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17.(6分)计算下列各题：
(1)$(-2)^3 ÷ (\frac{1}{2})^{-1} + (3.14 - π)^0 - |\sqrt{2} - 1|$；
(2)$a(a - 5b) + 3a^5b^3 ÷ (-a^2b)^2$。
(1)$(-2)^3 ÷ (\frac{1}{2})^{-1} + (3.14 - π)^0 - |\sqrt{2} - 1|$；
(2)$a(a - 5b) + 3a^5b^3 ÷ (-a^2b)^2$。
答案
17. 解:(1)原式=-8÷2+1-($\sqrt{2}$-1)
=-4+1-1-$\sqrt{2}$
=-2-$\sqrt{2}$;
(2)原式=$a^2$-5ab+3ab
=$a^2$-2ab.
=-4+1-1-$\sqrt{2}$
=-2-$\sqrt{2}$;
(2)原式=$a^2$-5ab+3ab
=$a^2$-2ab.
解析
【分析】
本题包含实数混合运算、整式混合运算两类基础计算，解题思路如下：
(1) 实数运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，先分别计算各项：①乘方：$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，得$-8$；②负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，因此$(\frac{1}{2})^{-1}=2$；③零指数幂：$a^0=1(a≠0)$，$3.14-π≠0$，因此$(3.14-π)^0=1$；④绝对值化简：$\sqrt{2}＞1$，因此$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1$，去绝对值时注意前面是减号，括号内各项要变号。再按顺序计算即可。
(2) 整式运算同样先算乘方，再算乘除，最后算加减：①先计算单项式乘多项式$a(a-5b)$，用单项式分别乘多项式的每一项；②先算积的乘方$(-a^2b)^2$，再计算单项式除法；③最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=-8÷2 + 1 - (\sqrt{2}-1)$
$=-4 + 1 - \sqrt{2} + 1$
$=-2 - \sqrt{2}$
(2) 原式$=a^2 - 5ab + 3a^5b^3÷(a^4b^2)$
$=a^2 - 5ab + 3ab$
$=a^2 - 2ab$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2-\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{a^2-2ab}$
【知识点】
实数混合运算、幂的运算、整式乘除
【点评】
本题为基础运算类题目，主要考察各类运算法则的掌握情况，计算时需注意运算顺序，去括号、化简绝对值时要留意符号变化，养成验算习惯可减少失误。
【难度系数】
0.8
本题包含实数混合运算、整式混合运算两类基础计算，解题思路如下：
(1) 实数运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，先分别计算各项：①乘方：$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，得$-8$；②负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，因此$(\frac{1}{2})^{-1}=2$；③零指数幂：$a^0=1(a≠0)$，$3.14-π≠0$，因此$(3.14-π)^0=1$；④绝对值化简：$\sqrt{2}＞1$，因此$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1$，去绝对值时注意前面是减号，括号内各项要变号。再按顺序计算即可。
(2) 整式运算同样先算乘方，再算乘除，最后算加减：①先计算单项式乘多项式$a(a-5b)$，用单项式分别乘多项式的每一项；②先算积的乘方$(-a^2b)^2$，再计算单项式除法；③最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=-8÷2 + 1 - (\sqrt{2}-1)$
$=-4 + 1 - \sqrt{2} + 1$
$=-2 - \sqrt{2}$
(2) 原式$=a^2 - 5ab + 3a^5b^3÷(a^4b^2)$
$=a^2 - 5ab + 3ab$
$=a^2 - 2ab$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2-\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{a^2-2ab}$
【知识点】
实数混合运算、幂的运算、整式乘除
【点评】
本题为基础运算类题目，主要考察各类运算法则的掌握情况，计算时需注意运算顺序，去括号、化简绝对值时要留意符号变化，养成验算习惯可减少失误。
【难度系数】
0.8
18.(6分)分解因式：
(1)$x(x-y)+y(y-x)$；
(2)$5a^2b-10ab^2+5b^3$。
(1)$x(x-y)+y(y-x)$；
(2)$5a^2b-10ab^2+5b^3$。
答案
18. 解:(1)原式=x(x-y)-y(x-y)
=(x-y)(x-y)=$(x-y)^2$;
(2)原式=5b($a^2$-2ab+$b^2$)
=5b$(a-b)^2$.
