1. (2024·甘肃中考)如图, AB 是$\odot O$的直径, $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,点 E 在 AD 的延长线上,且$∠ ADC=∠ AEB$.
(1)求证:BE 是$\odot O$的切线;
(2)当$\odot O$的半径为 2,BC=3 时,求$\tan∠ AEB$的值.

1. (1) 连接 BD,OC,OD,如图.$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore BC=BD.\because OC=OD,\therefore$ 点 O,B 在 CD 的垂直平分线上,$\therefore OB$ 垂直平分 CD,$\therefore ∠ AFD = 90°.\because ∠ ADC = ∠ AEB,\therefore CD // BE,\therefore ∠ ABE = ∠ AFD=90°,\therefore AB ⊥ BE.\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore BE$ 是$\odot O$ 的切线.
(2) $\because \odot O$ 的半径为 2,$\therefore AB=2×2=4.\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°.\because BC=3,\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7},\therefore \tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{3}.\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ ADC=∠ ABC.\because ∠ AEB=∠ ADC,\therefore ∠ AEB=∠ ABC,\therefore \tan ∠ AEB=\tan∠ ABC=\frac{\sqrt{7}}{3}.$

2.【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题:已知$α$为锐角,且$\sinα=\dfrac{1}{3}$,求$\sin2α$的值.
小娟是这样给小芸解答的:构造如图①所示的图形,在$\odot O$中,AB是直径,点C在$\odot O$上,所以$∠ ACB=90°$,作$CD⊥ AB$于D.设$∠ BAC=α$,则$\sinα=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{3}$,设$BC=x$,则$AB=3x$,$···$.
【问题解决】(1)请按照小娟的思路,利用图①求出$\sin2α$的值(写出完整的解答过程);
(2)如图②,已知点M,N,P为$\odot O$上的三点,且$∠ P=β$,$β$为锐角,$\sinβ=\dfrac{3}{5}$,求$\sin2β$的值.

2. (1) 作 $CD ⊥ AB$ 于 D,如题图①, 设 $∠ BAC=α$, 则 $\sin α=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$.设 $BC=x$, 则 $AB=3x$,$\therefore OC=\frac{3}{2}x$.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得 $AC=2\sqrt{2}x$.又 $\because \frac{1}{2}AC× BC=\frac{1}{2}AB× CD$,$\therefore CD=\frac{2\sqrt{2}x}{3}$.$\therefore \sin 2α=\sin∠ COD=\frac{CD}{OC}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$.
(2) 如图,作直径 NQ,连接 MQ,MO,过点 M 作 $MR ⊥ NQ$ 于点 R.$\because NQ$ 为直径,$\therefore ∠ NMQ=90°$.$\because ∠ Q=∠ P=β$,$\therefore ∠ MON=2∠ Q=2β$.在 $\mathrm{Rt}△ QMN$ 中,$\because \sin β=\frac{MN}{NQ}=\frac{3}{5}$,$\therefore$ 设 $MN=3k$, 则 $NQ=5k$, 易得 $OM=\frac{1}{2}NQ=\frac{5}{2}k$,$\therefore MQ=\sqrt{QN^2-MN^2}=4k$.
$\because \frac{1}{2}MN· MQ=\frac{1}{2}NQ· MR$,$\therefore MR=\frac{12}{5}k$.
在 $\mathrm{Rt}△ MRO$ 中,$\sin 2β=\sin∠ MON=\frac{MR}{OM}=\frac{\frac{12}{5}k}{\frac{5}{2}k}=\frac{24}{25}$.

3. (2026·淮安期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ AC$,垂足为$E$,交$BA$的延长线于点$F$.
(1)求证:$DE$是$\odot O$的切线;
(2)若$AF=2$,$\tan F=\dfrac{3}{4}$,求$\odot O$的半径.

4. (2025·内蒙古中考)如图,$AB$是$\odot O$的直径,

3. (1) 如图,连接 OD,则 $OD=OB$,$\therefore ∠ ODB=∠ B$.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ C=∠ B$,$\therefore ∠ ODB=∠ C$,$\therefore OD// AC$.$\because DE ⊥ AC$ 于点 E,交 BA 的延长线于点 F,$\therefore ∠ ODF=∠ AEF=90°$.$\because OD$ 是$\odot O$ 的半径,且 $DE ⊥ OD$,$\therefore DE$ 是$\odot O$ 的切线.
(2) $\because ∠ ODF=90°$,$\therefore \frac{OD}{DF}=\tan F=\frac{3}{4}$,$\therefore DF=\frac{4}{3}OD$.$\because AF=2$,$OA=OD$,$\therefore OF=OA+AF=OD+2$.$\because OD^2+DF^2=OF^2$,$\therefore OD^2+(\frac{4}{3}OD)^2=(OD+2)^2$,解得 $OD=3$ 或 $OD=-\frac{3}{4}$(不符合题意,舍去),$\therefore \odot O$ 的半径长为 3.