1. 如图，$AB\bot BD$，$CD\bot BD$，$AD=BC$，则能直接判定$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CDB$的理由是 （）

A.HL
B.ASA
C.SAS
D.SSS

1.A

【分析】
解题时先判断三角形类型，由已知的垂直条件可确定△ABD和△CDB都是直角三角形，优先考虑直角三角形特有的全等判定定理HL。接下来梳理对应边的相等关系：已知AD=BC，是两个直角三角形的斜边；另外BD是两个三角形共有的直角边，满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的HL判定条件，即可得出答案。
【解析】
解：
∵$AB\bot BD$，$CD\bot BD$，
∴$∠ ABD=∠ CDB=90°$，即$△ ABD$和$△ CDB$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中：
$\begin{cases}AD=BC（已知）\\BD=DB（公共边）\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CDB$（HL），即判定理由为HL。
【答案】
A
【知识点】
HL全等判定，垂直的性质，公共边识别
【点评】
本题是全等判定的基础题，主要考查直角三角形特有的HL判定定理，解题时需先明确三角形为直角三角形，再对应找到相等的斜边和一条直角边即可，要注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.9

2.下列结论错误的是 （）

A.有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两条边相等的两个直角三角形全等
D.有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等

2.C

【分析】
这道题要求选出错误的结论，解题核心是熟练掌握普通三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）以及直角三角形特有的HL判定定理，逐一验证每个选项的描述是否符合全等判定的要求，尤其要注意边、角的“对应相等”是全等判定的前提。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 两条直角边对应相等，加上直角是两边的夹角，符合SAS判定定理，两个直角三角形全等，该选项结论正确；
B. 一个锐角对应相等，加上两个直角三角形的直角也相等，即两组角对应相等，再有一条直角边对应相等，符合AAS或ASA判定定理，两个直角三角形全等，该选项结论正确；
C. 两条边相等未说明是对应边相等：举反例，若一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边相等，即使另有一条边相等，两个三角形也不全等，该选项结论错误；
D. 一个锐角对应相等，加上直角相等，两组角对应相等，再有斜边对应相等，符合AAS判定定理，两个直角三角形全等，该选项结论正确。
综上，错误的结论是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.直角三角形全等的判定
2.全等三角形的判定定理
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，解题时要注意全等判定中“对应相等”的要求，不要忽略边的对应关系导致判断错误。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD\bot BD,AE\bot EC$,垂足分别为$D,E$,要使$△ ABD≌△ ACE$,若根据“HL”判定,还需要加条件________,若加条件$∠ BAE=∠ CAD$,则可用________判定.

3.AE=AD(或CE=BD) AAS

【分析】
首先梳理已知条件：△ABC中AB=AC，AD⊥BD、AE⊥EC，可得△ABD和△ACE均为直角三角形，且斜边AB=AC。若用HL判定两直角三角形全等，HL规则要求斜边和一条直角边对应相等，现有斜边已经相等，因此只需补充一组直角边相等即可；若添加∠BAE=∠CAD，可通过角的和差关系推导得到一组锐角相等，结合已知的直角相等、等边AB=AC，即可匹配对应的全等判定定理。
【解析】
1. 用“HL”判定△ABD≌△ACE的情况：
∵AD⊥BD，AE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°，△ABD和△ACE都是直角三角形。
已知斜边AB=AC，根据HL判定规则，只需再添加一组直角边对应相等即可，即可添加AD=AE，或BD=CE。
2. 添加∠BAE=∠CAD的情况：
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠CAD+∠EAD=∠CAE，且∠BAE=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠E=90°\\∠BAD=∠CAE\\AB=AC\end{array} $
满足两角及其中一角的对边对应相等，因此可用AAS判定全等。
【答案】
AE=AD(或CE=BD)；AAS
【知识点】
HL判定定理；AAS判定定理；角的和差计算
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题关键是准确掌握不同判定定理的适用条件，结合已知条件推导缺失的判定要素，注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.7

4.如图，$MN// PQ$，$AB⊥ PQ$，点$A$，$D$和$B$，$C$分别在直线$MN$与$PQ$上，点$E$在$AB$上，$AD+BC=7$，$AD=EB$，$DE=EC$，则$AB=$.

4.7

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由$MN// PQ$，$AB⊥ PQ$可推出$AB$也垂直于$MN$，得到$△ ADE$和$△ BCE$都是直角三角形；再结合已知的$AD=EB$、$DE=EC$，可通过HL判定两个直角三角形全等，得到对应边$AE=BC$；最后将$AB$拆分为$AE+EB$，利用等量代换转化为$AD+BC$，代入已知数值即可求出$AB$的长度。
【解析】
解：$\because MN// PQ$，$AB⊥ PQ$，
$\therefore AB⊥ MN$，即$∠ DAE=∠ EBC=90°$，
$\therefore △ ADE$和$△ BCE$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases}DE=EC \\AD=EB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=BC$。
$\because AB=AE+EB$，且$AD=EB$，
$\therefore AB=BC+AD$，
又$\because AD+BC=7$，
$\therefore AB=7$。
【答案】
7
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 平行线的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过证明直角三角形全等实现线段的等量转化，将待求线段长度和已知线段和建立关联，解题时要注意HL判定定理仅适用于直角三角形。
【难度系数】
0.7

