13. 在平面直角坐标系中,点$A(2,0)$,$B(0,4)$,作$△ BOC$,使$△ BOC$与$△ ABO$全等,则点$C$坐标为.(点$C$不与点$A$重合)

13. (2,4)或(-2,0)或(-2,4)

【分析】
首先明确△ABO的顶点：O为坐标原点(0,0)，A(2,0)，B(0,4)，可知△ABO是直角三角形，直角在O点，OA=2，OB=4。△BOC与△ABO有公共边OB，因此需分情况讨论两个三角形全等时的对应边、对应角匹配关系，分别计算点C坐标，最后排除与点A重合的情况即可。
【解析】
已知O(0,0)，A(2,0)，B(0,4)，则OA=2，OB=4，∠AOB=90°，分三种情况讨论：
1. 当△BOC≌△OBA，∠OBC=∠AOB=90°，BC=OA=2时，点C在第一象限，横坐标为2，纵坐标为4，即C(2,4)，由SAS可判定两三角形全等，符合要求；
2. 当△BOC≌△BOA，∠COB=∠AOB=90°，OC=OA=2时，点C在x轴负半轴，坐标为(-2,0)，由SAS可判定两三角形全等，符合要求；
3. 当△BOC≌△OAB，∠OBC=∠BOA=90°，BC=OA=2时，点C在第二象限，横坐标为-2，纵坐标为4，即C(-2,4)，由SAS可判定两三角形全等，符合要求。
综上，点C的坐标为(2,4)或(-2,0)或(-2,4)。
【答案】
(2,4)或(-2,0)或(-2,4)
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标；分类讨论思想
【点评】
本题考查全等三角形在平面直角坐标系中的应用，解题关键是抓住公共边的对应关系，全面分类讨论不同的全等匹配情况，避免漏解，是全等三角形综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

14. 如图,在△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,DE⊥AC于点E.F为BC上一点,若DF=AD,S△ACD−S△CDF=6,则△AED的面积为.

第14小题图

第15小题图

第16小题图

14. 3

【分析】
解题时首先看到CD是∠ACB的角平分线，结合角平分线的性质，可过点D作BC的垂线构造出与DE相等的垂线段；再结合已知条件DF=AD，可证明Rt△ADE与构造出的直角三角形全等，得到两者面积相等；同时可证CD分割出的两个含直角的小三角形全等，面积也相等，最后将已知的面积差转化为所求△AED面积的倍数关系即可求解。
【解析】
过点D作DH⊥BC，垂足为H。
1. 由角平分线的性质：
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DH⊥BC，
∴DE=DH。
2. 证明Rt△ADE≌Rt△FDH：在Rt△ADE和Rt△FDH中，$\{\begin{array}{l}AD=DF\\ DE=DH\end{array} $，
∴Rt△ADE≌Rt△FDH（HL），可得$S_{△ ADE}=S_{△ FDH}$。
3. 证明Rt△CDE≌Rt△CDH：在Rt△CDE和Rt△CDH中，$\{\begin{array}{l}CD=CD\\ DE=DH\end{array} $，
∴Rt△CDE≌Rt△CDH（HL），可得$S_{△ CDE}=S_{△ CDH}$。
4. 推导面积关系：
$S_{△ ACD}-S_{△ CDF}=(S_{△ ADE}+S_{△ CDE})-(S_{△ CDH}-S_{△ FDH})$
将$S_{△ CDE}=S_{△ CDH}$、$S_{△ ADE}=S_{△ FDH}$代入上式，可得：
$S_{△ ACD}-S_{△ CDF}=S_{△ ADE}+S_{△ CDH}-S_{△ CDH}+S_{△ ADE}=2S_{△ ADE}$
已知$S_{△ ACD}-S_{△ CDF}=6$，即$2S_{△ ADE}=6$，解得$S_{△ ADE}=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将已知的面积差转化为所求三角形面积的倍数关系，是几何面积计算类题目的典型考法，掌握辅助线的构造技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6

15. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，$BD$平分$∠ ABC$，如果点$M$，$N$分别为$BD$，$BC$上的动点，那么$CM+MN$的最小值是________。

