得$x=0$或$x=-4$，
∴点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=4$，$S_{△ ABC}=9$；
(2) 点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【知识点】
非负数的性质，坐标与线段长度，三角形面积计算
【点评】
本题是坐标平面内的面积计算基础题，解题关键是掌握非负数的性质，以及x轴上两点间距离的计算方法，解绝对值方程时注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 已知$A(-3,-2),B(2,-2),C(3,1),D(-2,1)$四个点.
(1)在图中描出$A,B,C,D$四个点,顺次连接$A,B,C,D,A$.
(2)直接写出线段$AB,CD$之间的关系.
(3)在$y$轴上是否存在点$P$,使$S_{△ PAB}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}$? 若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)在图中描出$A,B,C,D$四个点,顺次连接$A,B,C,D,A$.
(2)直接写出线段$AB,CD$之间的关系.
(3)在$y$轴上是否存在点$P$,使$S_{△ PAB}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}$? 若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
7. 解:(1)如答图
.(2)$AB=CD,AB// CD$.
(3)存在. 设$P(0,t)$,
$\because S_{四边形ABCD}=5×3=15,S_{△ PAB}=S_{四边形ABCD}$,
$\therefore \frac{1}{2}×5×|t+2|=15$,即$|t+2|=6$,
解得$t=4$或$t=-8$,
$\therefore$点 P 的坐标为$(0,4)$或$(0,-8)$.
解析
【分析】
(1) 描点时根据点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中找到对应位置标记，再按顺序连接四个点即可得到封闭图形。
(2) 观察A、B纵坐标相同，可知AB平行于x轴，同理CD纵坐标也相同也平行于x轴，因此AB与CD平行；再计算两条线段的长度，AB长度为横坐标差的绝对值|2-(-3)|=5，CD长度为|3-(-2)|=5，因此二者长度相等。
(3) 由AB平行且等于CD可知四边形ABCD是平行四边形，计算其面积：底AB为5，高为AB、CD间的垂直距离1-(-2)=3，面积为5×3=15。设y轴上点P坐标为(0,t)，AB在直线y=-2上，P到AB的距离为|t+2|，根据三角形面积公式列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 根据A(-3,-2)、B(2,-2)、C(3,1)、D(-2,1)的坐标，在坐标系中对应位置描出四个点，再顺次连接A、B、C、D、A，作图结果如答图所示。
(2) 线段AB端点纵坐标均为-2，故AB//x轴，长度为$2-(-3)=5$；线段CD端点纵坐标均为1，故CD//x轴，长度为$3-(-2)=5$，因此$AB// CD$且$AB=CD$。
(3) 存在。
由(2)可知四边形ABCD是平行四边形，其面积为：$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=5×(1-(-2))=15$。
设y轴上点P的坐标为$(0,t)$，则P到AB所在直线$y=-2$的距离为$|t+2|$。
根据题意$S_{△ PAB}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}$，代入三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×5×|t+2|=15$
化简得$|t+2|=6$，解得$t=4$或$t=-8$。
【答案】
(1) 如答图。
(2) $AB=CD,AB// CD$。
(3) 存在，点P的坐标为$(0,4)$或$(0,-8)$。
【知识点】
1. 平面直角坐标系描点
2. 平行四边形的判定与性质
3. 坐标与图形面积计算
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系的基础应用、平行四边形的判定及图形面积的计算，解题关键是掌握坐标法求线段长度和点到直线距离的方法，求解时要注意绝对值的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 描点时根据点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中找到对应位置标记，再按顺序连接四个点即可得到封闭图形。
(2) 观察A、B纵坐标相同，可知AB平行于x轴，同理CD纵坐标也相同也平行于x轴，因此AB与CD平行；再计算两条线段的长度，AB长度为横坐标差的绝对值|2-(-3)|=5，CD长度为|3-(-2)|=5，因此二者长度相等。
