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1. 下列根式中，是二次根式的有 （
①$\sqrt{a}$，②$\sqrt[3]{7}$，③$\sqrt{16}$，④$\sqrt{a-1}\ (a≥1)$，⑤$\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}$，⑥$\sqrt{(-4)×(-30)}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
）①$\sqrt{a}$，②$\sqrt[3]{7}$，③$\sqrt{16}$，④$\sqrt{a-1}\ (a≥1)$，⑤$\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}$，⑥$\sqrt{(-4)×(-30)}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个根式是不是二次根式，需紧扣二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，必须同时满足两个条件：一是根指数为2（根号左上角的2通常省略），二是被开方数（根号内的数或式子）是非负数。我们只需逐个验证6个式子是否满足这两个条件，即可统计出符合要求的二次根式的个数。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$\sqrt{a}$：题目未给出$a$的取值范围，$a$可能为负数，此时$\sqrt{a}$无意义，不满足二次根式要求，不是二次根式；
②$\sqrt[3]{7}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不是二次根式；
③$\sqrt{16}$：根指数为2，被开方数$16＞0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
④$\sqrt{a-1}\ (a≥1)$：根指数为2，由$a≥1$可得$a-1≥0$，被开方数非负，满足条件，是二次根式；
⑤$\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}$：根指数为2，先计算被开方数：$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}＞0$，满足条件，是二次根式；
⑥$\sqrt{(-4)×(-30)}$：根指数为2，先计算被开方数：$(-4)×(-30)=120＞0$，满足条件，是二次根式。
综上，符合二次根式定义的有③④⑤⑥，共4个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义；二次根式有意义的条件；有理数的运算
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是准确把握二次根式的两个判定条件，尤其要注意当根号内含字母时，需确认被开方数是否一定非负，不要漏看根指数的要求。
【难度系数】
0.75
要判断一个根式是不是二次根式，需紧扣二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，必须同时满足两个条件：一是根指数为2（根号左上角的2通常省略），二是被开方数（根号内的数或式子）是非负数。我们只需逐个验证6个式子是否满足这两个条件，即可统计出符合要求的二次根式的个数。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$\sqrt{a}$：题目未给出$a$的取值范围，$a$可能为负数，此时$\sqrt{a}$无意义，不满足二次根式要求，不是二次根式；
②$\sqrt[3]{7}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不是二次根式；
③$\sqrt{16}$：根指数为2，被开方数$16＞0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
④$\sqrt{a-1}\ (a≥1)$：根指数为2，由$a≥1$可得$a-1≥0$，被开方数非负，满足条件，是二次根式；
⑤$\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}$：根指数为2，先计算被开方数：$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}＞0$，满足条件，是二次根式；
⑥$\sqrt{(-4)×(-30)}$：根指数为2，先计算被开方数：$(-4)×(-30)=120＞0$，满足条件，是二次根式。
综上，符合二次根式定义的有③④⑤⑥，共4个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义；二次根式有意义的条件；有理数的运算
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是准确把握二次根式的两个判定条件，尤其要注意当根号内含字母时，需确认被开方数是否一定非负，不要漏看根指数的要求。
【难度系数】
0.75
2. 下列$x$的值，能使$\sqrt{x+3}$有意义的是 （
A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
D
）A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个x的值能使二次根式有意义，首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以先根据这个条件列出关于x的不等式，求解得到x的取值范围后，再逐一对比四个选项，选出符合取值范围的选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可得：
$x + 3 ≥ 0$
解不等式得：$x ≥ -3$
逐一分析选项：
A. $-6 ＜ -3$，不满足条件，不符合要求；
B. $-5 ＜ -3$，不满足条件，不符合要求；
C. $-4 ＜ -3$，不满足条件，不符合要求；
D. $-3 = -3$，满足$x ≥ -3$的要求，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次根式的基本性质，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，掌握该知识点即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个x的值能使二次根式有意义，首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以先根据这个条件列出关于x的不等式，求解得到x的取值范围后，再逐一对比四个选项，选出符合取值范围的选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可得：
$x + 3 ≥ 0$
解不等式得：$x ≥ -3$
逐一分析选项：
A. $-6 ＜ -3$，不满足条件，不符合要求；
B. $-5 ＜ -3$，不满足条件，不符合要求；
C. $-4 ＜ -3$，不满足条件，不符合要求；
D. $-3 = -3$，满足$x ≥ -3$的要求，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次根式的基本性质，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，掌握该知识点即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列说法中,正确的个数是 （
①$\sqrt{12}$是无理数,②$\sqrt{12}$是12的算术平方根,③$3＜\sqrt{12}＜4$,④$\sqrt{12}$是二次根式.
