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7.若四边形的四个外角度数之比为1:2:3:4，则它的最大的内角度数为
144°
.答案
7.144°
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形外角和的固定性质：任意多边形的外角和都为360°，四边形也符合该性质。已知四个外角的度数比，我们可以通过设未知数的方式，结合外角和列方程求出各个外角的度数。又因为多边形的内角与相邻外角互为邻补角，和为180°，所以最小的外角对应的内角就是最大的内角，用180°减去最小外角度数即可得到结果。
【解析】
设四边形四个外角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$、$4x$。
根据多边形外角和定理，四边形外角和为360°，可列方程：
$x + 2x + 3x + 4x = 360°$
合并同类项得：$10x = 360°$
解得：$x = 36°$
则四个外角度数分别为$36°$、$72°$、$108°$、$144°$。
因为内角与相邻外角和为$180°$，所以最小的外角对应最大的内角，最大内角度数为：
$180° - 36° = 144°$
【答案】
144°
【知识点】
多边形外角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题关键是牢记多边形外角和恒为360°，同时注意内角和外角的互补关系，避免出现“最大外角对应最大内角”的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多边形外角和的固定性质：任意多边形的外角和都为360°，四边形也符合该性质。已知四个外角的度数比，我们可以通过设未知数的方式，结合外角和列方程求出各个外角的度数。又因为多边形的内角与相邻外角互为邻补角，和为180°，所以最小的外角对应的内角就是最大的内角，用180°减去最小外角度数即可得到结果。
【解析】
设四边形四个外角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$、$4x$。
根据多边形外角和定理，四边形外角和为360°，可列方程：
$x + 2x + 3x + 4x = 360°$
合并同类项得：$10x = 360°$
解得：$x = 36°$
则四个外角度数分别为$36°$、$72°$、$108°$、$144°$。
因为内角与相邻外角和为$180°$，所以最小的外角对应最大的内角，最大内角度数为：
$180° - 36° = 144°$
【答案】
144°
【知识点】
多边形外角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题关键是牢记多边形外角和恒为360°，同时注意内角和外角的互补关系，避免出现“最大外角对应最大内角”的错误。
【难度系数】
0.8
8. 如图所示,某伸缩门每行由 20 个菱形组成.已知每个菱形的周长为 240 cm,当$∠ A=60°$时,该伸缩门的宽度为________m.
答案
8.12
解析
【分析】
解题时先利用菱形四边相等的性质，由周长算出菱形的边长；再结合∠A=60°的条件，判断出菱形较短对角线和边长相等（因为两边相等且夹角为60°的三角形是等边三角形）；最后用单个菱形较短对角线的长度乘以菱形总个数，换算单位后即可得到伸缩门的总宽度。
【解析】
1. 计算菱形的边长：
菱形的四条边长度相等，已知每个菱形周长为240cm，因此边长为 $240÷4=60\ \mathrm{cm}$。
2. 求菱形较短对角线的长度：
菱形的邻边相等，即 $AB=AD$，又因为 $∠ A=60°$，所以 $△ ABD$ 是等边三角形，因此较短对角线 $BD=AB=60\ \mathrm{cm}$，该长度就是单个菱形对应伸缩门宽度方向的长度。
3. 计算总宽度：
一行共有20个菱形，因此总宽度为 $20×60=1200\ \mathrm{cm}$，换算单位得 $1200\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
12
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，长度单位换算
【点评】
本题结合生活中伸缩门的实际场景，考查基础几何性质的应用，解题核心是明确伸缩门宽度和菱形短对角线的对应关系，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算失误失分。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形四边相等的性质，由周长算出菱形的边长；再结合∠A=60°的条件，判断出菱形较短对角线和边长相等（因为两边相等且夹角为60°的三角形是等边三角形）；最后用单个菱形较短对角线的长度乘以菱形总个数，换算单位后即可得到伸缩门的总宽度。
【解析】
1. 计算菱形的边长：
菱形的四条边长度相等，已知每个菱形周长为240cm，因此边长为 $240÷4=60\ \mathrm{cm}$。
2. 求菱形较短对角线的长度：
菱形的邻边相等，即 $AB=AD$，又因为 $∠ A=60°$，所以 $△ ABD$ 是等边三角形，因此较短对角线 $BD=AB=60\ \mathrm{cm}$，该长度就是单个菱形对应伸缩门宽度方向的长度。
3. 计算总宽度：
一行共有20个菱形，因此总宽度为 $20×60=1200\ \mathrm{cm}$，换算单位得 $1200\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
12
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，长度单位换算
【点评】
本题结合生活中伸缩门的实际场景，考查基础几何性质的应用，解题核心是明确伸缩门宽度和菱形短对角线的对应关系，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算失误失分。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示，某兴趣小组需在正方形纸板 $ABCD$ 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 $E$ 在对角线 $BD$ 上，且满足 $DE = DA$，则 $∠ BAE$ 的度数为 ______。
答案
9.22.5°
解析
【分析】
