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11. 已知 $3x+1$ 的算术平方根是 $4$，$x+2y$ 的立方根是 $-1$，
(1) 求 $x$、$y$ 的值.
(2) 求 $2x-5y$ 的平方根.
(1) 求 $x$、$y$ 的值.
(2) 求 $2x-5y$ 的平方根.
答案
(1)根据题意,得 3x+1=4²=16,x+2y=(-1)³=-1,解得 x=5,y=-3.
(2)由(1),得 x=5,y=-3,
∴2x-5y=2×5-5×(-3)=25,
∴2x-5y 的平方根为±5.
(2)由(1),得 x=5,y=-3,
∴2x-5y=2×5-5×(-3)=25,
∴2x-5y 的平方根为±5.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：先回忆算术平方根和立方根的定义：若一个非负数的算术平方根为$b$，则这个数等于$b^2$；若一个数的立方根为$b$，则这个数等于$b^3$。根据题目给出的两个条件分别列方程，解方程即可求出$x$、$y$的值。
2. 解决第(2)问：将第(1)问求出的$x$、$y$代入$2x-5y$计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求解即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 根据题意，结合算术平方根的定义可得：
$3x+1=4^2=16$
解得：$3x=15$，$x=5$
再结合立方根的定义可得：
$x+2y=(-1)^3=-1$
将$x=5$代入上式：
$5+2y=-1$
解得：$2y=-6$，$y=-3$
(2) 将$x=5$，$y=-3$代入$2x-5y$得：
$2x-5y=2×5 -5×(-3)=10+15=25$
根据平方根的定义，25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$
【答案】
(1)$x=5$，$y=-3$；(2)$\pm5$
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义、平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查根式相关概念的应用，解题关键是熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义，根据定义建立方程求解未知数，计算平方根时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：先回忆算术平方根和立方根的定义：若一个非负数的算术平方根为$b$，则这个数等于$b^2$；若一个数的立方根为$b$，则这个数等于$b^3$。根据题目给出的两个条件分别列方程，解方程即可求出$x$、$y$的值。
2. 解决第(2)问：将第(1)问求出的$x$、$y$代入$2x-5y$计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求解即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 根据题意，结合算术平方根的定义可得：
$3x+1=4^2=16$
解得：$3x=15$，$x=5$
再结合立方根的定义可得：
$x+2y=(-1)^3=-1$
将$x=5$代入上式：
$5+2y=-1$
解得：$2y=-6$，$y=-3$
(2) 将$x=5$，$y=-3$代入$2x-5y$得：
$2x-5y=2×5 -5×(-3)=10+15=25$
根据平方根的定义，25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$
【答案】
(1)$x=5$，$y=-3$；(2)$\pm5$
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义、平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查根式相关概念的应用，解题关键是熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义，根据定义建立方程求解未知数，计算平方根时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在平面直角坐标系中,点B、A分别在x轴、y轴的正半轴上,AB=8.以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,点C落在第四象限内,连接OC.取边AB的中点D,连接OD交AC于点E.
(1)求OD的长.
(2)若OA=OC,求四边形AOCB的面积.
(1)求OD的长.
(2)若OA=OC,求四边形AOCB的面积.
答案
(1)
∵OA⊥OB,AB=8,D 为边 AB 的中点,
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=4.
(2)如图,连接 CD. 由题意,得 AC=BC,∠ACB=90°,
∴AC²+BC²=AB². 又
∵AB=8,
∴2AC²=8²,解得 AC=4√2(负值已舍去).
∵D 是 AB 的中点,AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边,
∴CD⊥AB,CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4. 又
∵OA=OC,
∴点 O、D 在线段 AC 的垂直平分线上,即 OD 垂直平分 AC,
∴OD⊥AC,AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=2√2. 由(1),得 OD=4,
∴S四边形AOCB = S△AOD + S△COD + S△CDB = $\frac{1}{2}$OD·AE + $\frac{1}{2}$OD·CE + $\frac{1}{2}$CD·BD = $\frac{1}{2}$×4×2√2 + $\frac{1}{2}$×4×2√2 + $\frac{1}{2}$×4×4 = 8√2 + 8.
