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4.某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具的单价是B型玩具单价的1.6倍.
(1)两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程.
甲：$\frac{520}{1.6x}=\frac{175}{x}+30$，解得$x=5$，经检验$x=5$是原分式方程的解.
乙：$\frac{520}{x}=1.6×\frac{175}{x-30}$，解得$x=65$，经检验$x=65$是原分式方程的解.
则甲所列方程中的$x$表示
乙所列方程中的$x$表示
(2)该经营者准备了1350元，打算以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
(1)两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程.
甲：$\frac{520}{1.6x}=\frac{175}{x}+30$，解得$x=5$，经检验$x=5$是原分式方程的解.
乙：$\frac{520}{x}=1.6×\frac{175}{x-30}$，解得$x=65$，经检验$x=65$是原分式方程的解.
则甲所列方程中的$x$表示
B型玩具的单价
，乙所列方程中的$x$表示
用520元购进的A型玩具的数量
.(2)该经营者准备了1350元，打算以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
答案
4.解 (1)B型玩具的单价 用520元购进的A型玩具的数量
(2)由(1)知B型玩具的单价为5元，则A型玩具的单价为$5×1.6=8$(元).
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个.根据题意，得
$8a+5(200-a)≤1\ 350$,
解得$a≤116\frac{2}{3}$.
因为$a$为正整数，所以$a$的最大值是116.
答:最多可购进A型玩具116个.
(2)由(1)知B型玩具的单价为5元，则A型玩具的单价为$5×1.6=8$(元).
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个.根据题意，得
$8a+5(200-a)≤1\ 350$,
解得$a≤116\frac{2}{3}$.
因为$a$为正整数，所以$a$的最大值是116.
答:最多可购进A型玩具116个.
解析
【分析】
(1) 判断方程中未知数的意义需结合等量关系推导：甲的方程中$\frac{175}{x}$是用175元购进B型玩具的数量，根据“总价÷单价=数量”，可得x对应B型玩具的单价，$1.6x$为A型玩具单价，$\frac{520}{1.6x}$是A型玩具数量，符合“A型数量比B型多30个”的等量关系。乙的方程中$\frac{520}{x}$是A型玩具单价，$\frac{175}{x-30}$是B型玩具单价，符合“A型单价是B型1.6倍”的等量关系，因此x是用520元购进的A型玩具的数量。
(2) 先由第一问结论得出A、B型玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为a个，用总数量表示B型玩具的数量，根据总费用不超过1350元列不等式求解，最后结合a为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
(1) 甲的方程中$\frac{175}{x}$为B型玩具的购进数量，因此x表示B型玩具的单价；乙的方程中$\frac{520}{x}$为A型玩具单价，$\frac{175}{x-30}$为B型玩具单价，符合A型单价是B型1.6倍的关系，因此x表示用520元购进的A型玩具的数量。
(2) 由(1)可知B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$5×1.6=8$元。
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据题意列不等式：
$8a + 5(200 - a) ≤ 1350$
去括号得：$8a + 1000 - 5a ≤ 1350$
合并同类项得：$3a ≤ 350$
解得：$a ≤ 116\frac{2}{3}$
因为a为玩具个数，是正整数，所以a的最大值为116。
【答案】
(1) B型玩具的单价；用520元购进的A型玩具的数量
(2) 最多可购进A型玩具116个
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查方程与不等式的应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确匹配未知数的实际意义，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实要求，避免忽略整数限制导致取值错误。
【难度系数】
0.7
(1) 判断方程中未知数的意义需结合等量关系推导：甲的方程中$\frac{175}{x}$是用175元购进B型玩具的数量，根据“总价÷单价=数量”，可得x对应B型玩具的单价，$1.6x$为A型玩具单价，$\frac{520}{1.6x}$是A型玩具数量，符合“A型数量比B型多30个”的等量关系。乙的方程中$\frac{520}{x}$是A型玩具单价，$\frac{175}{x-30}$是B型玩具单价，符合“A型单价是B型1.6倍”的等量关系，因此x是用520元购进的A型玩具的数量。
(2) 先由第一问结论得出A、B型玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为a个，用总数量表示B型玩具的数量，根据总费用不超过1350元列不等式求解，最后结合a为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
(1) 甲的方程中$\frac{175}{x}$为B型玩具的购进数量，因此x表示B型玩具的单价；乙的方程中$\frac{520}{x}$为A型玩具单价，$\frac{175}{x-30}$为B型玩具单价，符合A型单价是B型1.6倍的关系，因此x表示用520元购进的A型玩具的数量。
(2) 由(1)可知B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$5×1.6=8$元。
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据题意列不等式：
$8a + 5(200 - a) ≤ 1350$
去括号得：$8a + 1000 - 5a ≤ 1350$
合并同类项得：$3a ≤ 350$
解得：$a ≤ 116\frac{2}{3}$
因为a为玩具个数，是正整数，所以a的最大值为116。
【答案】
(1) B型玩具的单价；用520元购进的A型玩具的数量
(2) 最多可购进A型玩具116个
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查方程与不等式的应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确匹配未知数的实际意义，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实要求，避免忽略整数限制导致取值错误。
【难度系数】
0.7
5. 列分式方程解应用题
【问题呈现】
为满足流感疫苗的接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产540万剂疫苗所用的时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天.求原先每天生产多少万剂疫苗.
