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综合与实践 进位制的认识与探究
背景材料
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.现在我们通常用的是十进制数(十进制数一般不标注基数,其他要标明基数).
素材1
十进制数 $234=2×10^2 +3×10^1 +4×10^0$,记作:$234$；
七进制数 $(123)_7=1×7^2 +2×7^1 +3×7^0$,记作:$(123)_7$.
各进制数之间可以进行转换,如:将七进制数转换为与其相等的十进制数时,只要将七进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.(规定:当$a≠0$时,$a^0=1$)
素材2
将十进制数转换为七进制数,用十进制数除以7,然后将商继续除以7,直到商为0,将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可.将十进制数转换为二进制数同理.如:
素材3
二进制数的四则运算与十进制数的四则运算法则相同,不同的是十进制的各数位上的数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,逢十进一,而二进制的各数位上的数为0和1,逢二进一.
二进制数的四则运算规则如下:
加法:$(0)_2 +(0)_2=(0)_2,(0)_2 +(1)_2=(1)_2,(1)_2 +(0)_2=(1)_2,(1)_2 +(1)_2=(10)_2$；
减法:$(0)_2 -(0)_2=(0)_2,(1)_2 -(0)_2=(1)_2,(1)_2 -(1)_2=(0)_2,(10)_2 -(1)_2=(1)_2$(同一数位不够减时,向高一位借1当2).
任务1
探究不同进制数之间的转换:
(1)将七进制数$(243)_7$转换成十进制数为
(2)将十进制数22转换成二进制数为
任务2
探究进制数的加法运算:
(3)$(10110)_2 +(1101)_2=$
任务3
应用拓展
(4)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数据.如图,一位妇人在记录采集到的野果数量时,在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,她一共采集到多少颗野果?(转换为十进制数)
背景材料
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.现在我们通常用的是十进制数(十进制数一般不标注基数,其他要标明基数).
素材1
十进制数 $234=2×10^2 +3×10^1 +4×10^0$,记作:$234$；
七进制数 $(123)_7=1×7^2 +2×7^1 +3×7^0$,记作:$(123)_7$.
各进制数之间可以进行转换,如:将七进制数转换为与其相等的十进制数时,只要将七进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.(规定:当$a≠0$时,$a^0=1$)
素材2
将十进制数转换为七进制数,用十进制数除以7,然后将商继续除以7,直到商为0,将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可.将十进制数转换为二进制数同理.如:
素材3
二进制数的四则运算与十进制数的四则运算法则相同,不同的是十进制的各数位上的数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,逢十进一,而二进制的各数位上的数为0和1,逢二进一.
二进制数的四则运算规则如下:
加法:$(0)_2 +(0)_2=(0)_2,(0)_2 +(1)_2=(1)_2,(1)_2 +(0)_2=(1)_2,(1)_2 +(1)_2=(10)_2$；
减法:$(0)_2 -(0)_2=(0)_2,(1)_2 -(0)_2=(1)_2,(1)_2 -(1)_2=(0)_2,(10)_2 -(1)_2=(1)_2$(同一数位不够减时,向高一位借1当2).
任务1
探究不同进制数之间的转换:
(1)将七进制数$(243)_7$转换成十进制数为
129
；(2)将十进制数22转换成二进制数为
(10110)₂
.任务2
探究进制数的加法运算:
(3)$(10110)_2 +(1101)_2=$
(100011)₂
.任务3
应用拓展
(4)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数据.如图,一位妇人在记录采集到的野果数量时,在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,她一共采集到多少颗野果?(转换为十进制数)
答案
(1) 129 解析 (243)₇=2×7²+4×7¹+3×7⁰=2×49+4×7+3×1=98+28+3=129.
故答案为 129.
(2) (10110)₂ 解析 22÷2=11……0,11÷2=5……1,5÷2=2……1,2÷2=1……0,1÷2=0……1.
将余数倒序排列得(10110)₂.
故答案为(10110)₂.
(3) (100011)₂ 解析 对齐数位逐位相加,逢二进一,
故答案为(100011)₂.
(4) 542 解 由“满六进一”知该数为六进制数,由题意知六进制数为(2302)₆；
转换为十进制数:2×6³+3×6²+0×6¹+2×6⁰=2×216+3×36+0+2×1=542,
故她一共采集到 542 颗野果.
故答案为 129.
(2) (10110)₂ 解析 22÷2=11……0,11÷2=5……1,5÷2=2……1,2÷2=1……0,1÷2=0……1.
将余数倒序排列得(10110)₂.
故答案为(10110)₂.
(3) (100011)₂ 解析 对齐数位逐位相加,逢二进一,
| 加数 | ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | )₂ | |
| 加数 | ( | 1 | 1 | 0 | 1 | )₂ | ||
| 和 | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | )₂ |
故答案为(100011)₂.
