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6. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases} x+y=5, \\ 4ax+5by=-22 \end{cases}$与$\begin{cases} 2x-y=1, \\ ax-by-8=0 \end{cases}$有相同的解，求$(a+b)^{2025}$的值。
答案
6. 联立$\begin{cases} x+y=5, \\ 2x-y=1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2, \\ y=3. \end{cases}$
把$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$代入$\begin{cases} 4ax+5by=-22, \\ ax-by-8=0, \end{cases}$得$\begin{cases} 8a+15b=-22, ① \\ 2a-3b=8. ② \end{cases}$
①$+$②$×5$，得$18a=18$，解得$a=1$.
把$a=1$代入②，得$b=-2$，则$(a+b)^{2025}=(1-2)^{2025}=-1$.
把$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$代入$\begin{cases} 4ax+5by=-22, \\ ax-by-8=0, \end{cases}$得$\begin{cases} 8a+15b=-22, ① \\ 2a-3b=8. ② \end{cases}$
①$+$②$×5$，得$18a=18$，解得$a=1$.
把$a=1$代入②，得$b=-2$，则$(a+b)^{2025}=(1-2)^{2025}=-1$.
解析
【分析】
两个二元一次方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。解题时首先把不含参数a、b的两个方程$x+y=5$和$2x-y=1$联立，先求出x、y的公共解；再将x、y的值代入剩余的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；最后代入$(a+b)^{2025}$计算结果即可。
【解析】
第一步，联立不含参数的方程求公共解：
联立$\begin{cases} x+y=5, \\ 2x-y=1, \end{cases}$
将两个方程相加，得$3x=6$，解得$x=2$，
把$x=2$代入$x+y=5$，得$2+y=5$，解得$y=3$，
即公共解为$\begin{cases} x=2, \\ y=3. \end{cases}$
第二步，将公共解代入含参数的方程，得到关于a、b的方程组：
把$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$代入$\begin{cases} 4ax+5by=-22, \\ ax-by-8=0, \end{cases}$得：
$\begin{cases} 8a+15b=-22, ① \\ 2a-3b=8. ② \end{cases}$
第三步，解关于a、b的方程组：
②×5，得$10a-15b=40$，③
①+③，得$18a=18$，解得$a=1$，
把$a=1$代入②，得$2×1-3b=8$，解得$b=-2$。
第四步，计算代数式的值：
$(a+b)^{2025}=(1-2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
同解方程组的概念，解二元一次方程组，有理数乘方运算
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的典型考法，解题关键是抓住“同解”的性质，先求出公共解再求解参数，这类题型能较好地考查学生对二元一次方程组解法的掌握程度和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
两个二元一次方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。解题时首先把不含参数a、b的两个方程$x+y=5$和$2x-y=1$联立，先求出x、y的公共解；再将x、y的值代入剩余的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；最后代入$(a+b)^{2025}$计算结果即可。
【解析】
第一步，联立不含参数的方程求公共解：
联立$\begin{cases} x+y=5, \\ 2x-y=1, \end{cases}$
将两个方程相加，得$3x=6$，解得$x=2$，
把$x=2$代入$x+y=5$，得$2+y=5$，解得$y=3$，
即公共解为$\begin{cases} x=2, \\ y=3. \end{cases}$
第二步，将公共解代入含参数的方程，得到关于a、b的方程组：
把$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$代入$\begin{cases} 4ax+5by=-22, \\ ax-by-8=0, \end{cases}$得：
$\begin{cases} 8a+15b=-22, ① \\ 2a-3b=8. ② \end{cases}$
第三步，解关于a、b的方程组：
②×5，得$10a-15b=40$，③
①+③，得$18a=18$，解得$a=1$，