解析
【分析】
(1) 由平面直角坐标系的性质可知∠AOB=90°，即△AOB是直角三角形，已知D是AB的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，代入AB的长度即可直接求出OD的长。
(2) 先根据等腰直角△ABC的性质，结合勾股定理求出直角边AC的长度；再利用等腰直角三角形斜边中线的性质，得到CD⊥AB且CD=AD=BD；已知OA=OC，结合CD=AD可判断点O、D都在AC的垂直平分线上，即OD垂直平分AC，得到AE=CE的长度；最后将四边形AOCB的面积拆分为△AOD、△COD、△CDB三个三角形的面积之和，分别计算各部分面积后相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵OA⊥OB，AB=8，D为边AB的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=4。
(2) 如图，连接CD。由题意，得AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²。又
∵AB=8，
∴2AC²=8²，解得AC=4√2(负值已舍去)。
∵D是AB的中点，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4。
又
∵OA=OC，
∴点O、D在线段AC的垂直平分线上，即OD垂直平分AC，
∴OD⊥AC，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=2√2。
由(1)得OD=4，
∴$S_{四边形AOCB} = S_{△ AOD} + S_{△ COD} + S_{△ CDB} = \frac{1}{2}OD·AE + \frac{1}{2}OD·CE + \frac{1}{2}CD·BD = \frac{1}{2}×4×2\sqrt{2} + \frac{1}{2}×4×2\sqrt{2} + \frac{1}{2}×4×4 = 8\sqrt{2} + 8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}+8}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题综合考查了特殊三角形的性质与不规则图形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，学会用分割法将不规则四边形的面积转化为多个规则三角形的面积和进行求解。
【难度系数】
0.6
(1) 由平面直角坐标系的性质可知∠AOB=90°，即△AOB是直角三角形，已知D是AB的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，代入AB的长度即可直接求出OD的长。
(2) 先根据等腰直角△ABC的性质，结合勾股定理求出直角边AC的长度；再利用等腰直角三角形斜边中线的性质，得到CD⊥AB且CD=AD=BD；已知OA=OC，结合CD=AD可判断点O、D都在AC的垂直平分线上，即OD垂直平分AC，得到AE=CE的长度；最后将四边形AOCB的面积拆分为△AOD、△COD、△CDB三个三角形的面积之和，分别计算各部分面积后相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵OA⊥OB，AB=8，D为边AB的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=4。
(2) 如图，连接CD。由题意，得AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²。又
∵AB=8，
∴2AC²=8²，解得AC=4√2(负值已舍去)。
∵D是AB的中点，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4。
又
∵OA=OC，
∴点O、D在线段AC的垂直平分线上，即OD垂直平分AC，
∴OD⊥AC，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=2√2。
由(1)得OD=4，
∴$S_{四边形AOCB} = S_{△ AOD} + S_{△ COD} + S_{△ CDB} = \frac{1}{2}OD·AE + \frac{1}{2}OD·CE + \frac{1}{2}CD·BD = \frac{1}{2}×4×2\sqrt{2} + \frac{1}{2}×4×2\sqrt{2} + \frac{1}{2}×4×4 = 8\sqrt{2} + 8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}+8}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题综合考查了特殊三角形的性质与不规则图形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，学会用分割法将不规则四边形的面积转化为多个规则三角形的面积和进行求解。
【难度系数】
0.6
13. 学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好、扩大求知领域、陶冶思想情操、展示才华智慧的舞台. 某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动. 与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品. 经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元.
(1)求A、B两种奖品的单价.
(2)学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍. 设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？
(1)求A、B两种奖品的单价.
(2)学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍. 设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？
答案
(1)设 A 种奖品的单价为 x 元,B 种奖品的单价为 y 元. 根据题意,得 $\begin{cases}2x+y=64,\\x+4y=88,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=24,\\y=16,\end{cases}$ 答:A 种奖品的单价为 24 元,B 种奖品的单价为 16 元.
(2)由题意可知,购买 B 种奖品(60-a)个,则 a＞2(60-a),
∴a＞40. 设学校购买奖品的花费为 w 元,则 w=24a+16(60-a)=8a+960.
∵8＞0,
∴w 随 a 的增大而增大.
