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滚动强化练（四十八） 小结
知识结构关系
一元一次方程
相关概念
方程：含有未知数的①
方程的解：使方程左、右两边的值②
等式的性质
性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍③
性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为④
解一元一次方程
五步:去分母
去括号、移项、⑤
实际应用
步骤 → 审、设、找、列、解、验、答
类型
配套问题
工程问题
销售问题
球赛问题
方案问题
行程问题
有理数的运算 ↔ 整式的加减
有理数 ↔ 代数式
知识结构关系
一元一次方程
相关概念
方程：含有未知数的①
等式
→ 一元一次方程方程的解：使方程左、右两边的值②
相等
的未知数的值 → 解方程等式的性质
性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍③
相等
性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为④
0
的数，结果仍相等解一元一次方程
五步:去分母
去括号、移项、⑤合并同类项
、⑥系数化为1
实际应用
步骤 → 审、设、找、列、解、验、答
类型
配套问题
工程问题
销售问题
球赛问题
方案问题
行程问题
有理数的运算 ↔ 整式的加减
有理数 ↔ 代数式
答案
1. 等式
2. 相等
3. 相等
4. 0
5. 合并同类项
6. 系数化为1
2. 相等
3. 相等
4. 0
5. 合并同类项
6. 系数化为1
解析
【分析】
本题考查一元一次方程相关的基础概念，解题时只需要回忆对应教材中的基础定义、性质和运算步骤，逐一匹配填空即可：
1. 回忆方程的定义，填写①；
2. 回忆方程的解的定义，填写②；
3. 回忆等式的两条性质的内容，分别填写③和④；
4. 回忆解一元一次方程的固定五步，对应填写剩余的⑤和⑥。
【解析】
①根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，因此①填等式；
②根据方程的解的定义：能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，因此②填相等；
③根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，因此③填相等；
④根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（0不能作除数），结果仍相等，因此④填0；
⑤⑥解一元一次方程的标准五步依次为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，因此⑤填合并同类项，⑥填系数化为1。
【答案】
①等式；②相等；③相等；④0；⑤合并同类项；⑥系数化为1
【知识点】
方程的相关概念；等式的性质；解一元一次方程的步骤
【点评】
本题属于基础概念考查题，所有内容均为一元一次方程章节的核心基础知识点，熟练掌握这些内容是求解方程以及用方程解决实际问题的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程相关的基础概念，解题时只需要回忆对应教材中的基础定义、性质和运算步骤，逐一匹配填空即可：
1. 回忆方程的定义，填写①；
2. 回忆方程的解的定义，填写②；
3. 回忆等式的两条性质的内容，分别填写③和④；
4. 回忆解一元一次方程的固定五步，对应填写剩余的⑤和⑥。
【解析】
①根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，因此①填等式；
②根据方程的解的定义：能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，因此②填相等；
③根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，因此③填相等；
④根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（0不能作除数），结果仍相等，因此④填0；
⑤⑥解一元一次方程的标准五步依次为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，因此⑤填合并同类项，⑥填系数化为1。
【答案】
①等式；②相等；③相等；④0；⑤合并同类项；⑥系数化为1
【知识点】
方程的相关概念；等式的性质；解一元一次方程的步骤
【点评】
本题属于基础概念考查题，所有内容均为一元一次方程章节的核心基础知识点，熟练掌握这些内容是求解方程以及用方程解决实际问题的前提。
【难度系数】
0.9
1. (2025伊犁州期末)若$(m-2)x^{|2m-3|}=6$是关于x的一元一次方程，则m等于 （
A.1
B.2
C.1或2
D.任何数
A
）A.1
B.2
C.1或2
D.任何数
答案
1. A
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合一元一次方程的定义推导。一元一次方程有两个核心成立条件：一是只含1个未知数，且未知数的次数为1；二是未知数的系数不能为0，否则方程将不含未知数，不符合一元一次方程的要求。我们可以先根据未知数次数为1列绝对值方程求出m的可能值，再代入系数验证，排除系数为0的情况，就能得到正确结果。
【解析】
∵ $(m-2)x^{|2m-3|}=6$是关于x的一元一次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的次数为1，即$|2m-3|=1$
去绝对值可得：$2m-3=1$ 或 $2m-3=-1$
当$2m-3=1$时，$2m=4$，解得$m=2$
当$2m-3=-1$时，$2m=2$，解得$m=1$
2. 未知数x的系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$