(3) 由AB平行且等于CD可知四边形ABCD是平行四边形，计算其面积：底AB为5，高为AB、CD间的垂直距离1-(-2)=3，面积为5×3=15。设y轴上点P坐标为(0,t)，AB在直线y=-2上，P到AB的距离为|t+2|，根据三角形面积公式列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 根据A(-3,-2)、B(2,-2)、C(3,1)、D(-2,1)的坐标，在坐标系中对应位置描出四个点，再顺次连接A、B、C、D、A，作图结果如答图所示。
(2) 线段AB端点纵坐标均为-2，故AB//x轴，长度为$2-(-3)=5$；线段CD端点纵坐标均为1，故CD//x轴，长度为$3-(-2)=5$，因此$AB// CD$且$AB=CD$。
(3) 存在。
由(2)可知四边形ABCD是平行四边形，其面积为：$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=5×(1-(-2))=15$。
设y轴上点P的坐标为$(0,t)$，则P到AB所在直线$y=-2$的距离为$|t+2|$。
根据题意$S_{△ PAB}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}$，代入三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×5×|t+2|=15$
化简得$|t+2|=6$，解得$t=4$或$t=-8$。
【答案】
(1) 如答图
。(2) $AB=CD,AB// CD$。
(3) 存在，点P的坐标为$(0,4)$或$(0,-8)$。
【知识点】
1. 平面直角坐标系描点
2. 平行四边形的判定与性质
3. 坐标与图形面积计算
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系的基础应用、平行四边形的判定及图形面积的计算，解题关键是掌握坐标法求线段长度和点到直线距离的方法，求解时要注意绝对值的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(0,a),B(b,0),C(5,c)$,且$a,b,c$满足$|a-3|+(b-5)^2+\sqrt{c-6}=0$.
(1)求$a,b,c$的值.
(2)求$△ ABC$的面积.
(3)是否存在点$P(x,-\dfrac{1}{3}x)$,使$△ AOP$的面积为$△ ABC$的面积的$3$倍? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$a,b,c$的值.
(2)求$△ ABC$的面积.
(3)是否存在点$P(x,-\dfrac{1}{3}x)$,使$△ AOP$的面积为$△ ABC$的面积的$3$倍? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
8. 解:(1)$\because |a-3|+(b-5)^2+\sqrt{c-6}=0$,
$\therefore a-3=0,b-5=0,c-6=0$,
$\therefore a=3,b=5,c=6$.
(2)由(1)得$A(0,3),B(5,0),C(5,6)$,
$\therefore BC=6,BC// y$轴,$OB=5$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· OB=\frac{1}{2}×6×5=15$.
(3)存在.
由(2)得$S_{△ ABC}=15$,
$\because △ AOP$的面积为$△ ABC$的面积的 3 倍,
$\therefore △ AOP$的面积为 45.
$\because A(0,3),\therefore OA=3$,
$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA· |x|=45$,
$\therefore \frac{1}{2}×3|x|=45,\therefore x=\pm30$,
$\therefore$点 P 的坐标为$(30,-10)$或$(-30,10)$.
$\therefore a-3=0,b-5=0,c-6=0$,
$\therefore a=3,b=5,c=6$.
(2)由(1)得$A(0,3),B(5,0),C(5,6)$,
$\therefore BC=6,BC// y$轴,$OB=5$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· OB=\frac{1}{2}×6×5=15$.
(3)存在.
由(2)得$S_{△ ABC}=15$,
$\because △ AOP$的面积为$△ ABC$的面积的 3 倍,
$\therefore △ AOP$的面积为 45.
$\because A(0,3),\therefore OA=3$,
$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA· |x|=45$,
$\therefore \frac{1}{2}×3|x|=45,\therefore x=\pm30$,
$\therefore$点 P 的坐标为$(30,-10)$或$(-30,10)$.
