半径$OC ⊥ AB$，垂足为$O$，$OC=2$，$P$是$BA$延长线上一点，连接$CP$，交$\odot O$于点$D$，连接$AD$，$∠ OCP=60°$。过点$P$作$\odot O$的切线，切点为$E$，交$CO$的延长线于点$F$。
(1)求$\overset{\frown}{CD}$的长；
(2)求$∠ DAB$的度数；
(3)求$\cos∠ OFP$的值。

4. (1) 如图,连接 OD,在 $\odot O$ 中,$OC=OD$,又 $\because ∠ OCP=60°$,$\therefore △ OCD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ COD=60°$.$\because OC=2$,$\therefore \overset{\frown}{CD}$ 的长$=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$.
(2) $\because OC ⊥ AB$,$\therefore ∠ POF=∠ AOC=90°$,$\therefore ∠ AOD=∠ AOC-∠ COD=30°$.$\because$ 在 $\odot O$ 中,$OA=OD$,$\therefore ∠ DAB=∠ ADO=\frac{180°-∠ AOD}{2}=75°$.
(3) 如图,连接 OE, $\because ∠ AOC=90°$,$∠ OCP=60°$,$\therefore ∠ CPO=30°$,$\therefore PO=\sqrt{3}CO=2\sqrt{3}$.$\because PE$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore ∠ OEF=90°$,$OE=OC=2$,$\therefore ∠ OFP+∠ FOE=90°$.$\because ∠ POF=∠ AOC=90°$,$\therefore ∠ POE+∠ FOE=90°$,$\therefore ∠ OFP=∠ POE$,$\therefore \cos∠ OFP=\cos∠ POE=\frac{OE}{PO}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. (扬州中考)如图,AB为$\odot O$的弦,$OC ⊥ OA$交AB于点P,交过点B的直线于点C,且$CB=CP$.
(1)试判断直线BC与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$\sin A=\dfrac{\sqrt{5}}{5},OA=8$,求CB的长.

6. (宜宾中考)如图①,D为$\odot O$上一点,点C在直

5. (1) 直线 BC 与$\odot O$ 相切,理由如下:如图,连接 OB.$\because CP=CB$,$OA=OB$,$\therefore ∠ A=∠ OBA$,$∠ CPB=∠ CBP$.$\because ∠ APO=∠ CPB$,$\therefore ∠ APO=∠ CBP$.$\because OC ⊥ OA$,即 $∠ AOP=90°$,$\therefore ∠ A+∠ APO=90°=∠ OBA+∠ CBP=∠ OBC$,$\therefore OB ⊥ BC$.$\because OB$ 为$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 BC 与$\odot O$ 相切.
(2) 分别作 $OM ⊥ AB$ 于点 M,$CN ⊥ AB$ 于点 N,如图,$\therefore AM=BM$.$\because CP=CB$,$AO ⊥ CO$,$CN ⊥ BP$,$\therefore ∠ A+∠ APO=∠ PCN+∠ CPN=90°$,$PN=BN$,$∠ PCN=∠ BCN$,$\therefore ∠ A=∠ PCN=∠ BCN$.$\because \sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$OA=8$,$\therefore \sin A=\frac{OM}{OA}=\frac{OP}{AP}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore OM=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,$AM=\frac{16\sqrt{5}}{5}$,$OP=4$,$AP=4\sqrt{5}$,$\therefore AB=2AM=\frac{32\sqrt{5}}{5}$,$\therefore PN=BN=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}(AB-AP)=\frac{1}{2}×(\frac{32\sqrt{5}}{5}-4\sqrt{5})=\frac{6\sqrt{5}}{5}$.$\because \sin A=\sin∠ BCN=\frac{BN}{CB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore CB=\sqrt{5}\ BN=\sqrt{5}×\frac{6\sqrt{5}}{5}=6$.

径BA的延长线上，且$∠ CDA=∠ CBD$.
(1)判断直线CD与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
(2)若$\tan∠ ADC=\frac{1}{2}$，$AC=2$，求$\odot O$的半径；
(3)如图②，在(2)的条件下，$∠ ADB$的平分线DE交$\odot O$于点E，交AB于点F，连接BE.求$\sin∠ DBE$的值.

6. (1) 直线 CD 与$\odot O$ 相切.理由:如图①,连接 OD.$\because OB=OD$,$\therefore ∠ ODB=∠ CBD$.$\because ∠ CDA=∠ CBD$,$\therefore ∠ CDA=∠ ODB$.$\because AB$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ADB=∠ ADO+∠ ODB=90°$,$\therefore ∠ CDA+∠ ADO=90°$,$\therefore ∠ CDO=90°$,$\therefore OD ⊥ CD$,$\therefore$ 直线 CD 与$\odot O$ 相切.
(2) $\because \tan∠ ADC=\frac{1}{2}$,且 $∠ ADC=∠ CBD$,$\therefore \tan∠ CBD=\frac{1}{2}$.在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$\tan∠ CBD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$.$\because ∠ C=∠ C$,$∠ ADC=∠ CBD$,$\therefore △ CAD ∽ △ CDB$,$\therefore \frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CB}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$,$\therefore CD=2CA=4$,$\therefore CB=2CD=8$,$\therefore AB=CB-CA=8-2=6$,$\therefore OA=OB=\frac{1}{2}AB=3$,$\therefore \odot O$ 的半径为 3.
(3) 如图②,连接 OE,过点 E 作 $EG ⊥ BD$ 于 G.$\because DE$ 平分 $∠ ADB$,$\therefore ∠ ADE=∠ BDE=45°$,$\therefore ∠ BOE=2∠ BDE=90°$,$\therefore BE=\sqrt{OB^2+OE^2}=3\sqrt{2}$.在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD^2+BD^2=AB^2=6^2=36$,$\because \frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$,$\therefore AD=\frac{6\sqrt{5}}{5}$,$BD=\frac{12\sqrt{5}}{5}$.$\because EG ⊥ BD$,$∠ BDE=45°$,$\therefore ∠ DEG=∠ BDE=45°$,$\therefore DG=EG$.设 $DG=EG=x$,则 $BG=BD-DG=\frac{12\sqrt{5}}{5}-x$.在 $\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,$EG^2+BG^2=BE^2=(3\sqrt{2})^2=18$,$\therefore x^2+(\frac{12\sqrt{5}}{5}-x)^2=18$,$\therefore x=\frac{9\sqrt{5}}{5}$ 或 $x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$(舍去),$\therefore EG=\frac{9\sqrt{5}}{5}$.$\therefore \sin∠ DBE=\frac{EG}{BE}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.