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1.计算$-2a(a^2 - 1)$的结果是 （）
A.$-2a^3 - 2a$
B.$-2a^3 + a$
C.$-2a^3 + 2a$
D.$-a^3 + 2a$
A.$-2a^3 - 2a$
B.$-2a^3 + a$
C.$-2a^3 + 2a$
D.$-a^3 + 2a$
答案
C
解析
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式-2a分别乘多项式$a^2-1$的每一项：
$-2a · a^2 + (-2a) × (-1) = -2a^3 + 2a$，对应选项C。
$-2a · a^2 + (-2a) × (-1) = -2a^3 + 2a$，对应选项C。
2.如图,能根据图形中的面积说明的乘法公式是
（）
A.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
B.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
D.$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$
（）
A.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
B.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
D.$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$
答案
B
解析
观察图形可知，整个大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的总面积为$(a+b)^2$。将图形拆分后，四部分的面积分别为$a^2$、$ab$、$ab$、$b^2$，四部分面积之和为$a^2+2ab+b^2$。二者表示同一图形的总面积，因此对应的乘法公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
3.若$2^m=5,4^n=3$,则$4^{3n-m}$的值是 （）
A.$\dfrac{9}{10}$
B.$\dfrac{27}{25}$
C.2
D.4
A.$\dfrac{9}{10}$
B.$\dfrac{27}{25}$
C.2
D.4
答案
B
解析
根据同底数幂的除法法则：$a^{p-q}=a^p÷ a^q$，可得$4^{3n-m}=4^{3n}÷4^m$。
根据幂的乘方法则：$(a^k)^t=a^{kt}$，可得$4^{3n}=(4^n)^3$，代入$4^n=3$，得$(4^n)^3=3^3=27$。
又$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$，代入$2^m=5$，得$(2^m)^2=5^2=25$。
因此$4^{3n-m}=27÷25=\dfrac{27}{25}$。
根据幂的乘方法则：$(a^k)^t=a^{kt}$，可得$4^{3n}=(4^n)^3$，代入$4^n=3$，得$(4^n)^3=3^3=27$。
又$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$，代入$2^m=5$，得$(2^m)^2=5^2=25$。
因此$4^{3n-m}=27÷25=\dfrac{27}{25}$。
4.已知$x+y=8,xy=\dfrac{15}{4}$,则$x-y$的值为 （）
A.6
B.6或－6
C.7
D.7或－7
A.6
B.6或－6
C.7
D.7或－7
答案
D
解析
根据完全平方公式变形可得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，将$x+y=8$，$xy=\dfrac{15}{4}$代入式子，得$(x-y)^2=8^2 - 4×\dfrac{15}{4}=64-15=49$。因为49的平方根是$\pm7$，所以$x-y$的值为7或$-7$。
5.若多项式$x^2-(x-a)(x+2b)+4$的值与$x$的取值无关，则$a,b$一定满足（）
A.$a=0$且$b=0$
B.$a=2b$
C.$ab=0$
D.$a=\dfrac{b}{2}$
A.$a=0$且$b=0$
B.$a=2b$
C.$ab=0$
D.$a=\dfrac{b}{2}$
答案
B
解析
先对多项式展开化简：
1. 先计算乘积项：$(x-a)(x+2b)=x^2 + 2bx -ax -2ab$
2. 代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2-(x^2 + 2bx -ax -2ab)+4\\&=x^2 -x^2 -2bx +ax +2ab +4\\&=(a-2b)x + 2ab +4\end{aligned}$
3. 多项式的值与$x$的取值无关，说明含$x$的一次项系数为0，即$a-2b=0$，可得$a=2b$。
1. 先计算乘积项：$(x-a)(x+2b)=x^2 + 2bx -ax -2ab$
2. 代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2-(x^2 + 2bx -ax -2ab)+4\\&=x^2 -x^2 -2bx +ax +2ab +4\\&=(a-2b)x + 2ab +4\end{aligned}$
