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1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$平分$∠ ABC$，$DE// BC$，$DF$平分$∠ EDA$，那么下列与$△ ABC$不相似的是(
A.$△ ADE$
B.$△ ABD$
C.$△ BDC$
D.$△ DBF$
（第1题）
B
)。A.$△ ADE$
B.$△ ABD$
C.$△ BDC$
D.$△ DBF$
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个三角形与△ABC不相似，首先利用等腰三角形性质求出△ABC各内角度数：∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，再结合角平分线性质、平行线性质，逐一计算各选项中三角形的内角，根据“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，判断是否满足相似条件即可。
【解析】
解：已知在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°$。
选项A：
∵$DE//BC$，
∴$∠ADE=∠C$，$∠AED=∠ABC$，根据AA判定，$△ADE∽△ABC$，不符合题意；
选项B：
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°$，在$△ABD$中，$∠A=36°$，$∠ABD=36°$，
∴$∠ADB=180°-36°-36°=108°$，△ABD的三个内角为36°、36°、108°，与△ABC的36°、72°、72°没有两组对应角相等，故$△ABD$与$△ABC$不相似，符合题意；
选项C：在$△BDC$中，$∠DBC=36°$，$∠C=72°$，
∴$∠BDC=180°-36°-72°=72°$，则$∠BDC=∠ABC$，$∠DBC=∠A$，根据AA判定，$△BDC∽△ABC$，不符合题意；
选项D：
∵$DE//BC$，
∴$∠EDA=∠C=72°$，
∵DF平分$∠EDA$，
∴$∠ADF=72°÷2=36°$，$∠BFD$是$△AFD$的外角，
∴$∠BFD=∠A+∠ADF=36°+36°=72°$，则$∠BFD=∠ABC$，又$∠FBD=36°=∠A$，根据AA判定，$△DBF∽△ABC$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的关键是先计算出已知三角形的内角度数，再结合相关几何性质求出待判断三角形的内角，利用两角对应相等的判定规则逐一验证即可，解题时要注意不要漏算角的度数。
【难度系数】
0.7
要判断哪个三角形与△ABC不相似，首先利用等腰三角形性质求出△ABC各内角度数：∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，再结合角平分线性质、平行线性质，逐一计算各选项中三角形的内角，根据“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，判断是否满足相似条件即可。
【解析】
解：已知在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°$。
选项A：
∵$DE//BC$，
∴$∠ADE=∠C$，$∠AED=∠ABC$，根据AA判定，$△ADE∽△ABC$，不符合题意；
选项B：
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°$，在$△ABD$中，$∠A=36°$，$∠ABD=36°$，
∴$∠ADB=180°-36°-36°=108°$，△ABD的三个内角为36°、36°、108°，与△ABC的36°、72°、72°没有两组对应角相等，故$△ABD$与$△ABC$不相似，符合题意；
选项C：在$△BDC$中，$∠DBC=36°$，$∠C=72°$，
∴$∠BDC=180°-36°-72°=72°$，则$∠BDC=∠ABC$，$∠DBC=∠A$，根据AA判定，$△BDC∽△ABC$，不符合题意；
选项D：
∵$DE//BC$，
∴$∠EDA=∠C=72°$，
∵DF平分$∠EDA$，
∴$∠ADF=72°÷2=36°$，$∠BFD$是$△AFD$的外角，
∴$∠BFD=∠A+∠ADF=36°+36°=72°$，则$∠BFD=∠ABC$，又$∠FBD=36°=∠A$，根据AA判定，$△DBF∽△ABC$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的关键是先计算出已知三角形的内角度数，再结合相关几何性质求出待判断三角形的内角，利用两角对应相等的判定规则逐一验证即可，解题时要注意不要漏算角的度数。
【难度系数】
0.7
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=10,点E在BC边上,DF⊥AE,垂足为点F。若DF=6,则线段EF的长为(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. B
解析
【分析】
首先利用矩形性质得到AD的长度、AD与BC平行以及∠B为直角；接下来在Rt△AFD中，已知AD和DF的长度，通过勾股定理计算出AF的长度；再根据平行线的内错角相等以及两个直角相等，证明△AFD与△EBA相似，利用相似三角形对应边成比例求出AE的长度；最后结合F在AE延长线的位置关系，用AF减去AE即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB。
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°。
在Rt△AFD中，AD=10，DF=6，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵∠AFD=∠B，∠DAF=∠AEB，