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）①$\sqrt{12}$是无理数,②$\sqrt{12}$是12的算术平方根,③$3＜\sqrt{12}＜4$,④$\sqrt{12}$是二次根式.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.D
解析
【分析】
本题需要逐一判断关于$\sqrt{12}$的4个说法是否正确，解题时依次结合无理数、算术平方根、无理数估算、二次根式的相关定义和方法，逐个验证每个说法的正误，最后统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：$\sqrt{12}$化简得$2\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$2\sqrt{3}$也是无理数，即$\sqrt{12}$是无理数，①正确。
2. 分析说法②：若一个非负数$x$的平方等于$a$，则$x$叫做$a$的算术平方根。因为$(\sqrt{12})^2=12$，且$\sqrt{12}＞0$，所以$\sqrt{12}$是12的算术平方根，②正确。
3. 分析说法③：因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，根据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$，③正确。
4. 分析说法④：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，$\sqrt{12}$的被开方数$12＞0$，符合二次根式的定义，④正确。
综上，4个说法都正确，正确的个数是4。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 算术平方根的定义
3. 二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念综合题，考查的都是二次根式相关的核心基础知识点，只要熟练掌握各个概念的判定标准，就能快速准确判断正误。
【难度系数】
0.8
本题需要逐一判断关于$\sqrt{12}$的4个说法是否正确，解题时依次结合无理数、算术平方根、无理数估算、二次根式的相关定义和方法，逐个验证每个说法的正误，最后统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：$\sqrt{12}$化简得$2\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$2\sqrt{3}$也是无理数，即$\sqrt{12}$是无理数，①正确。
2. 分析说法②：若一个非负数$x$的平方等于$a$，则$x$叫做$a$的算术平方根。因为$(\sqrt{12})^2=12$，且$\sqrt{12}＞0$，所以$\sqrt{12}$是12的算术平方根，②正确。
3. 分析说法③：因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，根据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$，③正确。
4. 分析说法④：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，$\sqrt{12}$的被开方数$12＞0$，符合二次根式的定义，④正确。
综上，4个说法都正确，正确的个数是4。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 算术平方根的定义
3. 二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念综合题，考查的都是二次根式相关的核心基础知识点，只要熟练掌握各个概念的判定标准，就能快速准确判断正误。
【难度系数】
0.8
4. 下列根式中，最简二次根式的个数是 （
$\sqrt{2},\sqrt{x^2y},\sqrt{\frac{ab}{2}},\sqrt{\frac{3xy}{5}},\sqrt{\frac{2y^2}{c}},\sqrt{5(a^2-b^2)},\sqrt{75x^3y^3},\sqrt{x^2+y^2}$
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）$\sqrt{2},\sqrt{x^2y},\sqrt{\frac{ab}{2}},\sqrt{\frac{3xy}{5}},\sqrt{\frac{2y^2}{c}},\sqrt{5(a^2-b^2)},\sqrt{75x^3y^3},\sqrt{x^2+y^2}$
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
4.B
解析
【分析】
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母，即被开方数的因数是整数、因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来只需将题目给出的8个根式逐个对照这两个标准判断，统计符合条件的个数即可得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。逐个判断如下：
1. $\sqrt{2}$：被开方数为整数2，无开得尽方的因数，是最简二次根式；
2. $\sqrt{x^2y}$：被开方数含指数为2的因式$x^2$，可化简为$|x|\sqrt{y}$，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{\frac{ab}{2}}$：被开方数含分母2，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{\frac{3xy}{5}}$：被开方数含分母5，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{\frac{2y^2}{c}}$：被开方数含分母$c$，且含可开方的因式$y^2$，不是最简二次根式；
6. $\sqrt{5(a^2-b^2)}$：被开方数不含分母，$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，无开得尽方的因式，是最简二次根式；
7. $\sqrt{75x^3y^3}$：被开方数含可开方的因数25、因式$x^2、y^2$，可化简为$5xy\sqrt{3xy}$，不是最简二次根式；
8. $\sqrt{x^2+y^2}$：被开方数不含分母，无法分解出完全平方因式，是最简二次根式。
综上，共有3个最简二次根式，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.最简二次根式判定 2.二次根式化简
【点评】
本题主要考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时需严格对照两个条件逐一核验，易错点是容易误将$\sqrt{x^2+y^2}$判定为非最简，或忽略$a^2-b^2$无法提取完全平方因式，做题时要仔细排查避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母，即被开方数的因数是整数、因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来只需将题目给出的8个根式逐个对照这两个标准判断，统计符合条件的个数即可得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。逐个判断如下：
1. $\sqrt{2}$：被开方数为整数2，无开得尽方的因数，是最简二次根式；