综上，排除$m=2$，可得$m=1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义类的典型易错题，解题时很容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选C选项，牢记一元一次方程的全部成立条件是避免出错的核心。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值，需结合一元一次方程的定义推导。一元一次方程有两个核心成立条件：一是只含1个未知数，且未知数的次数为1；二是未知数的系数不能为0，否则方程将不含未知数，不符合一元一次方程的要求。我们可以先根据未知数次数为1列绝对值方程求出m的可能值，再代入系数验证，排除系数为0的情况，就能得到正确结果。
【解析】
∵ $(m-2)x^{|2m-3|}=6$是关于x的一元一次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的次数为1，即$|2m-3|=1$
去绝对值可得：$2m-3=1$ 或 $2m-3=-1$
当$2m-3=1$时，$2m=4$，解得$m=2$
当$2m-3=-1$时，$2m=2$，解得$m=1$
2. 未知数x的系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$
综上，排除$m=2$，可得$m=1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义类的典型易错题，解题时很容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选C选项，牢记一元一次方程的全部成立条件是避免出错的核心。
【难度系数】
0.6
2. (2025乌鲁木齐期末)若$x=2$是方程$3x - a = 1$的解，则$-\dfrac{1}{5}a + |-1|$的值为（
A.0
B.2
C.$-2$
D.3
A
）A.0
B.2
C.$-2$
D.3
答案
2. A
解析
【分析】
本题应先利用方程的解的定义求解参数a的值，再将a代入所求代数式计算最终结果。第一步，明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将x=2代入已知的一元一次方程，即可得到关于a的一元一次方程，解出a；第二步，将求得的a代入目标代数式，结合绝对值的运算规则计算即可得到答案。
【解析】
∵x=2是方程3x - a = 1的解
∴将x=2代入方程得：
$3×2 - a = 1$
$6 - a = 1$
解得：$a=5$
将$a=5$代入$-\dfrac{1}{5}a + |-1|$得：
原式$=-\dfrac{1}{5}×5 + 1$
$=-1 + 1$
$=0$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值，绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程的解的应用，计算量小，只要熟练掌握方程解的定义，运算时注意符号即可得分。
【难度系数】
0.9
本题应先利用方程的解的定义求解参数a的值，再将a代入所求代数式计算最终结果。第一步，明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将x=2代入已知的一元一次方程，即可得到关于a的一元一次方程，解出a；第二步，将求得的a代入目标代数式，结合绝对值的运算规则计算即可得到答案。
【解析】
∵x=2是方程3x - a = 1的解
∴将x=2代入方程得：
$3×2 - a = 1$
$6 - a = 1$
解得：$a=5$
将$a=5$代入$-\dfrac{1}{5}a + |-1|$得：
原式$=-\dfrac{1}{5}×5 + 1$
$=-1 + 1$
$=0$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值，绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程的解的应用，计算量小，只要熟练掌握方程解的定义，运算时注意符号即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 下列说法中错误的是（
A.若$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$，则$x=y$
B.若$x^2=y^2$，则$-4ax^2=-4ay^2$
C.若$a=b$，则$a-3=b-3$
D.若$ac=bc$，则$a=b$
D
）A.若$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$，则$x=y$
B.若$x^2=y^2$，则$-4ax^2=-4ay^2$
C.若$a=b$，则$a-3=b-3$
D.若$ac=bc$，则$a=b$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查等式变形的正误判断，解题核心是熟练运用等式的基本性质，同时注意变形的前提约束条件。解题思路：首先回忆等式的两条基本性质，再逐一分析每个选项的变形是否符合性质要求，重点关注等式两边同时除以同一个数时，必须保证该数不为0的前提，最终找出错误的说法。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
A选项：$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$中a在分母位置，隐含$a≠0$的条件，根据等式性质2，两边同时乘a，可得$x=y$，说法正确，不符合题意；
B选项：已知$x^2=y^2$，根据等式性质2，两边同时乘$-4a$，可得$-4ax^2=-4ay^2$，说法正确，不符合题意；
C选项：已知$a=b$，根据等式性质1，两边同时减3，可得$a-3=b-3$，说法正确，不符合题意；
D选项：当$c=0$时，无论a、b取何值，都满足$ac=bc$，因此不能由$ac=bc$直接推出$a=b$，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；0的运算性质
【点评】
本题是等式性质应用的常考题，易错点是忽略等式两边同时除以含字母的式子时，需要先确认该式子不为0，这是此类题的核心考点。
【难度系数】
0.7