∵a 为正整数,
∴当 a=41 时,w 有最小值,w 的最小值为 8×41+960=1288(元),此时 60-a=19. 答:购买 A 种奖品 41 个、B 种奖品 19 个时花费最少,最少为 1288 元.
(2)由题意可知,购买 B 种奖品(60-a)个,则 a＞2(60-a),
∴a＞40. 设学校购买奖品的花费为 w 元,则 w=24a+16(60-a)=8a+960.
∵8＞0,
∴w 随 a 的增大而增大.
∵a 为正整数,
∴当 a=41 时,w 有最小值,w 的最小值为 8×41+960=1288(元),此时 60-a=19. 答:购买 A 种奖品 41 个、B 种奖品 19 个时花费最少,最少为 1288 元.
解析
【分析】
（1）第一问求两种奖品的单价，题目给出了两种购买组合的总花费，包含两个明确的等量关系：①2个A种奖品费用+1个B种奖品费用=64元；②1个A种奖品费用+4个B种奖品费用=88元，因此可设A、B单价分别为x元、y元，列二元一次方程组求解即可。
（2）第二问求花费最少的购买方案，首先根据“A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍”的不等关系，列不等式求出A种奖品数量a的取值范围；再结合两种奖品的单价，列出总花费w关于a的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合a的取值范围和a为正整数的特点，找到使w最小的a值，即可得到最优方案和最少花费。
【解析】
(1) 设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}2x+y=64\\x+4y=88\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$y=64-2x$，代入第二个方程得$x+4(64-2x)=88$，解得$x=24$，将$x=24$代入$y=64-2x$得$y=16$，即方程组的解为$\begin{cases}x=24\\y=16\end{cases}$。
(2) 已知购买A种奖品a个，则购买B种奖品$(60-a)$个。
根据题意得不等式：$a＞2(60-a)$，解得$a＞40$。
设购买奖品的总花费为w元，则$w=24a+16(60-a)=8a+960$。
∵一次函数中$k=8＞0$，
∴w随a的增大而增大。
又
∵a为正整数且$a＞40$，
∴当a取最小正整数41时，w取得最小值。
此时$60-a=19$，最小花费$w=8×41+960=1288$元。
【答案】
(1) A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元；
(2) 购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少花费为1288元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 一元一次不等式应用
3. 一次函数最值应用
【点评】
本题是结合生活场景的综合应用题，核心考察学生梳理等量关系、不等关系的能力，以及运用一次函数增减性求解最优方案的能力，题型经典，实用性强，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求两种奖品的单价，题目给出了两种购买组合的总花费，包含两个明确的等量关系：①2个A种奖品费用+1个B种奖品费用=64元；②1个A种奖品费用+4个B种奖品费用=88元，因此可设A、B单价分别为x元、y元，列二元一次方程组求解即可。
（2）第二问求花费最少的购买方案，首先根据“A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍”的不等关系，列不等式求出A种奖品数量a的取值范围；再结合两种奖品的单价，列出总花费w关于a的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合a的取值范围和a为正整数的特点，找到使w最小的a值，即可得到最优方案和最少花费。
【解析】
(1) 设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}2x+y=64\\x+4y=88\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$y=64-2x$，代入第二个方程得$x+4(64-2x)=88$，解得$x=24$，将$x=24$代入$y=64-2x$得$y=16$，即方程组的解为$\begin{cases}x=24\\y=16\end{cases}$。
(2) 已知购买A种奖品a个，则购买B种奖品$(60-a)$个。
根据题意得不等式：$a＞2(60-a)$，解得$a＞40$。
设购买奖品的总花费为w元，则$w=24a+16(60-a)=8a+960$。
∵一次函数中$k=8＞0$，
∴w随a的增大而增大。
又
∵a为正整数且$a＞40$，
∴当a取最小正整数41时，w取得最小值。
此时$60-a=19$，最小花费$w=8×41+960=1288$元。
【答案】
(1) A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元；
(2) 购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少花费为1288元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 一元一次不等式应用
3. 一次函数最值应用
【点评】
本题是结合生活场景的综合应用题，核心考察学生梳理等量关系、不等关系的能力，以及运用一次函数增减性求解最优方案的能力，题型经典，实用性强，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