要求∠BAE的度数，首先结合正方形的性质，可知∠BAD为90°，对角线BD平分内角，可得∠ADB=45°；再根据DE=DA，可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，算出∠DAE的度数，最后用∠BAD减去∠DAE即可得到∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB=45°。
∵DE=DA，
∴△ADE为等腰三角形，∠DAE=∠DEA。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DAE = \frac{180° - ∠ ADB}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$，
∴$∠ BAE = ∠ BAD - ∠ DAE = 90° - 67.5° = 22.5°$。
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题核心是熟练运用正方形和等腰三角形的性质，梳理清楚各角度之间的数量关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要求∠BAE的度数，首先结合正方形的性质，可知∠BAD为90°，对角线BD平分内角，可得∠ADB=45°；再根据DE=DA，可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，算出∠DAE的度数，最后用∠BAD减去∠DAE即可得到∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB=45°。
∵DE=DA，
∴△ADE为等腰三角形，∠DAE=∠DEA。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DAE = \frac{180° - ∠ ADB}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$，
∴$∠ BAE = ∠ BAD - ∠ DAE = 90° - 67.5° = 22.5°$。
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题核心是熟练运用正方形和等腰三角形的性质，梳理清楚各角度之间的数量关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
10.如图所示,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作$EF ⊥ BD$于点F,$EG ⊥ AC$于点G.若$AC=12$,$BD=16$,则FG的长为
5
.答案
10.5
解析
【分析】
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到△COD是直角三角形，算出OC、OD的长度。接着观察EG、EF分别垂直于AC、BD，结合AC⊥BD可判定四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，将求FG的长度转化为求OE的长度。最后结合勾股定理算出CD的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得到FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OD=\frac{1}{2}BD=8$
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD
∴∠GOF=∠OGE=∠OFE=90°
∴四边形OGEF是矩形
∴FG=OE
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵E是CD的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$OE=\frac{1}{2}CD=5$
∴FG=OE=5
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过矩形的性质实现未知线段的转化，把求FG的长度转化为求OE的长度，简化了计算过程，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到△COD是直角三角形，算出OC、OD的长度。接着观察EG、EF分别垂直于AC、BD，结合AC⊥BD可判定四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，将求FG的长度转化为求OE的长度。最后结合勾股定理算出CD的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得到FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OD=\frac{1}{2}BD=8$
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD
∴∠GOF=∠OGE=∠OFE=90°
∴四边形OGEF是矩形
∴FG=OE
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵E是CD的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$OE=\frac{1}{2}CD=5$
∴FG=OE=5
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过矩形的性质实现未知线段的转化，把求FG的长度转化为求OE的长度，简化了计算过程，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
11.已知一个正多边形的内角和比外角和多$720°$.
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形每个内角的度数.
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形每个内角的度数.
答案
11.解:(1)设这个多边形的边数是n，
则$(n-2)·180°=360°+720°$.
解得$n=8$.
答:这个多边形的边数为8.
(2)由(1),得这个八边形的内角和为$(8-2)×180°=1 080°$,
∴这个八边形每个内角的度数为$1 080°÷8=135°$.
答:这个多边形每个内角的度数为$135°$.
则$(n-2)·180°=360°+720°$.
解得$n=8$.
答:这个多边形的边数为8.
(2)由(1),得这个八边形的内角和为$(8-2)×180°=1 080°$,
∴这个八边形每个内角的度数为$1 080°÷8=135°$.