3. 多项式的值与$x$的取值无关，说明含$x$的一次项系数为0，即$a-2b=0$，可得$a=2b$。
6. 观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若$(x+a)(x+b)=x^2-7x+12$，则$a,b$的值可能分别是（）
A.$-3,-4$
B.$-3,4$
C.$3,-4$
D.$3,4$
根据你发现的规律，若$(x+a)(x+b)=x^2-7x+12$，则$a,b$的值可能分别是（）
A.$-3,-4$
B.$-3,4$
C.$3,-4$
D.$3,4$
答案
A
解析
根据多项式乘多项式的运算法则展开可得：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
已知$(x+a)(x+b)=x^2-7x+12$，对应可得：
1. $a+b=-7$
2. $ab=12$
逐一验证选项：
选项A：$a=-3,b=-4$，$a+b=-3+(-4)=-7$，$ab=(-3)×(-4)=12$，完全符合条件。
其余选项均不满足两个等式的要求。
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
已知$(x+a)(x+b)=x^2-7x+12$，对应可得：
1. $a+b=-7$
2. $ab=12$
逐一验证选项：
选项A：$a=-3,b=-4$，$a+b=-3+(-4)=-7$，$ab=(-3)×(-4)=12$，完全符合条件。
其余选项均不满足两个等式的要求。
7.计算：$(6x^{4}-8x^{3})÷(-2x^{2})=\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$-3x^2+4x$
解析
本题考查多项式除以单项式的运算，根据多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加计算即可。
1. 计算第一项的商：$6x^4 ÷ (-2x^2) = -3x^2$
2. 计算第二项的商：$-8x^3 ÷ (-2x^2) = 4x$
3. 将两个商相加，得到最终结果。
1. 计算第一项的商：$6x^4 ÷ (-2x^2) = -3x^2$
2. 计算第二项的商：$-8x^3 ÷ (-2x^2) = 4x$
3. 将两个商相加，得到最终结果。
8. 若 $ x^2 - 2(m - 3)x + 16 $ 是完全平方式，则 $ m $ 的值是 ______。
答案
7或-1
解析
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构特征，多项式$x^2 - 2(m - 3)x + 16$可写为$x^2 - 2(m - 3)x + 4^2$，要使其为完全平方式，则中间项需满足：
$-2(m-3)=\pm2× x×4$的系数，即$-2(m-3)=\pm8$。
分两种情况求解：
① 当$-2(m-3)=8$时，两边同除以-2得$m-3=-4$，解得$m=-1$；
② 当$-2(m-3)=-8$时，两边同除以-2得$m-3=4$，解得$m=7$。
$-2(m-3)=\pm2× x×4$的系数，即$-2(m-3)=\pm8$。
分两种情况求解：
① 当$-2(m-3)=8$时，两边同除以-2得$m-3=-4$，解得$m=-1$；
② 当$-2(m-3)=-8$时，两边同除以-2得$m-3=4$，解得$m=7$。
9. 如图,小刚家有一块“L”形的菜地,要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形,种上不同的蔬菜,这两个梯形的上底都是$ x $,下底都是$ y $,高都是$ (y-x) $,则菜地的面积是________。当$ x = 20 \ \mathrm{m}, y = 30 \ \mathrm{m} $时,面积是$\_\_\_\_\_\_ \ \mathrm{m}^2$。
答案
$y^2 - x^2$；$500$
解析
根据梯形面积公式$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，这块L形菜地由两个完全相同的梯形组成：
1. 计算菜地总面积：单个梯形的上底为$x$，下底为$y$，高为$y-x$，因此总面积为
$$2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x)=(x+y)(y-x)=y^2 - x^2$2. 代入$x = 20 \ \mathrm{m}, y = 30 \ \mathrm{m}$计算数值： $$y^2 - x^2=30^2 - 20^2=900-400=500\ \mathrm{m}^2$
1. 计算菜地总面积：单个梯形的上底为$x$，下底为$y$，高为$y-x$，因此总面积为
$$2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x)=(x+y)(y-x)=y^2 - x^2$2. 代入$x = 20 \ \mathrm{m}, y = 30 \ \mathrm{m}$计算数值： $$y^2 - x^2=30^2 - 20^2=900-400=500\ \mathrm{m}^2$
