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6. 如图所示,在四边形ABCD中,AC和BD是对角线,依据图中所标的角度及线段长度,下列四边形不一定为矩形的是
(
(
D
)答案
6.D
解析
【分析】要判断哪个四边形不一定是矩形，需结合矩形的判定定理逐一分析各选项：首先回忆矩形判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。先判断各选项的四边形是否为平行四边形，再看是否满足矩形的判定条件即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：由$AB=CD=3$，$AD=BC=4$，可知四边形ABCD是平行四边形，又$3^2+4^2=5^2$，即$AB^2+BC^2=AC^2$，故$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定该四边形是矩形。
选项B：由对角线互相平分可知四边形ABCD是平行四边形，又对角线长度均为$2+2=4$，对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定该四边形是矩形。
选项C：四边形四个内角均为直角，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可直接判定该四边形是矩形。
选项D：由$∠ BAC=∠ DCA=40°$得$AB// CD$，由$∠ DAC=∠ BCA=40°$得$AD// BC$，故四边形ABCD是平行四边形，但没有条件能证明有内角是直角，也不能证明对角线相等，因此该平行四边形不一定是矩形。
【答案】D
【知识点】矩形的判定,平行四边形的判定
【点评】本题考查矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形和平行四边形的判定定理，结合图形给出的边长、角度条件逐一验证，注意区分“一定是矩形”和“不一定是矩形”的要求。
【难度系数】0.7
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：由$AB=CD=3$，$AD=BC=4$，可知四边形ABCD是平行四边形，又$3^2+4^2=5^2$，即$AB^2+BC^2=AC^2$，故$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定该四边形是矩形。
选项B：由对角线互相平分可知四边形ABCD是平行四边形，又对角线长度均为$2+2=4$，对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定该四边形是矩形。
选项C：四边形四个内角均为直角，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可直接判定该四边形是矩形。
选项D：由$∠ BAC=∠ DCA=40°$得$AB// CD$，由$∠ DAC=∠ BCA=40°$得$AD// BC$，故四边形ABCD是平行四边形，但没有条件能证明有内角是直角，也不能证明对角线相等，因此该平行四边形不一定是矩形。
【答案】D
【知识点】矩形的判定,平行四边形的判定
【点评】本题考查矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形和平行四边形的判定定理，结合图形给出的边长、角度条件逐一验证，注意区分“一定是矩形”和“不一定是矩形”的要求。
【难度系数】0.7
7. 如图所示,将直角三角尺放置在刻度尺上,斜边上三个点 A,D,B 对应的刻度(单位:cm)分别为 1,4,7,则 CD 的长度为
3
cm.答案
7.3
解析
【分析】
解题时首先观察刻度尺的刻度，先求出斜边AB的总长度，再根据D点的刻度判断D是AB的中点，最后结合直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：由题意得，斜边上点A对应刻度1，点B对应刻度7，
∴AB的长度为：$7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$，
又
∵点D对应刻度为4，
∴$AD = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$，$BD = 7 - 4 = 3\ \mathrm{cm}$，即D是AB的中点，
∵$△ ACB$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，CD是斜边AB的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，刻度尺读数
【点评】
本题结合常见的学习工具三角尺和刻度尺考查几何性质的应用，解题的关键是准确识别出D是斜边AB的中点，熟练掌握直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察刻度尺的刻度，先求出斜边AB的总长度，再根据D点的刻度判断D是AB的中点，最后结合直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：由题意得，斜边上点A对应刻度1，点B对应刻度7，
∴AB的长度为：$7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$，
又
∵点D对应刻度为4，
∴$AD = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$，$BD = 7 - 4 = 3\ \mathrm{cm}$，即D是AB的中点，
∵$△ ACB$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，CD是斜边AB的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，刻度尺读数
【点评】
本题结合常见的学习工具三角尺和刻度尺考查几何性质的应用，解题的关键是准确识别出D是斜边AB的中点，熟练掌握直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若$AD=10$，点C的坐标为$(4,6)$，则点B的坐标为________.