=(x-y)(x-y)=$(x-y)^2$;
(2)原式=5b($a^2$-2ab+$b^2$)
=5b$(a-b)^2$.
解析
【分析】
(1) 解第1小题时，先观察式子特征，可将(y-x)变形为-(x-y)，此时两项有相同公因式(x-y)，提取公因式后合并剩余项即可完成分解。
(2) 解第2小题时，先找多项式三项的公因式5b，提取公因式后剩余的多项式符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式继续分解即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=x(x-y)-y(x-y)$
$=(x-y)(x-y)$
$=(x-y)^2$
(2) 原式$=5b(a^2-2ab+b^2)$
$=5b(a-b)^2$
【答案】
(1) $(x-y)^2$；(2) $5b(a-b)^2$
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题可遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式特征，最后检查分解是否彻底，熟练掌握公因式的找法和乘法公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 解第1小题时，先观察式子特征，可将(y-x)变形为-(x-y)，此时两项有相同公因式(x-y)，提取公因式后合并剩余项即可完成分解。
(2) 解第2小题时，先找多项式三项的公因式5b，提取公因式后剩余的多项式符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式继续分解即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=x(x-y)-y(x-y)$
$=(x-y)(x-y)$
$=(x-y)^2$
(2) 原式$=5b(a^2-2ab+b^2)$
$=5b(a-b)^2$
【答案】
(1) $(x-y)^2$；(2) $5b(a-b)^2$
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题可遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式特征，最后检查分解是否彻底，熟练掌握公因式的找法和乘法公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
19.(8分)化简求值：$(x+1-\dfrac{15}{x-1})÷\dfrac{x^2-8x+16}{1-x}$，其中$x=2.$
答案
19. 解:原式=$[\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-\frac{15}{x-1}]·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{x^2-16}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{(x-4)(x+4)}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=-$\frac{x+4}{x-4}$.
当x=2时,原式=-$\frac{2+4}{2-4}$=3.
=$\frac{x^2-16}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{(x-4)(x+4)}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=-$\frac{x+4}{x-4}$.
当x=2时,原式=-$\frac{2+4}{2-4}$=3.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则解题：第一步先处理括号内的运算，括号内是整式减分式，需将整式通分转化为分母为$x-1$的同分母分式，再按同分母分式减法规则计算；第二步将分式除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，注意$1-x$和$x-1$互为相反数，约分需留意符号变化；第三步对分子分母的多项式因式分解（$x^2-16$用平方差公式，$x^2-8x+16$用完全平方公式），约去公因式得到最简分式；最后将$x=2$代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：原式=$[\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-\frac{15}{x-1}]·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{x^2-1-15}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{x^2-16}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{(x+4)(x-4)}{x-1}·\frac{-(x-1)}{(x-4)^2}$
=$-\frac{x+4}{x-4}$
当$x=2$时，原式=$-\frac{2+4}{2-4}=-\frac{6}{-2}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
分式的化简求值；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，主要考察分式混合运算的运算顺序、通分约分规则以及乘法公式的应用，计算时要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，避免符号错误是得分的关键。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则解题：第一步先处理括号内的运算，括号内是整式减分式，需将整式通分转化为分母为$x-1$的同分母分式，再按同分母分式减法规则计算；第二步将分式除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，注意$1-x$和$x-1$互为相反数，约分需留意符号变化；第三步对分子分母的多项式因式分解（$x^2-16$用平方差公式，$x^2-8x+16$用完全平方公式），约去公因式得到最简分式；最后将$x=2$代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：原式=$[\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-\frac{15}{x-1}]·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{x^2-1-15}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{x^2-16}{x-1}·\frac{1-x}{(x-4)^2}$
=$\frac{(x+4)(x-4)}{x-1}·\frac{-(x-1)}{(x-4)^2}$
=$-\frac{x+4}{x-4}$
当$x=2$时，原式=$-\frac{2+4}{2-4}=-\frac{6}{-2}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
分式的化简求值；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，主要考察分式混合运算的运算顺序、通分约分规则以及乘法公式的应用，计算时要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，避免符号错误是得分的关键。
【难度系数】
0.8
20.(8分)我市新城区环形路的拓宽改造工程项目，经投标决定由甲、乙两个工程队共同完成.已知乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程如果由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天.
