16.(应用意识)(2025滨州模拟)【问题呈现】
某宾馆有45个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为200元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少元时,宾馆利润最大?
【模型构建】

(1)选择合适的选项填空.
①房价提高后,每间房利润为x元;
②房价提高后,每间房定价为x元;
③每间房增加x元.
方法一函数模型中的x表示(填序号);方法三函数模型中的x表示(填序号).
(2)请把方法二的函数模型补充完整,填在下面的横线上:.
【问题解答】
(3)请你从以上三种方法中选择其中一种完整解答本题.

16. (1)③ ②
(2)$y=(200-20+20x)(45-x)$
(3)(答案不唯一)解:设每间房定价增加x元,宾馆利润为y元,则:
$y=(200-20+x)(45-\dfrac{1}{20}x)=-\dfrac{1}{20}x^2+36x+8100=-\dfrac{1}{20}(x-360)^2+14580$,
∵$-\dfrac{1}{20}＜0$,
∴当 $x=360$,即定价为 $200+360=560$(元)时,y有最大值,最大值为14 580.
答:房价定为560元时,宾馆利润最大.

【分析】
首先解决第(1)问：观察方法一的函数模型，$200-20$是原价200元时每间房的利润，加$x$说明$x$是每间房增加的金额，对应③；观察方法三的函数模型，$x-20$是提价后每间房的利润，说明$x$是房价提高后每间房的定价，对应②。
然后第(2)问：方法二设每间房定价增加$20x$元，此时每间房利润为原价利润$200-20$加上增加的$20x$元，每增加20元空闲1间房，因此空闲$x$间，居住房间数为$45-x$，根据“总利润=每间利润×居住房间数”即可写出函数式。
第(3)问：任选一种方法，将函数整理为二次函数顶点式，结合二次函数开口方向求最大值，再换算为对应房价即可。
【解析】
(1) 方法一中$200-20+x$表示提价后每间房的利润，因此$x$是每间房增加的金额，选③；方法三中$x-20$表示提价后每间房的利润，因此$x$是提价后每间房的定价，选②。
(2) 提价后每间房利润为$200-20+20x$元，居住房间数为$45-x$间，因此总利润$y=(200-20+20x)(45-x)$。
(3) 选择方法一解答：
整理函数解析式：
$\begin{aligned}y&=(200-20+x)(45-\frac{1}{20}x)\\&=(180+x)(45-\frac{1}{20}x)\\&=-\frac{1}{20}x^2 + 36x + 8100\\&=-\frac{1}{20}(x-360)^2 + 14580\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{20}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=360$时，$y$取得最大值，此时房价为$200+360=560$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{③}$；$\boldsymbol{②}$
(2) $\boldsymbol{y=(200-20+20x)(45-x)}$
(3) 房价定为$\boldsymbol{560}$元时，宾馆利润最大。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；列函数关系式
【点评】
本题是典型的销售类利润最值问题，通过不同设元方式构建二次函数模型，考查了将实际问题转化为数学问题的建模能力，解题时要注意结合实际意义理解变量的含义，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题核心，此类题型为中考高频考点。
【难度系数】
0.6