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【问题情境】
【生活情境】将$a$克糖放入水中，得到$b$（$b＞a$）克糖水，此时糖水的含糖量可记为$\frac{a}{b}$，再往杯中加入$c$（$c＞0$）克糖，经验告诉我们现在糖水变得更甜了，即糖水的含糖量比原来高了。
【问题提出】请你用所学的数学知识解释其中的道理。
【问题分析】由条件可知原糖水的糖量为$\frac{a}{b}$，再加入$c$（$c＞0$）克糖后，糖水的含糖量变为$\frac{a+c}{b+c}$，要说明糖水变得更甜了，只需说明$\frac{a+c}{b+c}$大于$\frac{a}{b}$即可。
【生活情境】将$a$克糖放入水中，得到$b$（$b＞a$）克糖水，此时糖水的含糖量可记为$\frac{a}{b}$，再往杯中加入$c$（$c＞0$）克糖，经验告诉我们现在糖水变得更甜了，即糖水的含糖量比原来高了。
【问题提出】请你用所学的数学知识解释其中的道理。
【问题分析】由条件可知原糖水的糖量为$\frac{a}{b}$，再加入$c$（$c＞0$）克糖后，糖水的含糖量变为$\frac{a+c}{b+c}$，要说明糖水变得更甜了，只需说明$\frac{a+c}{b+c}$大于$\frac{a}{b}$即可。
答案
说明$\frac{a+c}{b+c}$大于$\frac{a}{b}$，只需说明$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}$大于0.
$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)}{b(b+c)}-\frac{a(b+c)}{b(b+c)}=\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}$，因为$b＞a$，$c＞0$，所以$c(b-a)＞0$，$b(b+c)＞0$，所以$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}$大于0，即糖水的含糖量比原来高了。
$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)}{b(b+c)}-\frac{a(b+c)}{b(b+c)}=\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}$，因为$b＞a$，$c＞0$，所以$c(b-a)＞0$，$b(b+c)＞0$，所以$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}$大于0，即糖水的含糖量比原来高了。
解析
【分析】
要解释糖水变甜的道理，本质是比较加糖前后糖水含糖量的大小，即判断$\frac{a+c}{b+c}$和$\frac{a}{b}$的大小关系。比较两个分式大小可采用作差法：若两个代数式的差大于0，则被减数更大。因此我们先计算两个含糖量的差值，再通过通分化简差值，最后结合题目给出的$b＞a＞0$、$c＞0$的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
要证明加糖后糖水更甜，只需证明$\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$，通过作差法推导如下：
$\begin{aligned}\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}&=\frac{b(a+c)}{b(b+c)}-\frac{a(b+c)}{b(b+c)}\\&=\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}\\&=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}\end{aligned}$
由题意可知$b＞a＞0$，$c＞0$，因此分子$c(b-a)＞0$，分母$b(b+c)＞0$，可得$\frac{c(b-a)}{b(b+c)}＞0$，即$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＞0$，因此$\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$。
【答案】
加入$c$克糖后糖水的含糖量$\frac{a+c}{b+c}$大于原来的含糖量$\frac{a}{b}$，所以糖水变得更甜了。
【知识点】
分式的加减运算，作差法比较大小
【点评】
本题结合生活实际场景考查分式的相关应用，将生活常识和数学运算结合，既考查了分式加减、大小比较的基础知识点，也能体现数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
要解释糖水变甜的道理，本质是比较加糖前后糖水含糖量的大小，即判断$\frac{a+c}{b+c}$和$\frac{a}{b}$的大小关系。比较两个分式大小可采用作差法：若两个代数式的差大于0，则被减数更大。因此我们先计算两个含糖量的差值，再通过通分化简差值，最后结合题目给出的$b＞a＞0$、$c＞0$的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
要证明加糖后糖水更甜，只需证明$\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$，通过作差法推导如下：
$\begin{aligned}\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}&=\frac{b(a+c)}{b(b+c)}-\frac{a(b+c)}{b(b+c)}\\&=\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}\\&=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}\end{aligned}$
由题意可知$b＞a＞0$，$c＞0$，因此分子$c(b-a)＞0$，分母$b(b+c)＞0$，可得$\frac{c(b-a)}{b(b+c)}＞0$，即$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＞0$，因此$\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$。
【答案】
加入$c$克糖后糖水的含糖量$\frac{a+c}{b+c}$大于原来的含糖量$\frac{a}{b}$，所以糖水变得更甜了。
【知识点】
分式的加减运算，作差法比较大小
【点评】
本题结合生活实际场景考查分式的相关应用，将生活常识和数学运算结合，既考查了分式加减、大小比较的基础知识点，也能体现数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