把$a=1$代入②，得$2×1-3b=8$，解得$b=-2$。
第四步，计算代数式的值：
$(a+b)^{2025}=(1-2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
同解方程组的概念，解二元一次方程组，有理数乘方运算
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的典型考法，解题关键是抓住“同解”的性质，先求出公共解再求解参数，这类题型能较好地考查学生对二元一次方程组解法的掌握程度和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 在一次数学测试中，将某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第五组的频数分别为6，8，9，12，10，则第六组的频率是（
A.5
B.45
C.0.1
D.0.9
C
）A.5
B.45
C.0.1
D.0.9
答案
7. C
解析
【分析】
解题需明确两个核心统计概念的规律：第一，各组的频数之和等于总样本容量（本题即学生总人数）；第二，某一组的频率=该组的频数÷总样本容量。我们先通过总人数和已知前五组的频数求出第六组的频数，再代入频率计算公式即可得出结果。
【解析】
1. 先计算前五组的频数总和：$ 6+8+9+12+10=45 $
2. 全班共50名学生，因此第六组的频数为总人数减去前五组频数和：$ 50-45=5 $
3. 根据频率计算公式，第六组的频率为：$ 5÷50=0.1 $
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 频数的性质
2. 频率的计算
【点评】
本题是统计板块的基础应用题，主要考查频数、频率相关基础概念的运用，熟练掌握核心公式和规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题需明确两个核心统计概念的规律：第一，各组的频数之和等于总样本容量（本题即学生总人数）；第二，某一组的频率=该组的频数÷总样本容量。我们先通过总人数和已知前五组的频数求出第六组的频数，再代入频率计算公式即可得出结果。
【解析】
1. 先计算前五组的频数总和：$ 6+8+9+12+10=45 $
2. 全班共50名学生，因此第六组的频数为总人数减去前五组频数和：$ 50-45=5 $
3. 根据频率计算公式，第六组的频率为：$ 5÷50=0.1 $
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 频数的性质
2. 频率的计算
【点评】
本题是统计板块的基础应用题，主要考查频数、频率相关基础概念的运用，熟练掌握核心公式和规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 某农庄修建一个周长为120米的长方形休闲场所，长方形ABCD内筑一个正方形活动区EFGH和连结活动区到矩形四边的四条笔直小路，正方形活动区的边长为6米，小路的宽均为2米. 活动区与小路铺设鹅卵石，其他地方铺设草坪. 则铺设鹅卵石区域的面积为
132
平方米.答案
8. 132
解析
【分析】要计算铺设鹅卵石区域的面积，需先明确该区域由正方形活动区和四条小路组成。首先可直接算出正方形的面积；再根据长方形周长得到长与宽的和；接着分析四条小路的面积：两条水平小路总长度为长方形的长减正方形边长，两条竖直小路总长度为长方形的宽减正方形边长，小路宽均为2米，结合长+宽的和整体代入即可求出小路总面积；最后将两部分面积相加得到结果，无需单独求长方形的长和宽。
【解析】
解：1. 计算正方形活动区的面积：
正方形边长为6米，面积=边长×边长=6×6=36（平方米）
2. 计算长方形长与宽的和：
长方形周长为120米，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，得$长+宽=120÷2=60$（米）
3. 计算四条小路的总面积：
水平方向两条小路总长度为（长-6），竖直方向两条小路总长度为（宽-6），小路宽均为2米，因此小路总面积为：
$2×(长-6) + 2×(宽-6) = 2×长 + 2×宽 - 12 -12 = 2×(长+宽) -24$
将$长+宽=60$代入，得小路总面积=$2×60 -24=96$（平方米）
4. 计算鹅卵石区域总面积：
总面积=正方形面积+小路面积=$36+96=132$（平方米）
【答案】132
【知识点】长方形周长计算，长方形面积计算，整体代入求值
【点评】本题巧妙利用整体思想求解，不需要单独计算长方形的长和宽，解题的关键是准确梳理四条小路的总长度和长方形长宽和的关系，简化计算过程。
【难度系数】0.65
【解析】
解：1. 计算正方形活动区的面积：
正方形边长为6米，面积=边长×边长=6×6=36（平方米）
2. 计算长方形长与宽的和：
长方形周长为120米，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，得$长+宽=120÷2=60$（米）
3. 计算四条小路的总面积：
水平方向两条小路总长度为（长-6），竖直方向两条小路总长度为（宽-6），小路宽均为2米，因此小路总面积为：
$2×(长-6) + 2×(宽-6) = 2×长 + 2×宽 - 12 -12 = 2×(长+宽) -24$
将$长+宽=60$代入，得小路总面积=$2×60 -24=96$（平方米）
4. 计算鹅卵石区域总面积：
总面积=正方形面积+小路面积=$36+96=132$（平方米）
【答案】132
【知识点】长方形周长计算，长方形面积计算，整体代入求值
