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8. 黄冈市政府计划在遗爱湖国家湿地公园某个绿化区增设3条漫步小路，小路$MN// PQ$，小路$AB$与$MN$，$PQ$均相交。若要在小路$MN$上修建一个凉亭$O$，使其到小路$AB$，$PQ$的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（
A.只有甲对
B.只有乙对
C.甲、乙均对
D.甲、乙均不对
B
）A.只有甲对
B.只有乙对
C.甲、乙均对
D.甲、乙均不对
答案
8. B
解析
【分析】
要找到符合要求的凉亭位置，需先明确O点需满足的两个条件：①在MN上；②到AB、PQ的距离相等。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到AB、PQ两条相交直线距离相等的点，一定在AB与PQ所成夹角的角平分线上，所以符合要求的O点是AB、PQ的角平分线与MN的交点。接下来判断两个方案：甲方案作的是AB与MN的夹角平分线，仅能保证线上的点到AB、MN的距离相等，不满足到PQ的距离要求，因此甲错误；乙方案作AB与PQ的夹角平分线，与MN的交点同时满足两个条件，因此乙正确。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们对两个方案逐一分析：
1. 甲方案：作出的是AB与MN的夹角的角平分线，该线上的点仅满足到AB、MN的距离相等，不符合到PQ距离相等的要求，因此甲方案错误。
2. 乙方案：作出的是AB与PQ的夹角的角平分线，该线与MN的交点为O。O既在MN上，又在AB和PQ的夹角平分线上，因此O到AB、PQ的距离相等，完全符合要求，乙方案正确。
综上，只有乙方案正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的实际应用，解题的核心是准确判断满足距离相等条件的点所在的角平分线，注意不要混淆角的两条边，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
要找到符合要求的凉亭位置，需先明确O点需满足的两个条件：①在MN上；②到AB、PQ的距离相等。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到AB、PQ两条相交直线距离相等的点，一定在AB与PQ所成夹角的角平分线上，所以符合要求的O点是AB、PQ的角平分线与MN的交点。接下来判断两个方案：甲方案作的是AB与MN的夹角平分线，仅能保证线上的点到AB、MN的距离相等，不满足到PQ的距离要求，因此甲错误；乙方案作AB与PQ的夹角平分线，与MN的交点同时满足两个条件，因此乙正确。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们对两个方案逐一分析：
1. 甲方案：作出的是AB与MN的夹角的角平分线，该线上的点仅满足到AB、MN的距离相等，不符合到PQ距离相等的要求，因此甲方案错误。
2. 乙方案：作出的是AB与PQ的夹角的角平分线，该线与MN的交点为O。O既在MN上，又在AB和PQ的夹角平分线上，因此O到AB、PQ的距离相等，完全符合要求，乙方案正确。
综上，只有乙方案正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的实际应用，解题的核心是准确判断满足距离相等条件的点所在的角平分线，注意不要混淆角的两条边，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
9. 舂(chōng)米，是我国古代的一种劳动方式.舂的结构简单(如图1所示)，一口石臼(jiù)上架着用一根木头做成的“碓(duì)身”，“碓”的头部下面有杵(chǔ).“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空.舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图2所示.已知CD交AB于点D，CD与碓身所在水平线l相交于点O，若OD=1.5米，∠1=30°，则点D到l的距离为(
A.0.6米
B.0.75米
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$米
D.$\sqrt{3}$米
B
)A.0.6米
B.0.75米
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$米
D.$\sqrt{3}$米
答案
9. B
解析
【分析】
要求点D到直线l的距离，首先根据点到直线距离的定义，需过点D作直线l的垂线段，垂线段的长度即为所求。由已知条件可知，该垂线段、OD与直线l可构成一个含30°角的直角三角形，我们可以利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算出垂线段的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥直线l于点E，则线段DE的长度就是点D到l的距离。
∵DE⊥l，
∴∠DEO=90°，即△DEO是直角三角形。
在Rt△DEO中，∠1=30°，斜边OD=1.5米，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}×1.5=0.75$（米）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.点到直线的距离 2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合传统劳动场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，熟练掌握特殊直角三角形的性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要求点D到直线l的距离，首先根据点到直线距离的定义，需过点D作直线l的垂线段，垂线段的长度即为所求。由已知条件可知，该垂线段、OD与直线l可构成一个含30°角的直角三角形，我们可以利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算出垂线段的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥直线l于点E，则线段DE的长度就是点D到l的距离。