∴△AFD∽△EBA，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{AB}$，
代入AB=3，DF=6，AD=10，得$\frac{10}{AE}=\frac{6}{3}$，
解得AE=5。
∴$EF=AF-AE=8-5=3$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是准确识别相似三角形，理清线段之间的和差关系，计算时注意勾股定理和相似比例的正确应用。
【难度系数】
0.6
首先利用矩形性质得到AD的长度、AD与BC平行以及∠B为直角；接下来在Rt△AFD中，已知AD和DF的长度，通过勾股定理计算出AF的长度；再根据平行线的内错角相等以及两个直角相等，证明△AFD与△EBA相似，利用相似三角形对应边成比例求出AE的长度；最后结合F在AE延长线的位置关系，用AF减去AE即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB。
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°。
在Rt△AFD中，AD=10，DF=6，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵∠AFD=∠B，∠DAF=∠AEB，
∴△AFD∽△EBA，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{AB}$，
代入AB=3，DF=6，AD=10，得$\frac{10}{AE}=\frac{6}{3}$，
解得AE=5。
∴$EF=AF-AE=8-5=3$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是准确识别相似三角形，理清线段之间的和差关系，计算时注意勾股定理和相似比例的正确应用。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在矩形ABCD中,E为BC边上一点,DF⊥AE于点F。
(1)△ABE与△DFA相似吗?请说明理由。
(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长。
(1)△ABE与△DFA相似吗?请说明理由。
(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长。
答案
3. (1) 相似。理由如下:
∵ ∠B = ∠AFD, ∠AEB = ∠FAD,
∴ △ABE∽△DFA (2) 7.2
∵ ∠B = ∠AFD, ∠AEB = ∠FAD,
∴ △ABE∽△DFA (2) 7.2
解析
【分析】
（1）判断两个三角形是否相似可从角的关系入手：先结合矩形性质得∠B为直角，且AD平行BC可得内错角相等，再结合DF⊥AE得∠AFD为直角，即可得到两组对应角相等，满足相似三角形的判定条件。（2）求DF的长，先利用勾股定理算出AE的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DF。
【解析】
（1）△ABE与△DFA相似，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，AD//BC，
∴ ∠AEB=∠DAF，
∵ DF⊥AE，
∴ ∠AFD=90°，即∠B=∠AFD，
在△ABE和△DFA中：
$\begin{cases}∠ B=∠ AFD\\∠ AEB=∠ DAF\end{cases}$
∴ △ABE∽△DFA（两角对应相等，两三角形相似）。
（2）在Rt△ABE中，AB=6，BE=8，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
由（1）的相似结论可得对应边成比例：$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$，
将AB=6，AE=10，AD=12代入比例式：
$\frac{6}{DF}=\frac{10}{12}$
解得$DF=\frac{6×12}{10}=7.2$。
【答案】
（1）相似，理由见解析；（2）7.2
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是利用矩形性质得到角的关系证明三角形相似，再借助相似性质求解线段长度，准确识别对应角、对应边是解题的关键。
【难度系数】
0.75
（1）判断两个三角形是否相似可从角的关系入手：先结合矩形性质得∠B为直角，且AD平行BC可得内错角相等，再结合DF⊥AE得∠AFD为直角，即可得到两组对应角相等，满足相似三角形的判定条件。（2）求DF的长，先利用勾股定理算出AE的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DF。
【解析】
（1）△ABE与△DFA相似，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，AD//BC，
∴ ∠AEB=∠DAF，
∵ DF⊥AE，
∴ ∠AFD=90°，即∠B=∠AFD，
在△ABE和△DFA中：
$\begin{cases}∠ B=∠ AFD\\∠ AEB=∠ DAF\end{cases}$
∴ △ABE∽△DFA（两角对应相等，两三角形相似）。
（2）在Rt△ABE中，AB=6，BE=8，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
由（1）的相似结论可得对应边成比例：$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$，
将AB=6，AE=10，AD=12代入比例式：
$\frac{6}{DF}=\frac{10}{12}$
解得$DF=\frac{6×12}{10}=7.2$。
【答案】
（1）相似，理由见解析；（2）7.2
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是利用矩形性质得到角的关系证明三角形相似，再借助相似性质求解线段长度，准确识别对应角、对应边是解题的关键。
【难度系数】