【点评】本题巧妙利用整体思想求解，不需要单独计算长方形的长和宽，解题的关键是准确梳理四条小路的总长度和长方形长宽和的关系，简化计算过程。
【难度系数】0.65
9. 当$m=$
$-3$
时，方程$\frac{x}{x-3}=2+\frac{m}{3-x}$会产生增根。答案
9. $-3$
解析
【分析】
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的两个特点：一是增根会使原分式方程的最简公分母为0，二是增根是去分母后得到的整式方程的根。解题时先找出原方程最简公分母为0时x的值，确定增根的可能值，再将分式方程转化为整式方程，最后把增根代入整式方程就能求出参数m的值。
【解析】
步骤1：确定增根的可能值
原方程的分母为$x-3$和$3-x$，最简公分母是$x-3$，若方程产生增根，则最简公分母为0，即：
$x-3=0$，解得$x=3$，所以该方程的增根只能是$x=3$。
步骤2：将分式方程转化为整式方程
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$，注意$\frac{m}{3-x}=-\frac{m}{x-3}$，去分母后得：
$x = 2(x-3) - m$
步骤3：代入增根求m的值
把增根$x=3$代入上面的整式方程：
$3 = 2×(3-3) - m$
计算得$3 = 0 - m$，解得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程、代入求值
【点评】
本题是分式方程部分的典型常考题，核心是理解增根的含义，掌握先确定增根、再代入整式方程求参数的解题逻辑，解题时要注意去分母时符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的两个特点：一是增根会使原分式方程的最简公分母为0，二是增根是去分母后得到的整式方程的根。解题时先找出原方程最简公分母为0时x的值，确定增根的可能值，再将分式方程转化为整式方程，最后把增根代入整式方程就能求出参数m的值。
【解析】
步骤1：确定增根的可能值
原方程的分母为$x-3$和$3-x$，最简公分母是$x-3$，若方程产生增根，则最简公分母为0，即：
$x-3=0$，解得$x=3$，所以该方程的增根只能是$x=3$。
步骤2：将分式方程转化为整式方程
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$，注意$\frac{m}{3-x}=-\frac{m}{x-3}$，去分母后得：
$x = 2(x-3) - m$
步骤3：代入增根求m的值
把增根$x=3$代入上面的整式方程：
$3 = 2×(3-3) - m$
计算得$3 = 0 - m$，解得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程、代入求值
【点评】
本题是分式方程部分的典型常考题，核心是理解增根的含义，掌握先确定增根、再代入整式方程求参数的解题逻辑，解题时要注意去分母时符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
10. 我们规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$[a，b]$：如果$a^c = b$，那么$[a，b] = c$；例如$2^3 = 8$，记作$[2，8] = 3$。
（1）根据以上规定求出：$[4，64] = $
$[2025，1] = $
（2）小明发现$[5，3] + [5，4] = [5，12]$也成立。理由如下：
设$[5，3] = x$，$[5，4] = y$，
∴$5^x = 3$，$5^y = 4$。
又∵$5^x · 5^y = 5^{x+y} = 12$，
∴$[5，12] = x + y$，
∴$[5，3] + [5，4] = x + y = [5，12]$。
根据小明的方法，请计算$[2026，6] + [2026，7] = [2026，$
（3）猜想$[4，14] - [4，7] = [4，$
（1）根据以上规定求出：$[4，64] = $
3
；$[2025，1] = $
0
。（2）小明发现$[5，3] + [5，4] = [5，12]$也成立。理由如下：
设$[5，3] = x$，$[5，4] = y$，
∴$5^x = 3$，$5^y = 4$。
又∵$5^x · 5^y = 5^{x+y} = 12$，
∴$[5，12] = x + y$，
∴$[5，3] + [5，4] = x + y = [5，12]$。
根据小明的方法，请计算$[2026，6] + [2026，7] = [2026，$
42
$]$。（3）猜想$[4，14] - [4，7] = [4，$
2
$]$，并说明理由。答案
10.（1）3 0
（2）设[2026，6]=m，[2026，7]=n，
则$2026^m=6$，$2026^n=7$，
$\therefore 2026^m · 2026^n=2026^{m+n}=42$，
$\therefore [2026，42]=m+n$，
$\therefore [2026，6]+[2026，7]=[2026，42]$.
（3）[4，14]−[4，7]=[4，2].理由如下：
设[4，14]=a，[4，7]=b，
$\therefore 4^a=14$，$4^b=7$，
$\therefore 4^a ÷ 4^b=4^{a-b}=14÷7=2$，
$\therefore [4，2]=a-b$，
$\therefore [4，14]-[4，7]=[4，2]$.
