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典例2 某水果店以200元/箱的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10 kg为质量标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：
(1)求n的值及这20箱樱桃的总质量.
(2)水果店打算以25元/kg的价格销售这批樱桃，若全部售出，可获利多少元？
(3)实际上该水果店第一天以25元/kg的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为担心剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店销售完这批樱桃的结果是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
(1)求n的值及这20箱樱桃的总质量.
(2)水果店打算以25元/kg的价格销售这批樱桃，若全部售出，可获利多少元？
(3)实际上该水果店第一天以25元/kg的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为担心剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店销售完这批樱桃的结果是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
答案
解：
(1) 计算n的值：
$n = 20 - 1 - 2 - 4 - 6 - 2 = 5$
计算20箱樱桃与标准质量的总差值：
$(-0.5)×1 + (-0.25)×2 + 0×4 + 0.25×6 + 0.3×5 + 0.5×2$
$= -0.5 - 0.5 + 0 + 1.5 + 1.5 + 1 = 3\ (\mathrm{kg})$
20箱樱桃的总质量：
$20×10 + 3 = 203\ (\mathrm{kg})$
(2) 购进这批樱桃的总成本：
$200×20 = 4000\ (\mathrm{元})$
全部售出的总销售额：
$25×203 = 5075\ (\mathrm{元})$
总获利：
$5075 - 4000 = 1075\ (\mathrm{元})$
(3) 第一天的销售额：
$25×(203×60\%) = 3045\ (\mathrm{元})$
第二天的售价：
$25×70\% = 17.5\ (\mathrm{元/kg})$
第二天的销售额：
$17.5×[203×(1-60\%)] = 1421\ (\mathrm{元})$
这批樱桃的总销售额：
$3045 + 1421 = 4466\ (\mathrm{元})$
因为$4466＞4000$，所以盈利，盈利金额为：
$4466 - 4000 = 466\ (\mathrm{元})$
答：(1)n的值为5，这20箱樱桃的总质量为203kg；(2)全部售出可获利1075元；(3)水果店销售完这批樱桃盈利，盈利466元。
(1) 计算n的值：
$n = 20 - 1 - 2 - 4 - 6 - 2 = 5$
计算20箱樱桃与标准质量的总差值：
$(-0.5)×1 + (-0.25)×2 + 0×4 + 0.25×6 + 0.3×5 + 0.5×2$
$= -0.5 - 0.5 + 0 + 1.5 + 1.5 + 1 = 3\ (\mathrm{kg})$
20箱樱桃的总质量：
$20×10 + 3 = 203\ (\mathrm{kg})$
(2) 购进这批樱桃的总成本：
$200×20 = 4000\ (\mathrm{元})$
全部售出的总销售额：
$25×203 = 5075\ (\mathrm{元})$
总获利：
$5075 - 4000 = 1075\ (\mathrm{元})$
(3) 第一天的销售额：
$25×(203×60\%) = 3045\ (\mathrm{元})$
第二天的售价：
$25×70\% = 17.5\ (\mathrm{元/kg})$
第二天的销售额：
$17.5×[203×(1-60\%)] = 1421\ (\mathrm{元})$
这批樱桃的总销售额：
$3045 + 1421 = 4466\ (\mathrm{元})$
因为$4466＞4000$，所以盈利，盈利金额为：
$4466 - 4000 = 466\ (\mathrm{元})$
答：(1)n的值为5，这20箱樱桃的总质量为203kg；(2)全部售出可获利1075元；(3)水果店销售完这批樱桃盈利，盈利466元。
解析
【分析】
(1) 已知总箱数为20箱，用总箱数减去其余已知差值对应的箱数即可求出n的值；计算总质量时，先求出20箱樱桃与标准质量的总差值，再加上20箱的标准总质量，就能得到实际总质量。
(2) 获利金额=总销售额-进货总成本，先计算购进20箱樱桃的总成本，再用总质量乘销售单价得到总销售额，两者作差即为获利金额。