2. $\sqrt{x^2y}$：被开方数含指数为2的因式$x^2$，可化简为$|x|\sqrt{y}$，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{\frac{ab}{2}}$：被开方数含分母2，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{\frac{3xy}{5}}$：被开方数含分母5，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{\frac{2y^2}{c}}$：被开方数含分母$c$，且含可开方的因式$y^2$，不是最简二次根式；
6. $\sqrt{5(a^2-b^2)}$：被开方数不含分母，$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，无开得尽方的因式，是最简二次根式；
7. $\sqrt{75x^3y^3}$：被开方数含可开方的因数25、因式$x^2、y^2$，可化简为$5xy\sqrt{3xy}$，不是最简二次根式；
8. $\sqrt{x^2+y^2}$：被开方数不含分母，无法分解出完全平方因式，是最简二次根式。
综上，共有3个最简二次根式，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.最简二次根式判定 2.二次根式化简
【点评】
本题主要考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时需严格对照两个条件逐一核验，易错点是容易误将$\sqrt{x^2+y^2}$判定为非最简，或忽略$a^2-b^2$无法提取完全平方因式，做题时要仔细排查避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
5. 已知代数式$\sqrt{x-3}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$有意义，则化简$\sqrt{(1-x)^2}+\sqrt{(5-x)^2}$的结果是（
A.$4$
B.$6-2x$
C.$-4$
D.$2x-6$
A
）A.$4$
B.$6-2x$
C.$-4$
D.$2x-6$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要根据已知代数式有意义的条件，求出x的取值范围；再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将待化简的式子转化为绝对值的和；最后根据x的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并即可得到结果。
【解析】
第一步：求x的取值范围
若代数式$\sqrt{x-3}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$有意义，需同时满足二次根式被开方数非负、分母不为0，因此列不等式组：
$\begin{cases}x-3≥0 \\5-x＞0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$得$x≥3$，解不等式$5-x＞0$得$x＜5$，因此x的取值范围是$3≤ x＜5$。
第二步：化简待求式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(1-x)^2}+\sqrt{(5-x)^2}=|1-x|+|5-x|$
第三步：去绝对值并计算
因为$3≤ x＜5$，所以：
$1-x＜1-3=-2＜0$，因此$|1-x|=x-1$；
$5-x＞0$，因此$|5-x|=5-x$。
代入得：$|1-x|+|5-x|=(x-1)+(5-x)=x-1+5-x=4$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题的解题核心是先确定x的取值范围，再结合性质化简，去绝对值时要先判断绝对值内表达式的正负，这是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要根据已知代数式有意义的条件，求出x的取值范围；再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将待化简的式子转化为绝对值的和；最后根据x的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并即可得到结果。
【解析】
第一步：求x的取值范围
若代数式$\sqrt{x-3}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$有意义，需同时满足二次根式被开方数非负、分母不为0，因此列不等式组：
$\begin{cases}x-3≥0 \\5-x＞0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$得$x≥3$，解不等式$5-x＞0$得$x＜5$，因此x的取值范围是$3≤ x＜5$。
第二步：化简待求式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(1-x)^2}+\sqrt{(5-x)^2}=|1-x|+|5-x|$
第三步：去绝对值并计算
因为$3≤ x＜5$，所以：
$1-x＜1-3=-2＜0$，因此$|1-x|=x-1$；
$5-x＞0$，因此$|5-x|=5-x$。
代入得：$|1-x|+|5-x|=(x-1)+(5-x)=x-1+5-x=4$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题的解题核心是先确定x的取值范围，再结合性质化简，去绝对值时要先判断绝对值内表达式的正负，这是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
6.实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^2}-|b-a|$的结果为（
A.$-b$
B.$b$
C.$-2a+b$
D.$2a-b$
A
）A.$-b$
B.$b$
C.$-2a+b$
D.$2a-b$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定a、b的取值范围，得到a＜0、b-a＞0的结论；再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，以及绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，将原式中的根号和绝对值去掉，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b$
$\therefore a＜0$，$b-a＞0$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2}-|b-a|&=|a|-|b-a|\\&=-a-(b-a)\\&=-a-b+a\\&=-b\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的基础题型，核心是通过数轴判断代数式的正负性，再结合相关性质去根号和绝对值符号，计算时注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定a、b的取值范围，得到a＜0、b-a＞0的结论；再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，以及绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，将原式中的根号和绝对值去掉，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b$
$\therefore a＜0$，$b-a＞0$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2}-|b-a|&=|a|-|b-a|\\&=-a-(b-a)\\&=-a-b+a\\&=-b\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的基础题型，核心是通过数轴判断代数式的正负性，再结合相关性质去根号和绝对值符号，计算时注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