【分析交流】
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整.
【建模解答】
(2)请你完整解答本题.
【问题呈现】
为满足流感疫苗的接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产540万剂疫苗所用的时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天.求原先每天生产多少万剂疫苗.
【分析交流】
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整.
【建模解答】
(2)请你完整解答本题.
答案
5.解 (1)510 540 $(1+20\%)x$
(2)设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗.根据题意，得
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$.
解得$x=75$.
经检验，$x=75$是原分式方程的解，且符合题意.
答:原先每天生产75万剂疫苗.
(2)设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗.根据题意，得
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$.
解得$x=75$.
经检验，$x=75$是原分式方程的解，且符合题意.
答:原先每天生产75万剂疫苗.
解析
【分析】
(1) 填表思路：首先从题干提取对应信息，原先的生产任务为510万剂，现在的生产任务为540万剂，因此生产总量栏依次填510、540；生产效率比原先提高20%，原先每天生产x万剂，因此现在每天生产量是原先的1.2倍，即$(1+20\%)x$。
(2) 解题思路：本题属于工作类实际问题，核心公式为$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$。题干给出的等量关系为：原先生产510万剂的时间 - 现在生产540万剂的时间 = 0.8天，设原先每天生产x万剂，将两个时间段用含x的代数式表示，即可列出分式方程求解，求解后要检验解是否为原方程的根且符合实际意义。
【解析】
(1) 表格补充：根据题干信息，原先生产总量为510万剂，现在生产总量为540万剂，现在每天生产量为$(1+20\%)x$万剂，因此三个空依次填入510、540、$(1+20\%)x$。
(2) 列方程解答：
设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗。
根据时间差的等量关系列方程：
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$
化简方程：$\frac{510}{x}-\frac{450}{x}=0.8$
合并得：$\frac{60}{x}=0.8$
解得：$x=75$
检验：当$x=75$时，分母$x≠0$，$(1+20\%)x=90≠0$，因此$x=75$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
(1) $\boxed{510}$，$\boxed{540}$，$\boxed{(1+20\%)x}$
(2) 原先每天生产$\boxed{75}$万剂疫苗
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的求解，工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，重点考查对工作总量、效率、时间三者关系的掌握，需要注意分式方程求解后必须进行双重检验，既要验证是否为方程的增根，也要验证是否符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
(1) 填表思路：首先从题干提取对应信息，原先的生产任务为510万剂，现在的生产任务为540万剂，因此生产总量栏依次填510、540；生产效率比原先提高20%，原先每天生产x万剂，因此现在每天生产量是原先的1.2倍，即$(1+20\%)x$。
(2) 解题思路：本题属于工作类实际问题，核心公式为$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$。题干给出的等量关系为：原先生产510万剂的时间 - 现在生产540万剂的时间 = 0.8天，设原先每天生产x万剂，将两个时间段用含x的代数式表示，即可列出分式方程求解，求解后要检验解是否为原方程的根且符合实际意义。
【解析】
(1) 表格补充：根据题干信息，原先生产总量为510万剂，现在生产总量为540万剂，现在每天生产量为$(1+20\%)x$万剂，因此三个空依次填入510、540、$(1+20\%)x$。
(2) 列方程解答：
设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗。
根据时间差的等量关系列方程：
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$
化简方程：$\frac{510}{x}-\frac{450}{x}=0.8$
合并得：$\frac{60}{x}=0.8$
解得：$x=75$
检验：当$x=75$时，分母$x≠0$，$(1+20\%)x=90≠0$，因此$x=75$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
(1) $\boxed{510}$，$\boxed{540}$，$\boxed{(1+20\%)x}$
(2) 原先每天生产$\boxed{75}$万剂疫苗
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的求解，工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，重点考查对工作总量、效率、时间三者关系的掌握，需要注意分式方程求解后必须进行双重检验，既要验证是否为方程的增根，也要验证是否符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