(3) 分别计算两天的销售额：第一天销售额用总质量乘60%再乘原售价；第二天售价为原售价的70%，销售额用剩余质量乘打折后的售价，两天销售额相加得到总销售额，再和总成本对比，总销售额大于成本则盈利，差值即为盈利金额，反之则亏损。
【解析】
(1) 计算n的值：
总箱数为20箱，因此$n = 20 - 1 - 2 - 4 - 6 - 2 = 5$
计算20箱樱桃与标准质量的总差值：
$\begin{aligned}&(-0.5)×1 + (-0.25)×2 + 0×4 + 0.25×6 + 0.3×5 + 0.5×2 \\=& -0.5 - 0.5 + 0 + 1.5 + 1.5 + 1 \\=& 3\ (\mathrm{kg})\end{aligned}$
20箱樱桃的总质量：
$20×10 + 3 = 203\ (\mathrm{kg})$
(2) 计算总获利：
购进这批樱桃的总成本：$200×20 = 4000\ (\mathrm{元})$
全部售出的总销售额：$25×203 = 5075\ (\mathrm{元})$
总获利：$5075 - 4000 = 1075\ (\mathrm{元})$
(3) 计算分两天销售的盈亏情况：
第一天的销售额：$25×(203×60\%) = 3045\ (\mathrm{元})$
第二天的售价：$25×70\% = 17.5\ (\mathrm{元/kg})$
第二天的销售额：$17.5×[203×(1-60\%)] = 1421\ (\mathrm{元})$
总销售额：$3045 + 1421 = 4466\ (\mathrm{元})$
因为$4466＞4000$，所以盈利，盈利金额为：$4466 - 4000 = 466\ (\mathrm{元})$
【答案】
(1)n的值为5，这20箱樱桃的总质量为203kg；
(2)全部售出可获利1075元；
(3)水果店销售完这批樱桃盈利，盈利466元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数混合运算；利润问题计算
【点评】
本题结合生活销售场景，考查了正负数的意义和有理数运算的实际应用，解题时需理清各数量之间的逻辑关系，分步骤计算，注意运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 已知总箱数为20箱，用总箱数减去其余已知差值对应的箱数即可求出n的值；计算总质量时，先求出20箱樱桃与标准质量的总差值，再加上20箱的标准总质量，就能得到实际总质量。
(2) 获利金额=总销售额-进货总成本，先计算购进20箱樱桃的总成本，再用总质量乘销售单价得到总销售额，两者作差即为获利金额。
(3) 分别计算两天的销售额：第一天销售额用总质量乘60%再乘原售价；第二天售价为原售价的70%，销售额用剩余质量乘打折后的售价，两天销售额相加得到总销售额，再和总成本对比，总销售额大于成本则盈利，差值即为盈利金额，反之则亏损。
【解析】
(1) 计算n的值：
总箱数为20箱，因此$n = 20 - 1 - 2 - 4 - 6 - 2 = 5$
计算20箱樱桃与标准质量的总差值：
$\begin{aligned}&(-0.5)×1 + (-0.25)×2 + 0×4 + 0.25×6 + 0.3×5 + 0.5×2 \\=& -0.5 - 0.5 + 0 + 1.5 + 1.5 + 1 \\=& 3\ (\mathrm{kg})\end{aligned}$
20箱樱桃的总质量：
$20×10 + 3 = 203\ (\mathrm{kg})$
(2) 计算总获利：
购进这批樱桃的总成本：$200×20 = 4000\ (\mathrm{元})$
全部售出的总销售额：$25×203 = 5075\ (\mathrm{元})$
总获利：$5075 - 4000 = 1075\ (\mathrm{元})$
(3) 计算分两天销售的盈亏情况：
第一天的销售额：$25×(203×60\%) = 3045\ (\mathrm{元})$
第二天的售价：$25×70\% = 17.5\ (\mathrm{元/kg})$
第二天的销售额：$17.5×[203×(1-60\%)] = 1421\ (\mathrm{元})$
总销售额：$3045 + 1421 = 4466\ (\mathrm{元})$
因为$4466＞4000$，所以盈利，盈利金额为：$4466 - 4000 = 466\ (\mathrm{元})$
【答案】
(1)n的值为5，这20箱樱桃的总质量为203kg；
(2)全部售出可获利1075元；
(3)水果店销售完这批樱桃盈利，盈利466元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数混合运算；利润问题计算
【点评】
本题结合生活销售场景，考查了正负数的意义和有理数运算的实际应用，解题时需理清各数量之间的逻辑关系，分步骤计算，注意运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
典例3 第19届亚运会在杭州市成功举办.据测算,亚运会对杭州市GDP(国内生产总值)的拉动量约为4 141亿元.数据4 141亿用科学记数法表示为.
