在学习了单项式除以单项式、多项式除以单项式后，小明发现两个多项式也可以相除，只要先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算.
例如：$(7x+2+6x^2) ÷ (2x+1)$可仿照$672 ÷ 21$计算如下：

因此，$(7x+2+6x^2) ÷ (2x+1) = 3x+2$.
（1）试判断$x^3 - x^2 -5x -3$能否被$x+1$整除，并说明理由.
（2）若多项式$x^3 -2x^2 -x +2$其中的一个因式为$x-1$，试对这个多项式进行因式分解.

（1）由多项式除以多项式可得，$x^3-x^2-5x-3$能被$x+1$整除.

（2）由多项式除以多项式可得，$x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x-2)(x+1)$.

【分析】
这道题考查多项式除法的类比应用，解题思路参照多位数竖式除法的规则：①先将被除式和除式都按同一字母降幂排列；②用被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的第一项；③用商的第一项乘除式，对齐同类项后和被除式作差，得到新的被除式；④重复上述步骤，直到余式次数低于除式次数，若余式为0则说明能整除。第一问按此步骤计算，判断最终余式是否为0即可；第二问先用多项式除法求出多项式除以因式$x-1$的商，再对商因式分解，就能得到完整的分解结果。
【解析】
（1）$x^3 - x^2 -5x -3$能被$x+1$整除，理由如下：
将被除式、除式按x降幂排列后，列竖式计算：

最终余式为0，因此$x^3 - x^2 -5x -3$能被$x+1$整除。
（2）先计算$x^3 -2x^2 -x +2$除以因式$x-1$的商，列竖式计算后得商为$x^2 -x -2$。对二次式$x^2 -x -2$十字相乘因式分解，得$x^2 -x -2=(x-2)(x+1)$，因此：
$x^3 -2x^2 -x +2=(x-1)(x^2 -x -2)=(x-1)(x-2)(x+1)$
【答案】
（1）$x^3-x^2-5x-3$能被$x+1$整除，理由见解析；
（2）$x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x-2)(x+1)$
【知识点】
多项式除以多项式，因式分解，整式运算
【点评】
本题通过类比多位数除法的方法考查多项式除法，侧重知识迁移能力的考查，解题时需注意先将多项式按同一字母降幂排列，运算过程中对齐同类项作差，因式分解时要将结果分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7