0.75
4. (2024·德阳中考)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC与BD相交于点O,点F为BC的中点,连接AF,与BD相交于点E,连接CE并延长交AB于点G。
(1)求证:△BEF∽△BCO；
(2)求证:△BEG≌△AEG。
(1)求证:△BEF∽△BCO；
(2)求证:△BEG≌△AEG。
答案
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC,AC ⊥ BD。又
∵ ∠ABC = 60°,
∴ △ABC是等边三角形。
∴ AB = AC。
∵ 点F为BC的中点,
∴ AF ⊥ BC。
∴ ∠BOC = ∠BFE = 90°。又
∵ ∠EBF = ∠CBO,
∴ △BEF ∽ △BCO
(2)
∵ BO ⊥ AC,AF ⊥ BC,
∴ CG ⊥ AB。
∴ ∠BGE = ∠AGE。又
∵ AC = BC,
∴ BG = AG。在 △BEG 和 △AEG 中, BG = AG, ∠BGE = ∠AGE, GE = GE,
∴ △BEG≌△AEG(SAS)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC,AC ⊥ BD。又
∵ ∠ABC = 60°,
∴ △ABC是等边三角形。
∴ AB = AC。
∵ 点F为BC的中点,
∴ AF ⊥ BC。
∴ ∠BOC = ∠BFE = 90°。又
∵ ∠EBF = ∠CBO,
∴ △BEF ∽ △BCO
(2)
∵ BO ⊥ AC,AF ⊥ BC,
∴ CG ⊥ AB。
∴ ∠BGE = ∠AGE。又
∵ AC = BC,
∴ BG = AG。在 △BEG 和 △AEG 中, BG = AG, ∠BGE = ∠AGE, GE = GE,
∴ △BEG≌△AEG(SAS)
解析
【分析】
(1) 要证明△BEF∽△BCO，可选用两角对应相等的相似判定定理推导：首先结合菱形邻边相等的性质，已知∠ABC=60°，可先推出△ABC为等边三角形；再利用等边三角形三线合一的性质，结合F是BC中点，可得AF⊥BC，得到∠BFE=90°；再结合菱形对角线互相垂直的性质得∠BOC=90°，加上公共角∠EBF=∠CBO，即可完成相似证明。
(2) 要证明△BEG≌△AEG，可选用SAS的全等判定定理推导：等边三角形的三条高交于同一点，因此CE延长线CG是AB边上的高和中线，可得AG=BG，∠BGE=∠AGE=90°，再加上公共边GE，即可满足全等的判定条件。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，AC ⊥ BD。
又
∵ ∠ABC = 60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC。
∵ 点F为BC的中点，
∴ AF ⊥ BC，
∴ ∠BOC = ∠BFE = 90°。
又
∵ ∠EBF = ∠CBO，
∴ △BEF ∽ △BCO。
(2)
∵ BO ⊥ AC，AF ⊥ BC，
∴ CG ⊥ AB，
∴ ∠BGE = ∠AGE。
又
∵ AC = BC，
∴ BG = AG。
在 △BEG 和 △AEG 中,
$\{\begin{array}{l}BG = AG\\∠ BGE = ∠ AGE\\GE = GE\end{array} $
∴ △BEG≌△AEG(SAS)
【答案】
(1) △BEF∽△BCO成立，证明如上；
(2) △BEG≌△AEG成立，证明如上。
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的性质；相似与全等三角形判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用菱形的特殊性质推出等边三角形，再结合特殊三角形三线合一的性质得到角、边的等量关系，侧重考察学生对基础几何判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BEF∽△BCO，可选用两角对应相等的相似判定定理推导：首先结合菱形邻边相等的性质，已知∠ABC=60°，可先推出△ABC为等边三角形；再利用等边三角形三线合一的性质，结合F是BC中点，可得AF⊥BC，得到∠BFE=90°；再结合菱形对角线互相垂直的性质得∠BOC=90°，加上公共角∠EBF=∠CBO，即可完成相似证明。
(2) 要证明△BEG≌△AEG，可选用SAS的全等判定定理推导：等边三角形的三条高交于同一点，因此CE延长线CG是AB边上的高和中线，可得AG=BG，∠BGE=∠AGE=90°，再加上公共边GE，即可满足全等的判定条件。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，AC ⊥ BD。
又
∵ ∠ABC = 60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC。
∵ 点F为BC的中点，
∴ AF ⊥ BC，
∴ ∠BOC = ∠BFE = 90°。
又
∵ ∠EBF = ∠CBO，
∴ △BEF ∽ △BCO。
(2)
∵ BO ⊥ AC，AF ⊥ BC，
∴ CG ⊥ AB，
∴ ∠BGE = ∠AGE。
又
∵ AC = BC，
∴ BG = AG。
在 △BEG 和 △AEG 中,
$\{\begin{array}{l}BG = AG\\∠ BGE = ∠ AGE\\GE = GE\end{array} $
∴ △BEG≌△AEG(SAS)
【答案】
(1) △BEF∽△BCO成立，证明如上；
(2) △BEG≌△AEG成立，证明如上。
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的性质；相似与全等三角形判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用菱形的特殊性质推出等边三角形，再结合特殊三角形三线合一的性质得到角、边的等量关系，侧重考察学生对基础几何判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