答案
$\boldsymbol{4.141× 10^{11}}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数写成$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ |a|＜10$，n为正整数（针对大于1的数）。解题时第一步先将“4141亿”的计数单位“亿”转化为普通数字，再按照规则确定a和n的值即可：先把原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后面，得到符合要求的a，小数点移动的位数就是n的值。
【解析】
1. 先将4141亿还原为原数：
$4141\mathrm{亿}=4141×100000000=414100000000$
2. 根据科学记数法的定义，其形式为$a×10^n$（$1≤ |a|＜10$，n为整数）：
确定a：将414100000000的小数点向左移动11位，得到$a=4.141$，满足$1≤4.141＜10$的要求。
确定n：小数点向左移动了11位，因此$n=11$。
综上，4141亿用科学记数法表示为$4.141×10^{11}$。
【答案】
$\boldsymbol{4.141× 10^{11}}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握科学记数法的表示规则，同时要注意“亿”“万”这类常用计数单位对应的量级，避免数错数位导致n的取值错误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数写成$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ |a|＜10$，n为正整数（针对大于1的数）。解题时第一步先将“4141亿”的计数单位“亿”转化为普通数字，再按照规则确定a和n的值即可：先把原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后面，得到符合要求的a，小数点移动的位数就是n的值。
【解析】
1. 先将4141亿还原为原数：
$4141\mathrm{亿}=4141×100000000=414100000000$
2. 根据科学记数法的定义，其形式为$a×10^n$（$1≤ |a|＜10$，n为整数）：
确定a：将414100000000的小数点向左移动11位，得到$a=4.141$，满足$1≤4.141＜10$的要求。
确定n：小数点向左移动了11位，因此$n=11$。
综上，4141亿用科学记数法表示为$4.141×10^{11}$。
【答案】
$\boldsymbol{4.141× 10^{11}}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握科学记数法的表示规则，同时要注意“亿”“万”这类常用计数单位对应的量级，避免数错数位导致n的取值错误。
【难度系数】
0.8
典例4 利用下图,求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$的值.
典例解析
典例1
解 $-5×(-3\frac{4}{7})+(-9)×(+3\frac{4}{7})+17×(-3\frac{4}{7})$
$=5×3\frac{4}{7}+(-9)×3\frac{4}{7}-17×3\frac{4}{7}$
$=(5-9-17)×\frac{25}{7}=-21×\frac{25}{7}=-75.$
典例2
解 (1)$n=20-1-2-4-6-2=5$,
$10×20+(-0.5)×1+(-0.25)×2+0×4+0.25×6+0.3×5+0.5×2=203(\mathrm{kg}).$
答:$n$的值是5,这20箱樱桃的总质量是203 kg.
(2)由题意得,$25×203-20×200=1075$(元).
答:全部售出可获利1075元.
(3)由题意得,$25×203×60\%+25×203×(1-60\%)×70\%-20×200=466$(元).
答:是盈利的,盈利466元.
