14. 如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”，
(1)如图 1，三角形内角分别为 $80°$、$25°$、$75°$，这个三角形 ______（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”.
(2)如图 2，在$△ ABC$中，$∠ B=2∠ C$，线段 $AC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $E$，交 $BC$ 于点 $D$.求证：$AD$ 是$△ ABC$ 的一条“准黄金线”.
(3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数.

(1)存在 解析:如图 1,作 AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,连接 AD,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠C=25°,
∴△ADC 是等腰三角形.
∵∠B=80°,∠ADB=∠C+∠DAC=25°+25°=50°,∠BAD=75°-25°=50°,
∴∠BAD=∠ADB,
∴AB=BD,
∴△ABD 是等腰三角形,
∴这个三角形存在“准黄金线”AD.
(2)证明:如图 2,设∠C=x,则∠B=2x.
∵DE 是 AC 的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠C=x,
∴∠ADB=∠DAC+∠C=2x,
∴∠B=∠ADB,
∴AB=AD,
∴△ABD 和△ADC 都是等腰三角形,
∴AD 是△ABC 的一条“准黄金线”.
(3)一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”,有以下四种情况:①如图 3,AC=BC,AD=DC=DB,
∴CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∵△ABC 是一个“准黄金三角形”,
∴△ADC 和△BDC 都是等腰三角形,
∴∠ACB=45°+45°=90°,即等腰三角形的顶角为 90°;②如图 4,设∠A=x,
∵AB=AC,AD=BD=BC,
∴∠A=∠ABD=x,∠C=∠BDC=∠ABC=x+x=2x,则 x+2x+2x=180°,解得 x=36°,即等腰三角形的顶角为 36°;③如图 5,
∵AB=AC,AD=BD,AC=CD,
∴∠B=∠C=∠BAD,∠CAD=∠CDA,
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B,
∴∠BAC=3∠B,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°,
∴∠BAC=108°,即等腰三角形的顶角为 108°;④如图 6,
∵AB=AC,AD=BD,CD=BC,
∴∠ABC=∠C,∠BAC=∠ABD,∠CDB=∠CBD,
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC,
∴∠ABC=∠C=3∠BAC,
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,
∴7∠BAC=180°,
∴∠BAC=$(\frac{180}{7})°$,即等腰三角形的顶角为$(\frac{180}{7})°$. 综上所述,符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是 90°或 36°或 108°或$(\frac{180}{7})°$.

【分析】
(1) 首先明确“准黄金线”的定义：过三角形顶点的线段将其分成两个等腰三角形。我们可以尝试从∠A中分割出与∠C相等的25°角，构造等腰△ADC，再验证剩下的△ABD是否为等腰三角形，即可判断是否存在准黄金线。
(2) 要证明AD是准黄金线，需证明AD分割出的△ADC和△ABD都是等腰三角形。首先根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，即△ADC是等腰三角形；再结合已知∠B=2∠C，利用三角形外角的性质推出∠ADB=∠B，即可得到△ABD也是等腰三角形，从而得证。
(3) 等腰三角形是“准黄金三角形”时，需分情况讨论：分割线从顶角顶点出发、从底角顶点出发两种大类，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理列方程求解，逐一验证得到所有符合条件的顶角度数，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 理由如下：
如图1，作AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，
根据线段垂直平分线的性质得AD=CD，
∴∠DAC=∠C=25°，即△ADC是等腰三角形。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=25°+25°=50°，
又
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=75°-25°=50°，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，即△ABD是等腰三角形，
因此AD是该三角形的准黄金线，故这个三角形存在“准黄金线”。
(2) 证明：设∠C=x，则∠B=2x。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠DAC=∠C=x，即△ADC是等腰三角形。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=x+x=2x，
∴∠ADB=∠B，
∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形。
∴△ABD和△ADC都是等腰三角形，故AD是△ABC的一条“准黄金线”。
(3) 分以下四种情况讨论：
① 如图3，AC=BC，分割线CD从顶角C出发，AD=DC=DB，
可得CD⊥AB，∠ADC=∠BDC=90°，△ADC、△BDC均为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，顶角∠ACB=90°；
② 如图4，AB=AC，分割线BD从底角B出发，AD=BD=BC，
设顶角∠A=x，则∠ABD=∠A=x，∠C=∠BDC=∠ABC=2x，
由三角形内角和得x+2x+2x=180°，解得x=36°，即顶角为36°；
③ 如图5，AB=AC，分割线BD从底角B出发，AD=BD，AC=CD，
设∠B=∠C=∠BAD=x，则∠CDA=∠CAD=2x，
∴顶角∠BAC=3x，由内角和得3x+x+x=180°，解得x=36°，故顶角∠BAC=108°；
④ 如图6，AB=AC，分割线BD从底角B出发，AD=BD，CD=BC，
设顶角∠BAC=x，则∠ABD=x，∠BDC=2x=∠CBD，
∴∠ABC=∠C=3x，由内角和得x+3x+3x=180°，解得x=$(\frac{180}{7})°$，即顶角为$(\frac{180}{7})°$。
综上，符合条件的等腰三角形顶角的度数为90°、36°、108°、$(\frac{180}{7})°$。
【答案】
(1) 存在
(2) 证明见解析
(3) 90°或36°或108°或$(\frac{180}{7})°$

【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题以新定义“准黄金线”“准黄金三角形”为背景，考查了三角形相关性质的综合应用。解题关键是准确理解新定义，结合等腰三角形性质、内外角关系推导，第三问需要运用分类讨论思想，全面考虑不同的分割情况，避免漏解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

15. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=\frac{4}{3}x+8$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A$、$B$,$C$是线段$OB$上一点,将$△ OAC$沿着$AC$折叠,点$O$落在点$D$处,连接$BD$.
(1)求点$A$、$B$的坐标.
(2)若点$D$落在线段$AB$上,求点$C$的坐标.
(3)在$x$轴是否存在一点$P$,使$∠ ABP=45°$? 若存在,请直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)对于 $y=\frac{4}{3}x+8$,令 x=0,则 y=8,令 y=0,则 $\frac{4}{3}x+8=0$,解得 x=-6,
∴点 A 的坐标为(-6,0),点 B 的坐标为(0,8).
(2)如图 1,由(1)得 OA=6,OB=8,
∴AB=10,由折叠可知,OA=AD=6,则 BD=10-6=4,设 CO=m=CD,则 BC=8-m.
∵BC²=BD²+CD²,
∴(8-m)²=4²+m²,解得 m=3,即点 C 的坐标为(0,3).
(3)当点 P 在 y 轴右侧时,如图 2,过点 A 作 AH⊥BP 于点 H,过点 H 作 MN⊥x 轴于点 N,过点 B 作 BM⊥MN 于点 M,则△BAH 为等腰直角三角形,
∴AH=BH. 设点 H(x,y),则∠MHB+∠AHN=90°,∠AHN+∠HAN=90°,
∴∠MHB=∠HAN. 在△ANH 和△HMB 中, $\begin{cases}∠ANH=∠HMB,\\∠HAN=∠BHM,\\AH=HB,\end{cases}$
∴△ANH≌△HMB(AAS),
∴MH=AN,BM=HN,即 x+6=8-y,x=y,解得 x=y=1,即点 H(1,1),
∴直线 BH 的表达式为 y=-7x+8,则点 P$(\frac{8}{7},0)$;当点 P(P')在 y 轴左侧时,则 PB⊥P'B,则直线 P'B 的表达式为 y=$\frac{1}{7}$x+8,则点 P'(-56,0). 综上所述,点 P 的坐标为$(\frac{8}{7},0)$或(-56,0).

【分析】
(1) 求直线与坐标轴的交点，只需分别令x=0求对应y值得到与y轴交点B，令y=0求对应x值得到与x轴交点A，是一次函数的基础应用。
(2) 先利用勾股定理计算AB的长度，结合折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，可得AD=OA，CD=OC，∠BDC为直角，设OC为m，用含m的式子表示BC，再在Rt△BCD中用勾股定理列方程求解m，即可得到C点坐标。
(3) 需分两种情况讨论：①点P在y轴右侧时，构造等腰直角△ABH，再作水平竖直辅助线构造全等三角形，求出H点坐标后推导直线BP的解析式，求其与x轴的交点即为P；②点P在y轴左侧时，利用两直线垂直的关系推导对应直线BP的解析式，求与x轴交点即可，最后综合两种情况得到所有符合要求的P点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{4}{3}x+8$：
令$x=0$，代入得$y=8$，$\therefore$点B坐标为$(0,8)$；
令$y=0$，代入得$\frac{4}{3}x+8=0$，解得$x=-6$，$\therefore$点A坐标为$(-6,0)$。
(2) 由(1)得$OA=6$，$OB=8$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠性质可知：$AD=OA=6$，$CD=OC$，$∠ ADC=∠ AOC=90°$，$\therefore∠ BDC=90°$，$BD=AB-AD=10-6=4$。
设$OC=m$，则$CD=m$，$BC=8-m$，在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得$BC^2=BD^2+CD^2$，代入得：
$(8-m)^2=4^2+m^2$
展开化简得$64-16m=16$，解得$m=3$，$\therefore$点C的坐标为$(0,3)$。
(3) 存在，分两种情况讨论：
①当点P在y轴右侧时，过点A作$AH⊥ BP$于点H，过点H作$MN⊥ x$轴于点N，过点B作$BM⊥ MN$于点M。
$\because∠ ABP=45°$，$∠ AHB=90°$，$\therefore△ BAH$为等腰直角三角形，$AH=BH$。
$\because∠ MHB+∠ AHN=90°$，$∠ AHN+∠ HAN=90°$，$\therefore∠ MHB=∠ HAN$。
在$△ ANH$和$△ HMB$中：
$\begin{cases}∠ ANH=∠ HMB=90°\\∠ HAN=∠ BHM\\AH=HB\end{cases}$
$\therefore△ ANH≌△ HMB(AAS)$，$\therefore MH=AN$，$BM=HN$。
设$H(x,y)$，则$\begin{cases}x+6=8-y\\x=y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$，即$H(1,1)$。
设直线BH解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,8)$、$H(1,1)$得$\begin{cases}b=8\\k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-7\\b=8\end{cases}$，即$y=-7x+8$。
令$y=0$，得$-7x+8=0$，解得$x=\frac{8}{7}$，即$P(\frac{8}{7},0)$。
②当点P在y轴左侧时，此时$PB⊥ P'B$，同理可求直线$P'B$的解析式为$y=\frac{1}{7}x+8$，令$y=0$，得$\frac{1}{7}x+8=0$，解得$x=-56$，即$P(-56,0)$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$(-6,0)$，点B的坐标为$(0,8)$；
(2) 点C的坐标为$(0,3)$；
(3) 存在，点P的坐标为$(\frac{8}{7},0)$或$(-56,0)$。
【知识点】
一次函数的图象与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合题，覆盖了一次函数基础应用、勾股定理、折叠性质、全等证明等多个考点，解题时要灵活运用数形结合和分类讨论的思想，避免漏解。
【难度系数】
0.6