答案
20. 解:设甲工程队单独完成这项工程需要x天,则乙工程队单独完成这项工程需要2x天,由题意得:
$\frac{22}{x}+\frac{16}{2x}=1$,解得x=30,
经检验:x=30是分式方程的解,且符合题意,
∴2x=60.
∴甲队单独完成这项工程需要30天,乙队单独完成这项工程需要60天.
$\frac{22}{x}+\frac{16}{2x}=1$,解得x=30,
经检验:x=30是分式方程的解,且符合题意,
∴2x=60.
∴甲队单独完成这项工程需要30天,乙队单独完成这项工程需要60天.
解析
【分析】
这是工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总天数。首先根据“乙队单独完成所需天数是甲队的2倍”设未知数，设甲单独完成需x天，则乙为2x天；再梳理工作量：甲一共工作了6+16=22天，乙一共工作了16天，等量关系为“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”，据此列分式方程，求解后要检验解是否符合分式方程要求和实际题意，最后计算乙单独完成的天数即可。
【解析】
解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要2x天，由题意得：
$\frac{22}{x}+\frac{16}{2x}=1$
化简得$\frac{22}{x}+\frac{8}{x}=1$，即$\frac{30}{x}=1$，解得x=30。
经检验：x=30是原分式方程的解，且符合实际题意。
∴乙队单独完成所需天数为$2x=2×30=60$。
【答案】
甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要60天。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程的检验
【点评】
本题是常见的工程类应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确找到不同施工队的工作时长和工作量的等量关系，注意分式方程求解后必须进行双检验，既要检验是否为方程的解，也要检验是否符合实际题意。
【难度系数】
0.7
这是工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总天数。首先根据“乙队单独完成所需天数是甲队的2倍”设未知数，设甲单独完成需x天，则乙为2x天；再梳理工作量：甲一共工作了6+16=22天，乙一共工作了16天，等量关系为“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”，据此列分式方程，求解后要检验解是否符合分式方程要求和实际题意，最后计算乙单独完成的天数即可。
【解析】
解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要2x天，由题意得：
$\frac{22}{x}+\frac{16}{2x}=1$
化简得$\frac{22}{x}+\frac{8}{x}=1$，即$\frac{30}{x}=1$，解得x=30。
经检验：x=30是原分式方程的解，且符合实际题意。
∴乙队单独完成所需天数为$2x=2×30=60$。
【答案】
甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要60天。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程的检验
【点评】
本题是常见的工程类应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确找到不同施工队的工作时长和工作量的等量关系，注意分式方程求解后必须进行双检验，既要检验是否为方程的解，也要检验是否符合实际题意。
【难度系数】
0.7
21. (8分)如图所示，$△ ABC$的顶点分别为$A(-2,3),B(-4,1),C(-1,2)$。
(1)$△ ABC$关于直线$x=2$(平行于$y$轴且该直线上的点的横坐标均为2)对称的图形为$△ A_1B_1C_1$，则点$A_1,B_1,C_1$的坐标分别为$A_1($
(2)求$△ A_1B_1C_1$的面积。
(1)$△ ABC$关于直线$x=2$(平行于$y$轴且该直线上的点的横坐标均为2)对称的图形为$△ A_1B_1C_1$，则点$A_1,B_1,C_1$的坐标分别为$A_1($
6,3
$),B_1($8,1
$),C_1($5,2
$)$；(2)求$△ A_1B_1C_1$的面积。
答案
21. 解:(1) $A_1$(6,3), $B_1$(8,1), $C_1$(5,2);
(2)$△ A_1B_1C_1$的面积为2.
(2)$△ A_1B_1C_1$的面积为2.