本题考查等式变形的正误判断，解题核心是熟练运用等式的基本性质，同时注意变形的前提约束条件。解题思路：首先回忆等式的两条基本性质，再逐一分析每个选项的变形是否符合性质要求，重点关注等式两边同时除以同一个数时，必须保证该数不为0的前提，最终找出错误的说法。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
A选项：$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$中a在分母位置，隐含$a≠0$的条件，根据等式性质2，两边同时乘a，可得$x=y$，说法正确，不符合题意；
B选项：已知$x^2=y^2$，根据等式性质2，两边同时乘$-4a$，可得$-4ax^2=-4ay^2$，说法正确，不符合题意；
C选项：已知$a=b$，根据等式性质1，两边同时减3，可得$a-3=b-3$，说法正确，不符合题意；
D选项：当$c=0$时，无论a、b取何值，都满足$ac=bc$，因此不能由$ac=bc$直接推出$a=b$，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；0的运算性质
【点评】
本题是等式性质应用的常考题，易错点是忽略等式两边同时除以含字母的式子时，需要先确认该式子不为0，这是此类题的核心考点。
【难度系数】
0.7
4. (2025和田地区期末)下列方程变形中,正确的是 (
A.方程$\frac{x-1}{2} - \frac{x}{5} =1$,去分母得$5(x-1)-2x=1$
B.方程$3 -x =2 -5(x-1)$,去括号得$3 -x =2 -5x -1$
C.方程$\frac{2}{3}t = \frac{3}{2}$,系数化为1得$t=1$
D.方程$3x -2 =2x +1$,移项得$3x -2x =1 +2$
D
)A.方程$\frac{x-1}{2} - \frac{x}{5} =1$,去分母得$5(x-1)-2x=1$
B.方程$3 -x =2 -5(x-1)$,去括号得$3 -x =2 -5x -1$
C.方程$\frac{2}{3}t = \frac{3}{2}$,系数化为1得$t=1$
D.方程$3x -2 =2x +1$,移项得$3x -2x =1 +2$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查一元一次方程的变形规则，解题时需先回忆去分母、去括号、系数化为1、移项的具体要求，再逐一核对每个选项的变形是否符合规则，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{x-1}{2} - \frac{x}{5} =1$去分母时，等式两边需同时乘分母的最小公倍数10，右边的1也要乘10，正确结果应为$5(x-1)-2x=10$，故A错误。
B选项：方程$3 -x =2 -5(x-1)$去括号时，$-5$乘括号内的$-1$应为$+5$，正确结果应为$3 -x =2 -5x +5$，故B错误。
C选项：方程$\frac{2}{3}t = \frac{3}{2}$系数化为1时，两边同时乘$\frac{3}{2}$，得$t=\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，故C错误。
D选项：方程$3x -2 =2x +1$移项时，移动的项要变号，将$-2$移到右边变为$+2$，$2x$移到左边变为$-2x$，可得$3x -2x =1 +2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程变形、去括号法则、移项规则
【点评】
本题针对一元一次方程求解过程中的常见易错点设置选项，需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号和移项时要注意符号变化。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程的变形规则，解题时需先回忆去分母、去括号、系数化为1、移项的具体要求，再逐一核对每个选项的变形是否符合规则，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{x-1}{2} - \frac{x}{5} =1$去分母时，等式两边需同时乘分母的最小公倍数10，右边的1也要乘10，正确结果应为$5(x-1)-2x=10$，故A错误。
B选项：方程$3 -x =2 -5(x-1)$去括号时，$-5$乘括号内的$-1$应为$+5$，正确结果应为$3 -x =2 -5x +5$，故B错误。
C选项：方程$\frac{2}{3}t = \frac{3}{2}$系数化为1时，两边同时乘$\frac{3}{2}$，得$t=\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，故C错误。
D选项：方程$3x -2 =2x +1$移项时，移动的项要变号，将$-2$移到右边变为$+2$，$2x$移到左边变为$-2x$，可得$3x -2x =1 +2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程变形、去括号法则、移项规则
【点评】
本题针对一元一次方程求解过程中的常见易错点设置选项，需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号和移项时要注意符号变化。
【难度系数】
0.8
5. 解下列方程：
(1)(2025乌鲁木齐期末) $3x - 2 = 8 + x$；
(2)(2025伊犁州期末) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{6} = 2$；
(3) $\frac{4 - 6x}{0.01} - 6.5 = \frac{0.02 - 4x}{0.02} - 7.5$。
(1)(2025乌鲁木齐期末) $3x - 2 = 8 + x$；
(2)(2025伊犁州期末) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{6} = 2$；
(3) $\frac{4 - 6x}{0.01} - 6.5 = \frac{0.02 - 4x}{0.02} - 7.5$。
答案
5. 解:(1)$3x-2=8+x$,
移项、合并同类项,得$2x=10$,
系数化为1,得$x=5$.