5. 如图，$AD=CB$，$CE\bot BD$，$AF\bot BD$，垂足分别为$E,F$，若$DE=BF$，求证：$AD// BC$。

5. 证明:$\because CE⊥ BD,AF⊥ BD,\therefore ∠ AFD=∠ CEB=90°.$
$\because DE=BF,\therefore DE+EF=BF+EF$,即 $DF=BE.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和$\mathrm{Rt}△ CBE$ 中,
$\begin{cases} AD=CB,\\ DF=BE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CBE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ D=∠ B,\therefore AD// BC.$

【分析】
要证明$AD// BC$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ D=∠ B$即可。观察图形可知$∠ D$、$∠ B$分别位于$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CBE$中，已知$AD=CB$，只需证明这两个直角三角形全等即可得到对应角相等。已知$DE=BF$，给两条线段同时加上公共部分$EF$，可得$DF=BE$，结合垂直得到的直角条件，即可用HL定理证明两个直角三角形全等，进而得到角相等，最终推出两直线平行。
【解析】
证明：
$\because CE\bot BD,AF\bot BD$，
$\therefore ∠ AFD=∠ CEB=90°$。
$\because DE=BF$，
$\therefore DE+EF=BF+EF$，即 $DF=BE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和$\mathrm{Rt}△ CBE$ 中,
$\begin{cases} AD=CB,\\ DF=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CBE(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ D=∠ B$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AD// BC$。
【答案】
证明:$\because CE⊥ BD,AF⊥ BD,\therefore ∠ AFD=∠ CEB=90°.$
$\because DE=BF,\therefore DE+EF=BF+EF$,即 $DF=BE.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和$\mathrm{Rt}△ CBE$ 中,
$\begin{cases} AD=CB,\\ DF=BE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CBE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ D=∠ B,\therefore AD// BC.$
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是通过线段和差关系得到直角三角形全等的边条件，结合HL定理、全等三角形对应角相等的性质即可推导两直线平行，侧重考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$是$AB$边上一点,$BC=BD$,过点$D$作$DE⊥ AB$交$AC$于点$E$,连接$CD$,$BE$交于点$F$.
(1)求证:$CE=DE$;
(2)若$D$为$AB$的中点,求$∠ AED$的度数.

6.(1)证明:$\because DE⊥ AB,∠ ACB=90°,$
$\therefore △ BCE$ 与$△ BDE$ 都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$ 和$\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$\begin{cases} BE=BE,\\ BC=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ BDE(\mathrm{HL}),$
$\therefore CE=DE.$
(2)解:$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ ADE=∠ BDE=90°.$
$\because D$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AD=BD.$
又$\because DE=DE,\therefore △ ADE≌△ BDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ AED=∠ DEB.$
$\because △ BCE≌△ BDE(\mathrm{已证}),$
$\therefore ∠ CEB=∠ DEB,\therefore ∠ AED=∠ DEB=∠ CEB.$
$\because ∠ AED+∠ DEB+∠ CEB=180°,$
$\therefore ∠ AED=60°.$

【分析】
(1)要证CE=DE，可先证明两条边所在的直角三角形全等。观察可知CE在Rt△BCE中，DE在Rt△BDE中，已知BC=BD，BE是两个三角形的公共斜边，符合直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后即可推出对应边CE=DE。
(2)已知DE⊥AB，D为AB中点，可得AD=BD、∠ADE=∠BDE=90°，结合公共边DE可通过SAS证明△ADE≌△BDE，得到∠AED=∠DEB；再结合(1)中证得的△BCE≌△BDE，可得∠CEB=∠DEB，此时∠AED、∠DEB、∠CEB三个角组成平角，和为180°，代入等量关系即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1)证明：$\because DE⊥ AB,∠ ACB=90°,$
$\therefore △ BCE$ 与$△ BDE$ 都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$ 和$\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$\begin{cases} BE=BE,\\ BC=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ BDE(\mathrm{HL}),$
$\therefore CE=DE.$
(2)解：$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ ADE=∠ BDE=90°.$
$\because D$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AD=BD.$
又$\because DE=DE,\therefore △ ADE≌△ BDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ AED=∠ DEB.$
$\because △ BCE≌△ BDE(\mathrm{已证}),$
$\therefore ∠ CEB=∠ DEB,\therefore ∠ AED=∠ DEB=∠ CEB.$
$\because ∠ AED+∠ DEB+∠ CEB=180°,$
$\therefore ∠ AED=60°.$
【答案】
(1)$CE=DE$，证明成立；
(2)$∠AED=60°$
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；平角的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题的关键是准确找到待证边、角对应的全等三角形，同时注意前一问的结论可作为后一问的已知条件使用，解题过程要保证逻辑严谨、步骤完整。
【难度系数】
0.7