1. 计算$\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1}$的结果是（
A.2
B.$2a+2$
C.1
D.$\frac{4a}{a+1}$
A
）A.2
B.$2a+2$
C.1
D.$\frac{4a}{a+1}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道同分母分式加法的计算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现分母均为$a+1$，属于同分母分式相加，可直接运用同分母分式加法法则计算；第二步将两个分式的分子相加，分母保持不变；第三步对相加后的分子进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
根据同分母分式相加的法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
$\begin{aligned}\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1}&=\frac{2a+2}{a+1}\\&=\frac{2(a+1)}{a+1}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同分母分式的加减运算规则，解题时需注意运算后要将结果化为最简形式，避免未约分导致错误。
【难度系数】
0.9
这是一道同分母分式加法的计算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现分母均为$a+1$，属于同分母分式相加，可直接运用同分母分式加法法则计算；第二步将两个分式的分子相加，分母保持不变；第三步对相加后的分子进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
根据同分母分式相加的法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
$\begin{aligned}\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1}&=\frac{2a+2}{a+1}\\&=\frac{2(a+1)}{a+1}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同分母分式的加减运算规则，解题时需注意运算后要将结果化为最简形式，避免未约分导致错误。
【难度系数】
0.9
2. 化简$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{1-x^2}$的结果是（
A.$x-1$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$x+1$
D.$\frac{x+3}{x^2-1}$
B
）A.$x-1$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$x+1$
D.$\frac{x+3}{x^2-1}$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道异分母分式加减法的题目，解题思路如下：第一步先观察两个分母的关系，发现第二个分母$1-x^2$可以用平方差公式因式分解，且和第一个分母$x-1$存在相反数关系；第二步调整第二个分式的符号，确定两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$；第三步按照异分母分式加减法则先通分，转化为同分母分式后再进行分子的加减运算；最后对运算结果约分，得到最简分式即可，解题过程中要特别注意符号变化，避免出错。
【解析】
解：先对第二个分式的分母因式分解并调整符号：
$\because 1-x^2=-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)$
$\therefore$ 原式$=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{-(x^2-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
确定最简公分母为$(x-1)(x+1)$，对第一个分式通分：
$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$时分式有意义）：
$=\frac{1}{x+1}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
异分母分式加减、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，重点考察异分母分式的运算流程，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，掌握互为相反数的分母变形时的符号处理规则，最后要注意将运算结果化为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是一道异分母分式加减法的题目，解题思路如下：第一步先观察两个分母的关系，发现第二个分母$1-x^2$可以用平方差公式因式分解，且和第一个分母$x-1$存在相反数关系；第二步调整第二个分式的符号，确定两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$；第三步按照异分母分式加减法则先通分，转化为同分母分式后再进行分子的加减运算；最后对运算结果约分，得到最简分式即可，解题过程中要特别注意符号变化，避免出错。
【解析】
解：先对第二个分式的分母因式分解并调整符号：
$\because 1-x^2=-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)$
$\therefore$ 原式$=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{-(x^2-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
确定最简公分母为$(x-1)(x+1)$，对第一个分式通分：
$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$时分式有意义）：
$=\frac{1}{x+1}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
异分母分式加减、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，重点考察异分母分式的运算流程，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，掌握互为相反数的分母变形时的符号处理规则，最后要注意将运算结果化为最简分式。
【难度系数】
0.8