15. 4.8

【分析】
本题属于角平分线背景下的最短路径问题，解题思路如下：①首先利用角平分线的对称性，可将BC上的点N关于BD的对称点转化到AB边上，此时CM+MN的和可转化为点C到AB边上某点的线段和；②根据“垂线段最短”可知，点C到AB的垂线段长度就是CM+MN的最小值；③最后利用直角三角形的面积法计算出斜边上的高即可得到结果。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N。
∵BD平分∠ABC，MN⊥BC，ME⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：$MN = ME$。
此时$CM + MN = CM + ME = CE$，由垂线段最短可知，CE的长度就是CM+MN的最小值。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用面积法计算CE的长度：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CE$
代入$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × CE$
解得：$CE = \frac{48}{10} = 4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径的典型考法，核心是利用角平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和转化为定点到直线的垂线段长度，再结合面积法快速求解，解题过程体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6

三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)如图,在$△ ABC$中,AC边的垂直平分线DE分别交AC,BC于点D,E,连接AE,AF是$△ ABC$的角平分线.
(1)求$∠ AEB$与$∠ C$的数量关系,并说明理由;
(2)若$∠ BAC=84°,∠ FAE=18°$,求$∠ AEB$的度数.

16. 解:(1)∠AEB=2∠C,理由如下:
∵DE垂直平分AC,
∴EA=EC,
∴∠EAC=∠C.
∵∠AEB=∠EAC+∠C,
∴∠AEB=∠C+∠C=2∠C.
(2)
∵AF平分∠BAC,
∴∠FAC= 1/2 ∠BAC=42°,
∴∠EAC=∠FAC-∠FAE=42°-18°=24°.
由(1)得,∠EAC=∠C,∠AEB=2∠C,
∴∠AEB=2∠EAC=2×24°=48°.

【分析】
(1) 推导∠AEB与∠C的数量关系时，首先根据AC的垂直平分线DE，利用线段垂直平分线的性质得到EA=EC，进而推出等腰△EAC的底角∠EAC=∠C；再结合三角形外角的性质，∠AEB是△AEC的外角，等于不相邻两个内角的和，代入即可得到二者的数量关系。
(2) 求解∠AEB的度数时，先根据角平分线的定义求出∠FAC的度数，再用∠FAC减去∠FAE得到∠EAC的度数，最后结合第一问得出的∠EAC=∠C、∠AEB=2∠C的结论，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠AEB=2∠C}$，理由如下：
∵DE是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C。
∵∠AEB是△AEC的外角，根据三角形外角性质可得$∠ AEB=∠ EAC+∠ C$，
∴$∠ AEB=∠ C+∠ C=2∠ C$。
(2)
∵AF是△ABC的角平分线，$∠ BAC=84°$，
∴$∠ FAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×84°=42°$，
∵$∠ FAE=18°$，
∴$∠ EAC=∠ FAC-∠ FAE=42°-18°=24°$，
由(1)的结论可知$∠ EAC=∠ C$，$∠ AEB=2∠ C$，
∴$∠ AEB=2∠ EAC=2×24°=48°$。
【答案】
(1) $\boxed{∠AEB=2∠C}$
(2) $\boxed{48°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，主要考查三角形核心性质的应用，解题的关键是熟练掌握垂直平分线、角平分线、三角形外角的性质，同时可直接利用前一问的结论简化后一问的计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.75

17.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,BD=CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAC=120°,且AD⊥AC,试判断△ADE的形状,并说明理由.

17. (1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,
{ AB = AC , ∠B = ∠C , BD = CE ,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:△ADE是等边三角形,理由如下:
∵AD⊥AC,
∴∠DAC=90°,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°,
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,∠EAC=∠BAD=30°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-30°=60°,
∴△ADE是等边三角形.

【分析】
(1)要证明△ABD≌△ACE，首先由已知AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠B=∠C，结合已知BD=CE，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)判断△ADE的形状时，先由(1)的全等结论可推出AD=AE，可知△ADE是等腰三角形，接下来只需证明该等腰三角形有一个内角为60°即可判定为等边三角形：先根据AD⊥AC和∠BAC的度数计算∠BAD的度数，再利用全等三角形对应角相等得到∠EAC=∠BAD，进而求出∠DAE的度数，即可得到结论。
【解析】
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠B = ∠C \\BD = CE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:△ADE是等边三角形,理由如下:
∵AD⊥AC,
∴∠DAC=90°,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°,
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,∠EAC=∠BAD=30°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-30°=60°,
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
(1)△ABD≌△ACE，证明成立；
(2)△ADE是等边三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题时要注意前后小问的关联，第一问的全等结论是第二问推导的核心条件，熟练掌握全等、等腰、等边三角形的相关性质和判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

18. (6分)如图,点C在线段AB上,△CDE是等腰三角形,CD=CE,AD=BC,AC=BE.
(1)求证:AD//BE;
(2)若∠CDE=50°,∠BCE=20°,求∠B的度数.