典例3
答案 $4.141×10^{11}$
典例4
解 令正方形的边长为1,
由题图可得,$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}.$
典例解析
典例1
解 $-5×(-3\frac{4}{7})+(-9)×(+3\frac{4}{7})+17×(-3\frac{4}{7})$
$=5×3\frac{4}{7}+(-9)×3\frac{4}{7}-17×3\frac{4}{7}$
$=(5-9-17)×\frac{25}{7}=-21×\frac{25}{7}=-75.$
典例2
解 (1)$n=20-1-2-4-6-2=5$,
$10×20+(-0.5)×1+(-0.25)×2+0×4+0.25×6+0.3×5+0.5×2=203(\mathrm{kg}).$
答:$n$的值是5,这20箱樱桃的总质量是203 kg.
(2)由题意得,$25×203-20×200=1075$(元).
答:全部售出可获利1075元.
(3)由题意得,$25×203×60\%+25×203×(1-60\%)×70\%-20×200=466$(元).
答:是盈利的,盈利466元.
典例3
答案 $4.141×10^{11}$
典例4
解 令正方形的边长为1,
由题图可得,$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}.$
答案
解：令正方形的边长为1，则正方形的总面积为1。
由题图可得，图中标号①到⑤的面积之和对应$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$，剩余阴影部分的面积为$\frac{1}{2^5}$。
因此$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$。
由题图可得，图中标号①到⑤的面积之和对应$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$，剩余阴影部分的面积为$\frac{1}{2^5}$。
因此$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$。
解析
【分析】
本题可以通过数形结合的方法简化计算，也可直接通分运算，图形法更简便。首先设整个正方形的面积为1，观察图形可知：每次将剩余区域平均分成2份，每份面积是上一份面积的$\frac{1}{2}$，①到⑤的面积依次对应$\frac{1}{2}、\frac{1}{2^2}、\frac{1}{2^3}、\frac{1}{2^4}、\frac{1}{2^5}$，要求这几个数的和，只需用正方形总面积1减去最后剩余的阴影部分面积$\frac{1}{2^5}$即可，无需逐一通分计算。
【解析】
令正方形的边长为1，则正方形的总面积为1。
由题图可得，图中标号①到⑤的面积之和对应算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$，剩余阴影部分的面积为$\frac{1}{2^5}$。
因此：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}&=1-\frac{1}{2^5}\\&=1-\frac{1}{32}\\&=\frac{31}{32}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{31}{32}$
【知识点】
分数巧算，数形结合思想，乘方的意义
【点评】
本题将抽象的分数求和问题转化为直观的图形面积计算，大幅简化了运算过程，体现了数形结合思想解题的便利性，在解决规律类求和问题时可以优先尝试这类思路。
【难度系数】
0.75
本题可以通过数形结合的方法简化计算，也可直接通分运算，图形法更简便。首先设整个正方形的面积为1，观察图形可知：每次将剩余区域平均分成2份，每份面积是上一份面积的$\frac{1}{2}$，①到⑤的面积依次对应$\frac{1}{2}、\frac{1}{2^2}、\frac{1}{2^3}、\frac{1}{2^4}、\frac{1}{2^5}$，要求这几个数的和，只需用正方形总面积1减去最后剩余的阴影部分面积$\frac{1}{2^5}$即可，无需逐一通分计算。
【解析】
令正方形的边长为1，则正方形的总面积为1。
由题图可得，图中标号①到⑤的面积之和对应算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$，剩余阴影部分的面积为$\frac{1}{2^5}$。
因此：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}&=1-\frac{1}{2^5}\\&=1-\frac{1}{32}\\&=\frac{31}{32}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{31}{32}$
【知识点】
分数巧算，数形结合思想，乘方的意义
【点评】
本题将抽象的分数求和问题转化为直观的图形面积计算，大幅简化了运算过程，体现了数形结合思想解题的便利性，在解决规律类求和问题时可以优先尝试这类思路。
【难度系数】
0.75
