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典例1 计算：
(1)$\frac{4x}{3y} · \frac{y}{2x^3}$；
(2)$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2 -1}$；
(3)$\frac{x^2 -2xy + y^2}{x^2 +x} · \frac{x+1}{x^2 - y^2}$；
(4)$( \frac{-a}{3b} )^2 · ( \frac{3b}{-c} )^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2}$；
(5)$( x -1 - \frac{8}{x+1} ) ÷ \frac{x^2 +6x +9}{x+1}$。
(1)$\frac{4x}{3y} · \frac{y}{2x^3}$；
(2)$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2 -1}$；
(3)$\frac{x^2 -2xy + y^2}{x^2 +x} · \frac{x+1}{x^2 - y^2}$；
(4)$( \frac{-a}{3b} )^2 · ( \frac{3b}{-c} )^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2}$；
(5)$( x -1 - \frac{8}{x+1} ) ÷ \frac{x^2 +6x +9}{x+1}$。
答案
解 (1) $\frac{4x}{3y} · \frac{y}{2x^3} = \frac{2}{3x^2}$。
(2) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$。
(3) $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 + x} · \frac{x+1}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)^2}{x(x+1)} · \frac{x+1}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x^2 + xy}$。
(4) $( \frac{-a}{3b} )^2 · ( \frac{3b}{-c} )^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2} = \frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2} = -\frac{3a}{bc}$。
(5) $( x - 1 - \frac{8}{x+1} ) ÷ \frac{x^2 + 6x + 9}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1) - 8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}$。
(2) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$。
(3) $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 + x} · \frac{x+1}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)^2}{x(x+1)} · \frac{x+1}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x^2 + xy}$。
(4) $( \frac{-a}{3b} )^2 · ( \frac{3b}{-c} )^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2} = \frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2} = -\frac{3a}{bc}$。
(5) $( x - 1 - \frac{8}{x+1} ) ÷ \frac{x^2 + 6x + 9}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1) - 8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}$。
解析
【分析】
分式运算需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内；运算中先对分子、分母因式分解，通过通分、约分简化，结果化为最简分式。具体思路：
(1) 分式乘法：分子乘分子、分母乘分母后约分；
(2) 分式加法：先找最简公分母通分，再合并分子后约分；
(3) 先对各分子、分母用公式因式分解，转化为乘法后约分；
(4) 先算各分式的乘方，将除法转乘法后约分，注意符号；
(5) 括号内整式与分式加减先通分，分子因式分解后，除法转乘法约分。
【解析】
(1) 分式乘法运算：
$\frac{4x}{3y} · \frac{y}{2x^3} = \frac{4x·y}{3y·2x^3} = \frac{4xy}{6x^3y} = \frac{2}{3x^2}$；
(2) 分式加法运算，先通分：
$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$；
(3) 先因式分解：
$\frac{x^2 -2xy + y^2}{x^2 +x} · \frac{x+1}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)^2}{x(x+1)} · \frac{x+1}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)^2·(x+1)}{x(x+1)·(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x^2 + xy}$；
(4) 先算乘方，再转化为乘法：
$(\frac{-a}{3b})^2 · (\frac{3b}{-c})^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2} = \frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2} = \frac{a^2·27b^3·c^2}{9b^2·(-c^3)·ab^2} = -\frac{3a}{bc}$；
(5) 括号内通分，再转化为乘法：
$(x -1 - \frac{8}{x+1}) ÷ \frac{x^2 +6x +9}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1) -8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x^2 -1 -8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x^2 -9}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}$；
【答案】
(1) $\frac{2}{3x^2}$；(2) $\frac{1}{x-1}$；(3) $\frac{x-y}{x^2 + xy}$；(4) $-\frac{3a}{bc}$；(5) $\frac{x-3}{x+3}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、因式分解的应用
【点评】
本题考查分式基础运算，涵盖乘除、加减及混合运算，需掌握因式分解（完全平方、平方差公式）、通分、约分方法，注意符号与运算顺序，结果需为最简分式，是分式运算的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
分式运算需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内；运算中先对分子、分母因式分解，通过通分、约分简化，结果化为最简分式。具体思路：
(1) 分式乘法：分子乘分子、分母乘分母后约分；
(2) 分式加法：先找最简公分母通分，再合并分子后约分；
(3) 先对各分子、分母用公式因式分解，转化为乘法后约分；
(4) 先算各分式的乘方，将除法转乘法后约分，注意符号；
(5) 括号内整式与分式加减先通分，分子因式分解后，除法转乘法约分。
【解析】
(1) 分式乘法运算：
$\frac{4x}{3y} · \frac{y}{2x^3} = \frac{4x·y}{3y·2x^3} = \frac{4xy}{6x^3y} = \frac{2}{3x^2}$；
(2) 分式加法运算，先通分：
$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$；
(3) 先因式分解：
$\frac{x^2 -2xy + y^2}{x^2 +x} · \frac{x+1}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)^2}{x(x+1)} · \frac{x+1}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)^2·(x+1)}{x(x+1)·(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x^2 + xy}$；
(4) 先算乘方，再转化为乘法：
$(\frac{-a}{3b})^2 · (\frac{3b}{-c})^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2} = \frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2} = \frac{a^2·27b^3·c^2}{9b^2·(-c^3)·ab^2} = -\frac{3a}{bc}$；
(5) 括号内通分，再转化为乘法：
$(x -1 - \frac{8}{x+1}) ÷ \frac{x^2 +6x +9}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1) -8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x^2 -1 -8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x^2 -9}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}$；
【答案】
(1) $\frac{2}{3x^2}$；(2) $\frac{1}{x-1}$；(3) $\frac{x-y}{x^2 + xy}$；(4) $-\frac{3a}{bc}$；(5) $\frac{x-3}{x+3}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、因式分解的应用
【点评】
本题考查分式基础运算，涵盖乘除、加减及混合运算，需掌握因式分解（完全平方、平方差公式）、通分、约分方法，注意符号与运算顺序，结果需为最简分式，是分式运算的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