（2）设[2026，6]=m，[2026，7]=n，
则$2026^m=6$，$2026^n=7$，
$\therefore 2026^m · 2026^n=2026^{m+n}=42$，
$\therefore [2026，42]=m+n$，
$\therefore [2026，6]+[2026，7]=[2026，42]$.
（3）[4，14]−[4，7]=[4，2].理由如下：
设[4，14]=a，[4，7]=b，
$\therefore 4^a=14$，$4^b=7$，
$\therefore 4^a ÷ 4^b=4^{a-b}=14÷7=2$，
$\therefore [4，2]=a-b$，
$\therefore [4，14]-[4，7]=[4，2]$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算规则：$[a,b]$的含义是如果$a^c=b$，那么$[a,b]=c$，本质就是求使$a$的幂等于$b$的指数。各小问解题思路如下：
（1）求$[4,64]$，只需找4的几次方等于64即可；求$[2025,1]$，结合“任何非零数的0次方为1”的性质就能得到结果。
（2）仿照题目给出的推导方法，先设两个新运算的结果为字母参数，转化为幂的形式后，利用同底数幂相乘、底数不变指数相加的性质，就能得到对应新运算的第二个数。
（3）类比加法的推导逻辑，减法对应同底数幂相除、底数不变指数相减的性质，计算两个数的商就能得到结果。
【解析】
（1）$\because 4^3=64$，根据题中运算规定可得$[4,64]=3$；
$\because 2025^0=1$，$\therefore [2025,1]=0$。
（2）设$[2026，6]=m$，$[2026，7]=n$，
则$2026^m=6$，$2026^n=7$，
$\therefore 2026^m · 2026^n=2026^{m+n}=6×7=42$，
$\therefore [2026，42]=m+n$，
$\therefore [2026，6]+[2026，7]=[2026，42]$。
（3）猜想结果为2，理由如下：
设$[4，14]=a$，$[4，7]=b$，
$\therefore 4^a=14$，$4^b=7$，
$\therefore 4^a ÷ 4^b=4^{a-b}=14÷7=2$，
$\therefore [4，2]=a-b$，
$\therefore [4，14]-[4，7]=[4，2]$。
【答案】
（1）$3$；$0$
（2）$42$
（3）$2$，理由见解析
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘除运算，零指数幂的性质
【点评】
本题属于新定义类基础题，关键是将陌生的新运算转化为已学的幂的运算知识，能够考查学生对规则的理解能力和知识迁移应用的能力，熟练掌握幂的运算性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算规则：$[a,b]$的含义是如果$a^c=b$，那么$[a,b]=c$，本质就是求使$a$的幂等于$b$的指数。各小问解题思路如下：
（1）求$[4,64]$，只需找4的几次方等于64即可；求$[2025,1]$，结合“任何非零数的0次方为1”的性质就能得到结果。
（2）仿照题目给出的推导方法，先设两个新运算的结果为字母参数，转化为幂的形式后，利用同底数幂相乘、底数不变指数相加的性质，就能得到对应新运算的第二个数。
（3）类比加法的推导逻辑，减法对应同底数幂相除、底数不变指数相减的性质，计算两个数的商就能得到结果。
【解析】
（1）$\because 4^3=64$，根据题中运算规定可得$[4,64]=3$；
$\because 2025^0=1$，$\therefore [2025,1]=0$。
（2）设$[2026，6]=m$，$[2026，7]=n$，
则$2026^m=6$，$2026^n=7$，
$\therefore 2026^m · 2026^n=2026^{m+n}=6×7=42$，
$\therefore [2026，42]=m+n$，
$\therefore [2026，6]+[2026，7]=[2026，42]$。
（3）猜想结果为2，理由如下：
设$[4，14]=a$，$[4，7]=b$，
$\therefore 4^a=14$，$4^b=7$，
$\therefore 4^a ÷ 4^b=4^{a-b}=14÷7=2$，
$\therefore [4，2]=a-b$，
$\therefore [4，14]-[4，7]=[4，2]$。
【答案】
（1）$3$；$0$
（2）$42$
（3）$2$，理由见解析
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘除运算，零指数幂的性质
【点评】
本题属于新定义类基础题，关键是将陌生的新运算转化为已学的幂的运算知识，能够考查学生对规则的理解能力和知识迁移应用的能力，熟练掌握幂的运算性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
