10.我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例，这个三角形的构造法则为两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和。事实上，这个三角形给出了$(a+b)^n$（$n$为正整数）的展开式（按$a$的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数$1,2,1$恰好对应$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开式中各项的系数；第四行的四个数$1,3,3,1$恰好对应着$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$展开式中各项的系数等。
(1)根据上面的规律，$(a+b)^4$展开式的各项系数中最大的数为________；
(2)若$(2x+1)^{2025}=a_1x^{2025}+a_2x^{2024}+a_3x^{2023}+\dots+a_{2024}x^2+a_{2025}x+1$，求$a_1 - a_2 + a_3 - \dots + a_{2025} -1$的值。

(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{1}$

(1) 根据杨辉三角的构造规则：除两腰的数为1外，其余每个数等于其上方左右两数之和。已知$(a+b)^3$对应的系数为1,3,3,1，可推出$(a+b)^4$的各项系数依次为：$1$，$1+3=4$，$3+3=6$，$3+1=4$，$1$，即系数序列为1,4,6,4,1，因此其中最大的数为6。
(2) 采用赋值法求解：将$x=-1$代入等式$(2x+1)^{2025}=a_1x^{2025}+a_2x^{2024}+a_3x^{2023}+\dots+a_{2024}x^2+a_{2025}x+1$中：
左边计算得：$(2×(-1)+1)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
右边代入$x=-1$得：
$a_1·(-1)^{2025}+a_2·(-1)^{2024}+a_3·(-1)^{2023}+\dots+a_{2025}·(-1)+1=-a_1+a_2-a_3+\dots-a_{2025}+1$
因此可得等式：$-a_1+a_2-a_3+\dots-a_{2025}+1=-1$
将等式两边同乘$-1$，整理后得到：$a_1-a_2+a_3-\dots+a_{2025}-1=1$

11.给出如下定义:我们把有序实数对$(a,b,c)$叫作关于$x$的二次多项式$ax^2+bx+c$的特征系数对,把关于$x$的二次多项式$ax^2+bx+c$叫作有序实数对$(a,b,c)$的特征多项式。
(1)关于$x$的二次多项式$3x^2+2x-1$的特征系数对为________;
(2)若有序实数对$(p,q,-1)$的特征多项式与有序实数对$(m,n,-2)$的特征多项式的乘积为$2x^4+x^3-10x^2-x+2$,则$(4p-2q-1)(2m-n-1)$的值为________。

(1) $\boldsymbol{(3,2,-1)}$；(2) $\boldsymbol{-6}$

(1) 根据特征系数对的定义：关于$x$的二次多项式$ax^2+bx+c$的特征系数对为有序实数对$(a,b,c)$，对应多项式$3x^2+2x-1$，可得$a=3$，$b=2$，$c=-1$，因此特征系数对为$(3,2,-1)$。
(2) 由题意得，有序实数对$(p,q,-1)$的特征多项式为$px^2+qx-1$，有序实数对$(m,n,-2)$的特征多项式为$mx^2+nx-2$，二者乘积满足：
$(px^2+qx-1)(mx^2+nx-2)=2x^4+x^3-10x^2-x+2$
观察所求式子：当$x=-2$时，$px^2+qx-1=4p-2q-1$；$mx^2+nx-2=4m-2n-2=2(2m-n-1)$。
将$x=-2$代入等式右侧的多项式：
$2×(-2)^4 + (-2)^3 -10×(-2)^2 - (-2) +2=32-8-40+2+2=-12$
因此左侧乘积为：
$(4p-2q-1)×2(2m-n-1)=-12$
两边同除以2，可得$(4p-2q-1)(2m-n-1)=-6$。