∵DE⊥l，
∴∠DEO=90°，即△DEO是直角三角形。
在Rt△DEO中，∠1=30°，斜边OD=1.5米，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}×1.5=0.75$（米）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.点到直线的距离 2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合传统劳动场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，熟练掌握特殊直角三角形的性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
10. 如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB交BA的延长线于点F，且满足∠FDE=∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③若∠BAC=80°，则∠CBD=40°；④∠BDC=∠BAC。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10. C
解析
【分析】
解题时先从角平分线的性质入手，首先得到角平分线上的点D到角两边的距离相等（即DE=DF），再结合已知∠FDE=∠BDC，通过角的和差推导相等的夹角，证明△CDE≌△BDF，判断结论①；接着利用全等三角形对应边相等，结合角平分线性质证AF=AE，通过等量代换判断结论②；再利用四边形内角和推导∠FDE和∠BAC的关系，结合已知∠FDE=∠BDC判断结论④；最后根据等腰三角形性质计算∠CBD的度数，判断结论③即可。
【解析】
1. 证明结论①：
∵AD是∠BAC的外角平分线，DF⊥AB交BA延长线于F，DE⊥AC于E，
∴DF=DE，∠F=∠DEC=90°。
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠FDE - ∠BDE = ∠BDC - ∠BDE，即∠BDF=∠CDE。
在△CDE和△BDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ DEC=∠ F\\ DE=DF\\ ∠ CDE=∠ BDF\end{array} $
∴△CDE≌△BDF（ASA），故①正确。
2. 证明结论②：
由△CDE≌△BDF得CE=BF。
在Rt△AFD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AF=AE。
∵BF=AB+AF=AB+AE，
∴CE=AB+AE，故②正确。
3. 证明结论④：
在四边形AFDE中，内角和为360°，∠F=∠AED=90°，
∴∠FDE=360°-90°-90°-∠FAE=180°-∠FAE。
∵∠FAE是∠BAC的邻补角，
∴∠FAE=180°-∠BAC，
代入得∠FDE=∠BAC，又
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC，故④正确。
4. 判断结论③：
若∠BAC=80°，则∠BDC=80°，由△CDE≌△BDF得BD=CD，
∴△BDC为等腰三角形，$∠ CBD=\frac{180°-∠ BDC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°\ne40°$，故③错误。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要逐一验证多个结论，解题的核心是熟练运用角平分线性质得到相等线段，结合角的等量关系证明全等，再通过全等的性质推导边和角的关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从角平分线的性质入手，首先得到角平分线上的点D到角两边的距离相等（即DE=DF），再结合已知∠FDE=∠BDC，通过角的和差推导相等的夹角，证明△CDE≌△BDF，判断结论①；接着利用全等三角形对应边相等，结合角平分线性质证AF=AE，通过等量代换判断结论②；再利用四边形内角和推导∠FDE和∠BAC的关系，结合已知∠FDE=∠BDC判断结论④；最后根据等腰三角形性质计算∠CBD的度数，判断结论③即可。
【解析】
1. 证明结论①：
∵AD是∠BAC的外角平分线，DF⊥AB交BA延长线于F，DE⊥AC于E，
∴DF=DE，∠F=∠DEC=90°。
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠FDE - ∠BDE = ∠BDC - ∠BDE，即∠BDF=∠CDE。
在△CDE和△BDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ DEC=∠ F\\ DE=DF\\ ∠ CDE=∠ BDF\end{array} $
∴△CDE≌△BDF（ASA），故①正确。
2. 证明结论②：
由△CDE≌△BDF得CE=BF。
在Rt△AFD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AF=AE。
∵BF=AB+AF=AB+AE，
∴CE=AB+AE，故②正确。
3. 证明结论④：
在四边形AFDE中，内角和为360°，∠F=∠AED=90°，
∴∠FDE=360°-90°-90°-∠FAE=180°-∠FAE。
∵∠FAE是∠BAC的邻补角，
∴∠FAE=180°-∠BAC，
代入得∠FDE=∠BAC，又
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC，故④正确。
4. 判断结论③：
若∠BAC=80°，则∠BDC=80°，由△CDE≌△BDF得BD=CD，
∴△BDC为等腰三角形，$∠ CBD=\frac{180°-∠ BDC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°\ne40°$，故③错误。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要逐一验证多个结论，解题的核心是熟练运用角平分线性质得到相等线段，结合角的等量关系证明全等，再通过全等的性质推导边和角的关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=43°，则∠BDC=