(4) 542 解 由“满六进一”知该数为六进制数,由题意知六进制数为(2302)₆；
转换为十进制数:2×6³+3×6²+0×6¹+2×6⁰=2×216+3×36+0+2×1=542,
故她一共采集到 542 颗野果.
解析
【分析】
本题属于信息类应用题，解题时结合材料给出的规则逐步求解即可：
1. 七进制转十进制：参照素材1的规则，将七进制各数位数字乘对应基数（7）的幂次（从右往左幂次从0开始递增），再求和就能得到对应十进制数；
2. 十进制转二进制：用素材2给出的“除基取余倒排法”，将十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0，最后把余数从后往前排列就是对应的二进制数；
3. 二进制加法：按照素材3的加法规则，先将两个二进制数右对齐数位，从最低位开始逐位相加，逢二进一即可得到结果；
4. 结绳计数问题：“满六进一”说明是六进制记数，先确定各数位上的数字得到六进制数，再用其他进制转十进制的通用方法转换为十进制数即可。
【解析】
(1) 七进制转十进制计算：
$\begin{aligned}(243)_7&=2×7^2 + 4×7^1 + 3×7^0\\&=2×49 + 4×7 + 3×1\\&=98 + 28 + 3\\&=129\end{aligned}$
(2) 十进制22转二进制，用除2取余法：
$22÷2=11······0$
$11÷2=5······1$
$5÷2=2······1$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将所得余数倒序排列，得到对应二进制数为$(10110)_2$。
(3) 二进制加法，数位右对齐后逐位相加，逢二进一：
```
1 0 1 1 0
+ 1 1 0 1
------------
1 0 0 0 1 1
```
计算得和为$(100011)_2$。
(4) 由“满六进一”可知该记数方式为六进制，对应六进制数为$(2302)_6$，转换为十进制计算：
$\begin{aligned}(2302)_6&=2×6^3 + 3×6^2 + 0×6^1 + 2×6^0\\&=2×216 + 3×36 + 0 + 2×1\\&=432 + 108 + 0 + 2\\&=542\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{129}$；(2) $\boxed{(10110)_2}$；(3) $\boxed{(100011)_2}$；(4) $\boxed{542}$颗
【知识点】
进位制转换，二进制运算，乘方应用
【点评】
本题为信息给予类题目，以进位制为背景考查知识迁移应用能力，解题核心是读懂材料给出的进位制规则，将新知识转化为已掌握的整数运算、乘方等知识求解，贴近生活实际，能有效锻炼阅读理解能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.7
本题属于信息类应用题，解题时结合材料给出的规则逐步求解即可：
1. 七进制转十进制：参照素材1的规则，将七进制各数位数字乘对应基数（7）的幂次（从右往左幂次从0开始递增），再求和就能得到对应十进制数；
2. 十进制转二进制：用素材2给出的“除基取余倒排法”，将十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0，最后把余数从后往前排列就是对应的二进制数；
3. 二进制加法：按照素材3的加法规则，先将两个二进制数右对齐数位，从最低位开始逐位相加，逢二进一即可得到结果；
4. 结绳计数问题：“满六进一”说明是六进制记数，先确定各数位上的数字得到六进制数，再用其他进制转十进制的通用方法转换为十进制数即可。
【解析】
(1) 七进制转十进制计算：
$\begin{aligned}(243)_7&=2×7^2 + 4×7^1 + 3×7^0\\&=2×49 + 4×7 + 3×1\\&=98 + 28 + 3\\&=129\end{aligned}$
(2) 十进制22转二进制，用除2取余法：
$22÷2=11······0$
$11÷2=5······1$
$5÷2=2······1$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将所得余数倒序排列，得到对应二进制数为$(10110)_2$。
(3) 二进制加法，数位右对齐后逐位相加，逢二进一：
```
1 0 1 1 0
+ 1 1 0 1
------------
1 0 0 0 1 1
```
计算得和为$(100011)_2$。
(4) 由“满六进一”可知该记数方式为六进制，对应六进制数为$(2302)_6$，转换为十进制计算：
$\begin{aligned}(2302)_6&=2×6^3 + 3×6^2 + 0×6^1 + 2×6^0\\&=2×216 + 3×36 + 0 + 2×1\\&=432 + 108 + 0 + 2\\&=542\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{129}$；(2) $\boxed{(10110)_2}$；(3) $\boxed{(100011)_2}$；(4) $\boxed{542}$颗
【知识点】
进位制转换，二进制运算，乘方应用
【点评】
本题为信息给予类题目，以进位制为背景考查知识迁移应用能力，解题核心是读懂材料给出的进位制规则，将新知识转化为已掌握的整数运算、乘方等知识求解，贴近生活实际，能有效锻炼阅读理解能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.7