(2)$\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{6}=2$,
去分母,得$2(2x-1)-(x+1)=12$,
去括号,得$4x-2-x-1=12$,
移项并合并同类项,得$3x=15$,
系数化为1,得$x=5$.
(3)利用分数的基本性质,将方程变形为
$400-600x-6.5=1-200x-7.5$.
移项、合并同类项,得$-400x=-400$.
系数化为1,得$x=1$.
移项、合并同类项,得$2x=10$,
系数化为1,得$x=5$.
(2)$\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{6}=2$,
去分母,得$2(2x-1)-(x+1)=12$,
去括号,得$4x-2-x-1=12$,
移项并合并同类项,得$3x=15$,
系数化为1,得$x=5$.
(3)利用分数的基本性质,将方程变形为
$400-600x-6.5=1-200x-7.5$.
移项、合并同类项,得$-400x=-400$.
系数化为1,得$x=1$.
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程求解问题，解题思路遵循一元一次方程的通用求解步骤，可根据方程形式灵活调整：(1)为整数系数的基础一元一次方程，直接移项合并同类项后化系数为1即可；(2)含有分数分母，先通过去分母消去分数形式，再按常规步骤计算；(3)分母为小数，先利用分数基本性质将小数分母转化为整数，简化后再按解方程步骤计算，计算过程中注意移项要变号、去分母不要漏乘常数项。
【解析】
(1) $3x - 2 = 8 + x$，
移项、合并同类项，得$2x=10$，
系数化为1，得$x=5$。
(2) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{6} = 2$，
去分母，得$2(2x-1)-(x+1)=12$，
去括号，得$4x-2-x-1=12$，
移项并合并同类项，得$3x=15$，
系数化为1，得$x=5$。
(3) 利用分数的基本性质，将方程变形为
$400 - 600x - 6.5 = 1 - 200x - 7.5$，
移项、合并同类项，得$-400x=-400$，
系数化为1，得$x=1$。
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=5$；(3)$x=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 分数的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程的典型练习题，覆盖了整数系数、含分数分母、含小数分母三类常见的方程形式，能有效考查对解方程步骤的掌握程度，解题时需注意细节，避免出现漏乘、移项不变号等低级错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均为一元一次方程求解问题，解题思路遵循一元一次方程的通用求解步骤，可根据方程形式灵活调整：(1)为整数系数的基础一元一次方程，直接移项合并同类项后化系数为1即可；(2)含有分数分母，先通过去分母消去分数形式，再按常规步骤计算；(3)分母为小数，先利用分数基本性质将小数分母转化为整数，简化后再按解方程步骤计算，计算过程中注意移项要变号、去分母不要漏乘常数项。
【解析】
(1) $3x - 2 = 8 + x$，
移项、合并同类项，得$2x=10$，
系数化为1，得$x=5$。
(2) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{6} = 2$，
去分母，得$2(2x-1)-(x+1)=12$，
去括号，得$4x-2-x-1=12$，
移项并合并同类项，得$3x=15$，
系数化为1，得$x=5$。
(3) 利用分数的基本性质，将方程变形为
$400 - 600x - 6.5 = 1 - 200x - 7.5$，
移项、合并同类项，得$-400x=-400$，
系数化为1，得$x=1$。
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=5$；(3)$x=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 分数的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程的典型练习题，覆盖了整数系数、含分数分母、含小数分母三类常见的方程形式，能有效考查对解方程步骤的掌握程度，解题时需注意细节，避免出现漏乘、移项不变号等低级错误。
【难度系数】
0.8