解析
【分析】
（1）求解关于直线$x=2$对称的点的坐标，首先明确关于平行于$y$轴的直线$x=a$对称的点的坐标规律：纵坐标保持不变，两点横坐标的平均值等于$a$，即对称点横坐标$=2a - $原横坐标，本题中$a=2$，代入各点坐标计算即可得到$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标；
（2）根据轴对称的性质，对称前后的图形全等，面积相等，因此只需计算原$△ ABC$的面积即可得到$△ A_1B_1C_1$的面积，网格中求三角形面积可采用割补法：用包围三角形的最小矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。
【解析】
（1）点关于直线$x=2$对称时，纵坐标不变，横坐标为$2×2 - \mathrm{原横坐标}$：
点$A(-2,3)$的对称点$A_1$横坐标为$4 - (-2)=6$，纵坐标为$3$，故$A_1(6,3)$；
点$B(-4,1)$的对称点$B_1$横坐标为$4 - (-4)=8$，纵坐标为$1$，故$B_1(8,1)$；
点$C(-1,2)$的对称点$C_1$横坐标为$4 - (-1)=5$，纵坐标为$2$，故$C_1(5,2)$。
（2）由轴对称的性质可知，$△ A_1B_1C_1 ≌ △ ABC$，因此$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算$△ ABC$的面积：
包围$△ ABC$的最小矩形横向长为$(-1)-(-4)=3$，纵向高为$3-1=2$，矩形面积为$3×2=6$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×1×1=0.5$；
因此$S_{△ ABC}=6 - 2 - 1.5 - 0.5=2$，即$△ A_1B_1C_1$的面积为$2$。
【答案】
(1) $(6,3)$，$(8,1)$，$(5,2)$
(2) $2$
【知识点】
1. 坐标对称变换
2. 割补法求面积
3. 轴对称的性质
【点评】
本题考查轴对称变换下的坐标计算和网格图形的面积求解，难度不大，掌握平行于$y$轴的直线对称的坐标规律、熟练运用割补法计算不规则图形面积是解题的核心。
【难度系数】
0.8
（1）求解关于直线$x=2$对称的点的坐标，首先明确关于平行于$y$轴的直线$x=a$对称的点的坐标规律：纵坐标保持不变，两点横坐标的平均值等于$a$，即对称点横坐标$=2a - $原横坐标，本题中$a=2$，代入各点坐标计算即可得到$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标；
（2）根据轴对称的性质，对称前后的图形全等，面积相等，因此只需计算原$△ ABC$的面积即可得到$△ A_1B_1C_1$的面积，网格中求三角形面积可采用割补法：用包围三角形的最小矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。
【解析】
（1）点关于直线$x=2$对称时，纵坐标不变，横坐标为$2×2 - \mathrm{原横坐标}$：
点$A(-2,3)$的对称点$A_1$横坐标为$4 - (-2)=6$，纵坐标为$3$，故$A_1(6,3)$；
点$B(-4,1)$的对称点$B_1$横坐标为$4 - (-4)=8$，纵坐标为$1$，故$B_1(8,1)$；
点$C(-1,2)$的对称点$C_1$横坐标为$4 - (-1)=5$，纵坐标为$2$，故$C_1(5,2)$。
（2）由轴对称的性质可知，$△ A_1B_1C_1 ≌ △ ABC$，因此$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算$△ ABC$的面积：
包围$△ ABC$的最小矩形横向长为$(-1)-(-4)=3$，纵向高为$3-1=2$，矩形面积为$3×2=6$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×1×1=0.5$；
因此$S_{△ ABC}=6 - 2 - 1.5 - 0.5=2$，即$△ A_1B_1C_1$的面积为$2$。
【答案】
(1) $(6,3)$，$(8,1)$，$(5,2)$
(2) $2$
【知识点】
1. 坐标对称变换
2. 割补法求面积
3. 轴对称的性质
【点评】
本题考查轴对称变换下的坐标计算和网格图形的面积求解，难度不大，掌握平行于$y$轴的直线对称的坐标规律、熟练运用割补法计算不规则图形面积是解题的核心。
【难度系数】
0.8