第11小题图
第12小题图
86°
。第11小题图第12小题图答案
11. 86°
解析
【分析】
解题时首先抓住“D在AC的垂直平分线上”这一核心条件，第一步根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD；第二步由等边对等角可知∠DCA=∠A=43°；第三步观察∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵点D在线段AC的垂直平分线上
∴AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴△ADC为等腰三角形，∠DCA = ∠A = 43°（等边对等角）
又
∵∠BDC是△ADC的外角
∴∠BDC = ∠A + ∠DCA = 43° + 43° = 86°
【答案】
86°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形以及三角形外角的相关性质，通过边相等的关系转化为角相等的关系，进而求解角度，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“D在AC的垂直平分线上”这一核心条件，第一步根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD；第二步由等边对等角可知∠DCA=∠A=43°；第三步观察∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵点D在线段AC的垂直平分线上
∴AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴△ADC为等腰三角形，∠DCA = ∠A = 43°（等边对等角）
又
∵∠BDC是△ADC的外角
∴∠BDC = ∠A + ∠DCA = 43° + 43° = 86°
【答案】
86°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形以及三角形外角的相关性质，通过边相等的关系转化为角相等的关系，进而求解角度，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
12.如图所示，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=50°$，$BD=CF$，$BE=CD$，则$∠ EDF=$
50°
.答案
12. 50°
解析
【分析】
首先观察题目给出的已知条件：有两组对应边相等（$BD=CF$、$BE=CD$），且两组边的夹角$∠B=∠C=50°$，可先利用SAS判定定理证明$△ BDE$和$△ CFD$全等；再根据全等三角形对应角相等的性质得到角的等量关系，最后结合三角形内角和定理、平角的定义，通过角度的等量代换即可求出$∠EDF$的度数。
【解析】
在$△ BDE$和$△ CFD$中：
$\begin{cases}BE=CD (\mathrm{已知}) \\∠B=∠C (\mathrm{已知}) \\BD=CF (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CFD (\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠BED=∠CDF (\mathrm{全等三角形对应角相等})$
在$△ BED$中，根据三角形内角和定理：
$∠B + ∠BED + ∠BDE = 180°$
$\therefore ∠BED + ∠BDE = 180° - ∠B = 180° - 50° = 130°$
又根据平角的定义：
$∠BDE + ∠EDF + ∠CDF = 180°$
将$∠CDF$替换为$∠BED$，可得：
$∠BDE + ∠EDF + ∠BED = 180°$
$\therefore ∠EDF = 180° - (∠BDE + ∠BED) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，解题核心是准确识别全等三角形，再通过角度的等量转化求解未知角，属于基础常考题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和角度运算的基本规律。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的已知条件：有两组对应边相等（$BD=CF$、$BE=CD$），且两组边的夹角$∠B=∠C=50°$，可先利用SAS判定定理证明$△ BDE$和$△ CFD$全等；再根据全等三角形对应角相等的性质得到角的等量关系，最后结合三角形内角和定理、平角的定义，通过角度的等量代换即可求出$∠EDF$的度数。
【解析】
在$△ BDE$和$△ CFD$中：
$\begin{cases}BE=CD (\mathrm{已知}) \\∠B=∠C (\mathrm{已知}) \\BD=CF (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CFD (\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠BED=∠CDF (\mathrm{全等三角形对应角相等})$
在$△ BED$中，根据三角形内角和定理：
$∠B + ∠BED + ∠BDE = 180°$
$\therefore ∠BED + ∠BDE = 180° - ∠B = 180° - 50° = 130°$
又根据平角的定义：
$∠BDE + ∠EDF + ∠CDF = 180°$
将$∠CDF$替换为$∠BED$，可得：
$∠BDE + ∠EDF + ∠BED = 180°$
$\therefore ∠EDF = 180° - (∠BDE + ∠BED) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，解题核心是准确识别全等三角形，再通过角度的等量转化求解未知角，属于基础常考题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和角度运算的基本规律。
【难度系数】
0.7