答案
8.$(-6,6)$
解析
【分析】
解题时先结合长方形的性质分析各边和坐标轴的位置关系：首先长方形对边平行且相等，BC与AD平行且长度均为10，AD在x轴上，因此BC平行于x轴，可得B、C两点纵坐标相同；AB垂直于x轴，因此B和A的横坐标相同。接下来先由C点坐标得到B点的纵坐标，再结合AD的长度和D点的横坐标算出A点的横坐标，即可得到B点的横坐标，最终确定B点坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=10，BC//AD，AB⊥AD。
由图可知AD在x轴上，因此BC//x轴，AB//y轴，
∴点B与点C纵坐标相等，点B与点A横坐标相等。
已知点C的坐标为(4,6)，可得点B的纵坐标为6；
点D与点C横坐标相同，因此OD=4，
∵AD=10，
∴AO=AD-OD=10-4=6，
又
∵点A在x轴负半轴，因此点A的横坐标为-6，即点B的横坐标为-6。
综上，点B的坐标为(-6,6)。
【答案】
(-6,6)
【知识点】
长方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是将图形的几何性质和平面直角坐标系的坐标特征结合，通过已知点的坐标和线段长度推导未知点的坐标，有助于训练数形结合的思维。
【难度系数】
0.8
解题时先结合长方形的性质分析各边和坐标轴的位置关系：首先长方形对边平行且相等，BC与AD平行且长度均为10，AD在x轴上，因此BC平行于x轴，可得B、C两点纵坐标相同；AB垂直于x轴，因此B和A的横坐标相同。接下来先由C点坐标得到B点的纵坐标，再结合AD的长度和D点的横坐标算出A点的横坐标，即可得到B点的横坐标，最终确定B点坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=10，BC//AD，AB⊥AD。
由图可知AD在x轴上，因此BC//x轴，AB//y轴，
∴点B与点C纵坐标相等，点B与点A横坐标相等。
已知点C的坐标为(4,6)，可得点B的纵坐标为6；
点D与点C横坐标相同，因此OD=4，
∵AD=10，
∴AO=AD-OD=10-4=6，
又
∵点A在x轴负半轴，因此点A的横坐标为-6，即点B的横坐标为-6。
综上，点B的坐标为(-6,6)。
【答案】
(-6,6)
【知识点】
长方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是将图形的几何性质和平面直角坐标系的坐标特征结合，通过已知点的坐标和线段长度推导未知点的坐标，有助于训练数形结合的思维。
【难度系数】
0.8
9. (传统文化)中国结,象征着中华民族的历史文化与精神.小明家有一个中国结挂饰,他想求两对边的距离,利用所学知识抽象出如图所示的菱形$ABCD$,测得$BO=3$,$CO=4$,直线$EF ⊥ AB$交两对边于点$E$,$F$,则$EF$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
9.$\frac{24}{5}$
解析
【分析】
本题考查菱形相关计算，解题思路如下：首先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合已知BO、CO的长度，用勾股定理求出菱形的边长；接下来利用菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高，EF是菱形两组对边的距离，即边长AB对应的高，通过等面积法列等式即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，AB=BC，AC=2CO=8，BD=2BO=6
在Rt△BOC中，BO=3，CO=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∴ AB=BC=5
菱形ABCD的面积可通过两种方式计算：
方法1：由对角线乘积的一半得 $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$
方法2：由底乘高得 $S_{ABCD}=AB· EF$
∴ $5× EF=24$
解得 $EF=\frac{24}{5}$
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题结合中国结这一传统文化背景出题，核心考查菱形性质及等面积法的应用，解题的关键是熟练掌握菱形面积的两种计算方式，建立等式求解高。
【难度系数】
0.7
本题考查菱形相关计算，解题思路如下：首先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合已知BO、CO的长度，用勾股定理求出菱形的边长；接下来利用菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高，EF是菱形两组对边的距离，即边长AB对应的高，通过等面积法列等式即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，AB=BC，AC=2CO=8，BD=2BO=6
在Rt△BOC中，BO=3，CO=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∴ AB=BC=5
菱形ABCD的面积可通过两种方式计算：
方法1：由对角线乘积的一半得 $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$
方法2：由底乘高得 $S_{ABCD}=AB· EF$
∴ $5× EF=24$