解析
【分析】
首先解决第(1)问：绝对值、完全平方、算术平方根都是非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列等式即可求出a、b、c的值。
接下来第(2)问：根据求出的a、b、c得到A、B、C三点坐标，观察发现B、C横坐标相同，说明BC边平行于y轴，长度为两点纵坐标的差，△ABC以BC为底时，对应的高是点A到BC的水平距离，即B点的横坐标长度，代入三角形面积公式计算即可。
最后第(3)问：先根据△ABC的面积求出△AOP的面积，点A在y轴上，OA的长度是A点纵坐标的绝对值，△AOP以OA为底时，高是点P到y轴的距离，也就是P点横坐标的绝对值，据此列方程求出x的值，再代入P的纵坐标表达式即可得到坐标，注意绝对值求解有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 因为绝对值、偶次幂、算术平方根都具有非负性，且$|a-3|+(b-5)^2+\sqrt{c-6}=0$，
所以$a-3=0$，$b-5=0$，$c-6=0$，
解得$a=3$，$b=5$，$c=6$。
(2) 由(1)可得三点坐标：$A(0,3)$，$B(5,0)$，$C(5,6)$，
因为B、C横坐标均为5，所以$BC// y$轴，$BC=6-0=6$，点A到BC的水平距离等于OB的长度，即$OB=5$，
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × OB=\frac{1}{2}×6×5=15$。
(3) 存在，理由如下：
由题意得$S_{△ AOP}=3S_{△ ABC}=3×15=45$，
由$A(0,3)$可知$OA=3$，点$P(x,-\frac{1}{3}x)$到y轴的距离为$|x|$，
所以$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × |x|=\frac{1}{2}×3×|x|=45$，
解得$|x|=30$，即$x=30$或$x=-30$，
当$x=30$时，$-\frac{1}{3}x=-10$；当$x=-30$时，$-\frac{1}{3}x=10$，
所以点P的坐标为$(30,-10)$或$(-30,10)$。
【答案】
(1) $a=3,b=5,c=6$；
(2) $△ ABC$的面积为15；
(3) 存在，点P的坐标为$(30,-10)$或$(-30,10)$。
【知识点】
非负数的性质；坐标与图形；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查非负数性质的应用、坐标平面内三角形面积的计算，解题时要善于通过点的坐标判断线段的位置和长度，第三问涉及绝对值运算，要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：绝对值、完全平方、算术平方根都是非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列等式即可求出a、b、c的值。
接下来第(2)问：根据求出的a、b、c得到A、B、C三点坐标，观察发现B、C横坐标相同，说明BC边平行于y轴，长度为两点纵坐标的差，△ABC以BC为底时，对应的高是点A到BC的水平距离，即B点的横坐标长度，代入三角形面积公式计算即可。
最后第(3)问：先根据△ABC的面积求出△AOP的面积，点A在y轴上，OA的长度是A点纵坐标的绝对值，△AOP以OA为底时，高是点P到y轴的距离，也就是P点横坐标的绝对值，据此列方程求出x的值，再代入P的纵坐标表达式即可得到坐标，注意绝对值求解有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 因为绝对值、偶次幂、算术平方根都具有非负性，且$|a-3|+(b-5)^2+\sqrt{c-6}=0$，
所以$a-3=0$，$b-5=0$，$c-6=0$，
解得$a=3$，$b=5$，$c=6$。
(2) 由(1)可得三点坐标：$A(0,3)$，$B(5,0)$，$C(5,6)$，
因为B、C横坐标均为5，所以$BC// y$轴，$BC=6-0=6$，点A到BC的水平距离等于OB的长度，即$OB=5$，
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × OB=\frac{1}{2}×6×5=15$。
(3) 存在，理由如下：
由题意得$S_{△ AOP}=3S_{△ ABC}=3×15=45$，
由$A(0,3)$可知$OA=3$，点$P(x,-\frac{1}{3}x)$到y轴的距离为$|x|$，
所以$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × |x|=\frac{1}{2}×3×|x|=45$，
解得$|x|=30$，即$x=30$或$x=-30$，
当$x=30$时，$-\frac{1}{3}x=-10$；当$x=-30$时，$-\frac{1}{3}x=10$，
所以点P的坐标为$(30,-10)$或$(-30,10)$。
【答案】
(1) $a=3,b=5,c=6$；
(2) $△ ABC$的面积为15；
(3) 存在，点P的坐标为$(30,-10)$或$(-30,10)$。
【知识点】
非负数的性质；坐标与图形；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查非负数性质的应用、坐标平面内三角形面积的计算，解题时要善于通过点的坐标判断线段的位置和长度，第三问涉及绝对值运算，要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