18. (1)证明:在△ACD和△BEC中,
{ CD = EC , AC = BE , AD = BC ,
∴△ACD≌△BEC(SSS),
∴∠A=∠B,
∴AD//BE.
(2)解:
∵CD=CE,∠CDE=50°,
∴∠CDE=∠CED=50°,
∴∠DCE=180°-50°-50°=80°,
∵∠BCE=20°,
∴∠DCB=∠DCE-∠BCE=80°-20°=60°,
由(1)知,△ACD≌△BEC,
∴∠ADC=∠BCE=20°,
∵∠DCB=∠A+∠ADC,
∴∠A=∠DCB-∠ADC=60°-20°=40°,
由(1)知,∠A=∠B,
∴∠B=40°.

【分析】
(1)要证明AD//BE，可通过证明内错角∠A=∠B实现。题目给出三组对应边相等的条件，可先利用SSS判定△ACD和△BEC全等，根据全等三角形对应角相等即可得到∠A=∠B，进而证得平行。
(2)先根据等腰三角形等边对等角的性质，求出△CDE的顶角∠DCE的度数，再结合∠BCE的度数求出∠DCB的度数；利用(1)中全等三角形的性质得到∠ADC=∠BCE，再根据三角形外角的性质求出∠A的度数，最后结合∠A=∠B即可得到∠B的度数。
【解析】
(1)证明：在△ACD和△BEC中，
$\{\begin{array}{l} CD=EC\\ AC=BE\\ AD=BC\end{array} $
∴△ACD≌△BEC(SSS)，
∴∠A=∠B，
∴AD//BE（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
∵CD=CE，∠CDE=50°，
∴∠CDE=∠CED=50°（等腰三角形等边对等角），
∴∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-50°-50°=80°，
∵∠BCE=20°，
∴∠DCB=∠DCE-∠BCE=80°-20°=60°，
由(1)知△ACD≌△BEC，
∴∠ADC=∠BCE=20°，
∵∠DCB是△ACD的外角，
∴∠DCB=∠A+∠ADC，
∴∠A=∠DCB-∠ADC=60°-20°=40°，
由(1)知∠A=∠B，
∴∠B=40°。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形全等、等腰三角形性质和平行线判定相结合考察，解题的核心是先通过SSS证明三角形全等，得到对应角相等的结论，再结合等腰三角形性质、三角形外角性质逐步推导角度，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7

19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,AM是△ABC的外角∠CAE的平分线,DN平分∠ADC交AM于点N,判断△ADN的形状并说明理由.

19. 提示:△ADN为等腰直角三角形.理由略.

【分析】
要判断△ADN的形状，可先推导其内角的度数，再判断边的关系：首先利用等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC且AD平分∠BAC；再结合AM是外角平分线，推导得出AM//BC，进而得到∠DAN为直角；最后根据DN平分直角∠ADC，计算△ADN的内角度数，即可判断三角形形状。
【解析】
解：△ADN是等腰直角三角形，理由如下：
1.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形“三线合一”，得∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°。
2.
∵AM平分△ABC的外角∠CAE，
∴∠EAM=∠MAC=$\frac{1}{2}$∠EAC。
3.
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠B+∠C，
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠C，即∠MAC=∠C，
∴AM//BC（内错角相等，两直线平行）。
4.
∵AD⊥BC，AM//BC，
∴AD⊥AM，即∠DAN=90°。
5.
∵DN平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠ADN=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°。
6. 在△ADN中，∠AND=180°-∠DAN-∠ADN=180°-90°-45°=45°，
∴∠ADN=∠AND，
∴AD=AN。
综上，△ADN有一个内角是90°，且两条直角边AD=AN，因此△ADN是等腰直角三角形。
【答案】
△ADN是等腰直角三角形
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等腰三角形、平行线、角平分线的知识点结合考查，解题的核心是通过角的等量关系推导平行线和三角形内角度数，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7