解得 $EF=\frac{24}{5}$
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题结合中国结这一传统文化背景出题，核心考查菱形性质及等面积法的应用，解题的关键是熟练掌握菱形面积的两种计算方式，建立等式求解高。
【难度系数】
0.7
10. 如图所示,两张等宽的纸带交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD是
菱形
.若$AD=6,∠BCD=60°$,则四边形ABCD的面积是$18\sqrt{3}$
.答案
10.菱形 $18\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先，纸带的两组对边互相平行，因此重合部分四边形ABCD的两组对边分别平行，可先判定为平行四边形。其次“等宽纸带”意味着平行四边形两组对边上的高相等，结合平行四边形面积=底×高，可推出平行四边形的邻边相等，邻边相等的平行四边形即为菱形。计算面积时，已知菱形边长和一个内角为60°，可通过作高构造直角三角形，用勾股定理求出高，再用底乘高计算面积。
【解析】
1. 判定四边形ABCD的形状：
∵ 纸带的对边互相平行，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵ 两张纸带宽度相等，
∴ AE=AF。
平行四边形ABCD的面积 = BC·AE = CD·AF，
又
∵ AE=AF，
∴ BC=CD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
2. 计算四边形ABCD的面积：
∵ 四边形ABCD是菱形，AD=6，
∴ CD=AD=BC=6。
过B作BG⊥CD于G，
在Rt△BCG中，∠BCD=60°，
∴ ∠CBG=30°，
∴ CG=$\frac{1}{2}$BC=3，
由勾股定理得：BG=$\sqrt{BC^2-CG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴ 菱形ABCD的面积 = CD·BG = $6×3\sqrt{3}=18\sqrt{3}$。
【答案】
菱形；$18\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的判定；菱形面积计算；平行四边形性质
【点评】
本题结合生活场景考查特殊四边形的判定与面积计算，解题的关键是准确理解“等宽纸带”的几何含义，灵活运用平行四边形和菱形的相关性质求解。
【难度系数】
0.7
首先，纸带的两组对边互相平行，因此重合部分四边形ABCD的两组对边分别平行，可先判定为平行四边形。其次“等宽纸带”意味着平行四边形两组对边上的高相等，结合平行四边形面积=底×高，可推出平行四边形的邻边相等，邻边相等的平行四边形即为菱形。计算面积时，已知菱形边长和一个内角为60°，可通过作高构造直角三角形，用勾股定理求出高，再用底乘高计算面积。
【解析】
1. 判定四边形ABCD的形状：
∵ 纸带的对边互相平行，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵ 两张纸带宽度相等，
∴ AE=AF。
平行四边形ABCD的面积 = BC·AE = CD·AF，
又
∵ AE=AF，
∴ BC=CD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
2. 计算四边形ABCD的面积：
∵ 四边形ABCD是菱形，AD=6，
∴ CD=AD=BC=6。
过B作BG⊥CD于G，
在Rt△BCG中，∠BCD=60°，
∴ ∠CBG=30°，
∴ CG=$\frac{1}{2}$BC=3，
由勾股定理得：BG=$\sqrt{BC^2-CG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴ 菱形ABCD的面积 = CD·BG = $6×3\sqrt{3}=18\sqrt{3}$。
【答案】
菱形；$18\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的判定；菱形面积计算；平行四边形性质
【点评】
本题结合生活场景考查特殊四边形的判定与面积计算，解题的关键是准确理解“等宽纸带”的几何含义，灵活运用平行四边形和菱形的相关性质求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，在$□ ABCD$中，$E$为$BC$的中点，连接$AE$并延长交$DC$的延长线于点$F$，连接$BF$，$AC$。若$AD=AF$，求证：四边形$ABFC$是矩形。
答案
11.证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB// CD,AB=CD,AD=BC.$
$\therefore ∠ BAE=∠ CFE,∠ ABE=∠ FCE.$
$\because E$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore EB=EC.$
在$△ ABE$ 和$△ FCE$ 中,$\begin{cases}∠ BAE=∠ CFE,\\∠ ABE=∠ FCE,\\EB=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FCE(\mathrm{AAS}).\therefore AB=CF.$
又$AB// CF,\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形.