答:这个多边形每个内角的度数为$135°$.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心结论：①任意多边形的外角和固定为360°，和边数无关；②n边形的内角和公式为$(n-2)·180°$。第(1)问可设边数为n，根据“内角和=外角和+720°”的等量关系列方程，求解即可得到边数；第(2)问正多边形的每个内角都相等，用第(1)问求出的边数代入内角和公式算出总内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数是n，
根据题意列方程：
$(n-2)·180°=360°+720°$
化简得$(n-2)·180°=1080°$，
解得$n=8$。
答：这个多边形的边数为8。
(2) 由(1)可知该多边形为正八边形，
正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
因为正多边形每个内角相等，所以单个内角度数为$1080°÷8=135°$。
答：这个多边形每个内角的度数为$135°$。
【答案】
(1) 8；(2) $135°$
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和定理、正多边形性质
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础题，解题关键是牢记多边形外角和的固定值，熟练运用内角和公式建立方程求解，结合正多边形内角相等的性质即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心结论：①任意多边形的外角和固定为360°，和边数无关；②n边形的内角和公式为$(n-2)·180°$。第(1)问可设边数为n，根据“内角和=外角和+720°”的等量关系列方程，求解即可得到边数；第(2)问正多边形的每个内角都相等，用第(1)问求出的边数代入内角和公式算出总内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数是n，
根据题意列方程：
$(n-2)·180°=360°+720°$
化简得$(n-2)·180°=1080°$，
解得$n=8$。
答：这个多边形的边数为8。
(2) 由(1)可知该多边形为正八边形，
正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
因为正多边形每个内角相等，所以单个内角度数为$1080°÷8=135°$。
答：这个多边形每个内角的度数为$135°$。
【答案】
(1) 8；(2) $135°$
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和定理、正多边形性质
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础题，解题关键是牢记多边形外角和的固定值，熟练运用内角和公式建立方程求解，结合正多边形内角相等的性质即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
12. 如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BA,DC的延长线上,且$BE=DF$.连接AF,交BC于点H,连接EC.求证:四边形EAFC是平行四边形.
答案
12.证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AB=CD$.
∵点E,F分别在BA,DC的延长线上,且$BE=DF$,$\therefore AE// CF$,$BE-AB=DF-CD$.
$\therefore AE=CF$.
∴四边形EAFC是平行四边形.
∵四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AB=CD$.
∵点E,F分别在BA,DC的延长线上,且$BE=DF$,$\therefore AE// CF$,$BE-AB=DF-CD$.
$\therefore AE=CF$.
∴四边形EAFC是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形EAFC是平行四边形，可选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理来推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，再结合点E、F的位置可推出AE和CF互相平行；之后根据已知条件BE=DF，通过线段的和差运算得到AE=CF，此时待证四边形满足一组对边平行且相等的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵点E，F分别在BA，DC的延长线上，且$BE=DF$，
∴$AE// CF$，$BE-AB=DF-CD$，
∴$AE=CF$。
∴四边形EAFC是平行四边形。
【答案】
证明过程如上所述，可证得四边形EAFC是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形性质与判定的基础应用类题目，解题关键是结合已知条件选择合适的判定定理，通过简单的线段和差推导即可得到结论，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明四边形EAFC是平行四边形，可选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理来推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，再结合点E、F的位置可推出AE和CF互相平行；之后根据已知条件BE=DF，通过线段的和差运算得到AE=CF，此时待证四边形满足一组对边平行且相等的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵点E，F分别在BA，DC的延长线上，且$BE=DF$，
∴$AE// CF$，$BE-AB=DF-CD$，
∴$AE=CF$。
∴四边形EAFC是平行四边形。
【答案】
证明过程如上所述，可证得四边形EAFC是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形性质与判定的基础应用类题目，解题关键是结合已知条件选择合适的判定定理，通过简单的线段和差推导即可得到结论，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 如图所示，在$△ ABC$中，$D,E$分别是$AB,AC$的中点，$AC=12$，$F$是$DE$上一点，且$DF=1$，连接$AF,CF$。若$∠ AFC=90°$，则$BC$的长为（
A.$12$
B.$13$
C.$14$
D.$15$
C
）A.$12$
B.$13$
C.$14$
D.$15$
答案
13.C
解析
【分析】
解题可按三步推导：①先观察Rt△AFC，已知E是AC中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，先求出EF的长度；②已知DF的长度，相加可得DE的总长度；③最后根据D、E是AB、AC中点，可知DE是△ABC的中位线，利用中位线定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵∠AFC=90°，
∴△AFC是直角三角形
∵E是AC的中点，AC=12
∴EF是Rt△AFC斜边AC的中线，根据直角三角形斜边中线性质得：
$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
∵DF=1，
∴$DE=DF+EF=1+6=7$
又
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：
$BC=2DE=2×7=14$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是先利用直角三角形的性质求出线段EF的长度，再结合中位线定理推导第三边长度，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：①先观察Rt△AFC，已知E是AC中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，先求出EF的长度；②已知DF的长度，相加可得DE的总长度；③最后根据D、E是AB、AC中点，可知DE是△ABC的中位线，利用中位线定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵∠AFC=90°，
∴△AFC是直角三角形
∵E是AC的中点，AC=12
∴EF是Rt△AFC斜边AC的中线，根据直角三角形斜边中线性质得：
$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
∵DF=1，
∴$DE=DF+EF=1+6=7$
又
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：
$BC=2DE=2×7=14$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是先利用直角三角形的性质求出线段EF的长度，再结合中位线定理推导第三边长度，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