$\because AD=AF,\therefore BC=AF.$
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是矩形.
$\therefore AB// CD,AB=CD,AD=BC.$
$\therefore ∠ BAE=∠ CFE,∠ ABE=∠ FCE.$
$\because E$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore EB=EC.$
在$△ ABE$ 和$△ FCE$ 中,$\begin{cases}∠ BAE=∠ CFE,\\∠ ABE=∠ FCE,\\EB=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FCE(\mathrm{AAS}).\therefore AB=CF.$
又$AB// CF,\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形.
$\because AD=AF,\therefore BC=AF.$
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是矩形.
解析
【分析】
要证明四边形ABFC是矩形，需分两步推导：第一步先证明它是平行四边形，第二步再证明其符合矩形的判定条件。首先利用平行四边形ABCD的性质可得AB与DC平行，能得到两组内错角相等，结合E是BC中点的条件，可通过AAS证明△ABE和△FCE全等，得到AB和CF相等，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判定ABFC是平行四边形；再结合已知AD=AF，以及平行四边形ABCD中AD=BC的性质，可得平行四边形ABFC的对角线BC=AF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB// CD,AB=CD,AD=BC.$
$\therefore ∠ BAE=∠ CFE,∠ ABE=∠ FCE.$
$\because E$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore EB=EC.$
在$△ ABE$ 和$△ FCE$ 中,
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CFE,\\∠ ABE=∠ FCE,\\EB=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FCE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AB=CF.$
又$AB// CF,\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形.
$\because AD=AF,\therefore BC=AF.$
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是矩形.
【答案】
四边形ABFC是矩形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考查了三角形全等和特殊四边形的相关知识，解题关键是先通过全等得到边的关系判定平行四边形，再结合对角线相等的条件判定矩形，能够帮助学生巩固特殊四边形的判定逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ABFC是矩形，需分两步推导：第一步先证明它是平行四边形，第二步再证明其符合矩形的判定条件。首先利用平行四边形ABCD的性质可得AB与DC平行，能得到两组内错角相等，结合E是BC中点的条件，可通过AAS证明△ABE和△FCE全等，得到AB和CF相等，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判定ABFC是平行四边形；再结合已知AD=AF，以及平行四边形ABCD中AD=BC的性质，可得平行四边形ABFC的对角线BC=AF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB// CD,AB=CD,AD=BC.$
$\therefore ∠ BAE=∠ CFE,∠ ABE=∠ FCE.$
$\because E$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore EB=EC.$
在$△ ABE$ 和$△ FCE$ 中,
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CFE,\\∠ ABE=∠ FCE,\\EB=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FCE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AB=CF.$
又$AB// CF,\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形.
$\because AD=AF,\therefore BC=AF.$
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是矩形.
【答案】
四边形ABFC是矩形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考查了三角形全等和特殊四边形的相关知识，解题关键是先通过全等得到边的关系判定平行四边形，再结合对角线相等的条件判定矩形，能够帮助学生巩固特殊四边形的判定逻辑。
【难度系数】
0.7
